數(shù)學(xué)家的故事32866

1、拉馬努金1962年12月22日印度發(fā)行弓一張紀(jì)念郵票。這張郵票是為紀(jì)念印度的「國(guó)寶」錫里尼哇沙拉瑪奴江（SrinivasaRamanujan）誕生七十五周年而發(fā)行的。拉瑪奴江是一個(gè)生于南印度沒(méi)落的貧窮婆羅門(mén)家庭，沒(méi)有受過(guò)大學(xué)育，靠自學(xué)及艱苦鉆研數(shù)學(xué)，后來(lái)成為一個(gè)聞名國(guó)際的數(shù)學(xué)家。在數(shù)學(xué)家中，以貧窮家庭出身，而且能在沒(méi)有研究數(shù)學(xué)的環(huán)境里，孤獨(dú)的工作，發(fā)現(xiàn)了一些深入的結(jié)果的人是不太多。他到了二十七歲時(shí)才獲得真正數(shù)學(xué)家的教導(dǎo)，他的才華像彗星突

2、然出現(xiàn)長(zhǎng)空，耀眼令人側(cè)目?？上У氖欠尾s蠶食了他的生命，他在三十三歲時(shí)悄然逝去。他是淡米爾人，生于1887年12月22日，父親是一間布店里的小職員。小時(shí)候他大部份的時(shí)間是在祖母家里度過(guò)。從小他就喜歡思考問(wèn)題，曾問(wèn)老師在天空閃耀的星座的距離，以及地球赤道的長(zhǎng)度。在十二歲時(shí)始對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣，曾問(wèn)高班同學(xué)：「什么是數(shù)學(xué)的最高真理？」當(dāng)時(shí)同學(xué)告訴他「畢達(dá)高拉斯定理」（即中國(guó)人稱(chēng)「商高定理」）是可以作為代表，引起了他對(duì)幾何的興趣。有一天一個(gè)老師講

3、：「三十個(gè)果子給三十個(gè)人平分，每一個(gè)人得到一個(gè)。同樣的十四個(gè)果子給十四個(gè)人平分，每一個(gè)人得一個(gè)果子?！箯倪@里老師下了結(jié)論：任何數(shù)給自己除得到是一。拉瑪奴江覺(jué)得不對(duì)，馬上站起來(lái)問(wèn)：「是否每一個(gè)人也得到一個(gè)？」這時(shí)數(shù)字的奇妙性質(zhì)引起了他的注意，也差不多在這個(gè)時(shí)候他對(duì)等差，等比級(jí)數(shù)的性質(zhì)自己作了研究。在十三歲時(shí)，高班的同學(xué)借給他一本Loney的〈三角學(xué)〉一書(shū)（以前，有一些學(xué)校采用此書(shū)為高中課，中譯本書(shū)名為〈龍氏三角學(xué)〉），他很快把整夬書(shū)的習(xí)題

4、解完。第二年他得到了正弦和余弦函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式，后來(lái)他才知這是著名的Euler公式，他心中有點(diǎn)失望，于是把自己結(jié)果的草稿，偷偷地放到里的屋梁上。他十五歲時(shí)，朋友借給了他二厚冊(cè)英國(guó)人卡爾（Carr）寫(xiě)「純數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本結(jié)果大要」一書(shū)。這書(shū)是寫(xiě)得相當(dāng)枯燥無(wú)味的，羅列了在代數(shù)、微積分、三角學(xué)和解析幾何的六千個(gè)定理和公式。這本書(shū)對(duì)他來(lái)說(shuō)是本好書(shū)，他自己證明了其中的一些定理，而以后他研究的基礎(chǔ)全是這書(shū)給出的。在1930年他進(jìn)入了家鄉(xiāng)的政府學(xué)

5、院，由于貧窮和入學(xué)試成績(jī)優(yōu)越，他獲得獎(jiǎng)學(xué)金，可是在學(xué)院里他太專(zhuān)心于自己善羑的數(shù)學(xué)，而忽略了其它科目，結(jié)果年考不及格而失去了獎(jiǎng)學(xué)金。在1906年他轉(zhuǎn)到另外一間學(xué)院讀二年級(jí)并參加1907年的「文科第一考試」，。是又失敗了。在1907年到1910年之間，他住在外面，找不到任何工作，有時(shí)替朋友補(bǔ)習(xí)以換取一些吃的東西。在這段期間，他自己研究魔方陣、連環(huán)分?jǐn)?shù)、超幾何級(jí)數(shù)、橢圓積分及一些數(shù)論問(wèn)題，他把自己得到的結(jié)果寫(xiě)在二本記事簿里，生活不安定不能使到

6、他對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好減少，一個(gè)善良的鄰居老太太，看他生活困難，幾次在中餐時(shí)邀他在家里吃些東西。根據(jù)印度的習(xí)俗，他家人在1909年為他安排了婚事，妻子是一個(gè)九歲的女孩。在1910年他是二十三歲了，有了家而且因是長(zhǎng)子，必須幫助家一些費(fèi)用，他不得不極力尋找工作，后來(lái)朋友推薦他去找印度官員拉奧。拉奧本身是一個(gè)有錢(qián)的印度官員，也是印度數(shù)學(xué)會(huì)的創(chuàng)辦人之一，認(rèn)為的勇氣闖入這個(gè)新奇世界的。他發(fā)現(xiàn)了許多簡(jiǎn)直難以置信的事情?？低袪柺窃谘芯课⒎e分理論的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題

7、時(shí)，開(kāi)始著手創(chuàng)立集合論的。自從17世紀(jì)牛頓（I.Newton，1642－1727）和萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）創(chuàng)立微積分理論體系之后，在近一二百年時(shí)間里，微積分理論一直缺乏一個(gè)嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。它的一些基本概念的表述，還有某些混亂和自相矛盾之處。從19世紀(jì)開(kāi)始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等人進(jìn)行了微積分理論嚴(yán)格化的工作。他們建

8、立了極限理論，并把極限理論的基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論。那么，實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)又該是什么呢？康托爾試圖用集合論來(lái)作為實(shí)數(shù)理論，以至整個(gè)微積分理論體系的基礎(chǔ)。出于這一目的，康托爾用集合的觀點(diǎn)重新考察各種數(shù)量關(guān)系，特別是無(wú)窮數(shù)量關(guān)系。他發(fā)現(xiàn)，無(wú)窮集合有著有窮數(shù)量關(guān)系所不具備的性質(zhì)。比如，在無(wú)窮集合領(lǐng)域，所有整數(shù)和所有偶數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的，所有理數(shù)和所有整數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的，平面上所有的點(diǎn)和線段上所有的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，……概言之，在無(wú)窮的世界里，整體的

9、所有元素和部分的所有元素之間可以是一一對(duì)應(yīng)的。另外，無(wú)窮集合并不都是相等的，比如所有實(shí)數(shù)和所有有理數(shù)之間就不是一一對(duì)應(yīng)的。因而，無(wú)窮集合是有大小的。集合論用“基數(shù)”這個(gè)概念來(lái)表示無(wú)窮集合間的區(qū)別。那么，有沒(méi)有一個(gè)最大的集合呢？康托爾通過(guò)研究，否定了這個(gè)想法。因?yàn)槊總€(gè)已知集合的所有子集所構(gòu)成集合，其基數(shù)都大于已知集合的基數(shù)。既然沒(méi)有最大的基數(shù)，當(dāng)然也沒(méi)有最大的集合。無(wú)窮世界里的這些性質(zhì)，初看起來(lái)，真是令人頭暈?zāi)垦?。甚至康托爾本人在?chuàng)立集合

10、論的過(guò)程上，也時(shí)時(shí)感到心神不定。他在獲得線性連續(xù)統(tǒng)和π維連續(xù)統(tǒng)之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的結(jié)果后，寫(xiě)信給數(shù)學(xué)家戴德金（R.Dedekind，1831－1916）說(shuō)：“我見(jiàn)到了，但我不相信”。然而，集合論的成果畢竟是有嚴(yán)格邏輯根據(jù)的。并且它在解決實(shí)數(shù)理論邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題中發(fā)揮了別的理論無(wú)法取代的重要作用。實(shí)踐使康托爾堅(jiān)定了信心，更加勇敢地前進(jìn)，大膽挖掘無(wú)窮世界里的寶藏。他在提出超限基數(shù)和超限序數(shù)的過(guò)程中說(shuō)：“我確實(shí)不知道，什么能夠限制我們這種形成新數(shù)

11、的活動(dòng)，只要可以說(shuō)明，為了科學(xué)的發(fā)展，引入一個(gè)這種無(wú)窮的新數(shù)對(duì)于研究是需要的或者是不可的”?？低袪柕难芯砍晒l(fā)表之后，馬上遭致當(dāng)時(shí)一些赫赫有名的數(shù)學(xué)家的激烈攻擊。德國(guó)數(shù)學(xué)家克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891）就是那些人中的一個(gè)?？寺∧峥吮瓤低袪柲觊L(zhǎng)22歲。當(dāng)康托爾還是柏林大學(xué)的學(xué)生時(shí)，克隆尼克已經(jīng)是在這個(gè)學(xué)校任教的著名數(shù)學(xué)家了?？寺∧峥嗽跀?shù)學(xué)上，特別是在高等代數(shù)方面有很多貢獻(xiàn)。然而他主張，除非一種數(shù)學(xué)對(duì)象能夠用有限步驟

12、從自然數(shù)中構(gòu)造出來(lái)，否則不能認(rèn)為它在數(shù)學(xué)上是存在的。他有一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的一切才是人做的工作”。因此，他否認(rèn)無(wú)理數(shù)的存在，也否認(rèn)極限理論的意義。他常常譏笑魏爾斯特拉斯的工作：“有趣，可惜不是數(shù)學(xué)”。他和數(shù)學(xué)家林德曼談話時(shí)說(shuō)：“你那個(gè)關(guān)于π的漂亮研究有什么用呢？無(wú)理數(shù)根本就不存在，你為什么要研究這種問(wèn)題？”雖然康托爾是他的學(xué)生，但由于集合論的內(nèi)容同他的主張大相徑庭，所以克隆尼克不能容忍。他認(rèn)為，康托爾關(guān)于超限數(shù)的研究，是

13、一種非常危險(xiǎn)的數(shù)學(xué)瘋病。因而他與康托爾對(duì)立達(dá)十年之久。他甚至在柏林大學(xué)的學(xué)生面前公開(kāi)攻擊康托爾。克隆尼克的影響還使康托爾的學(xué)術(shù)論文一再延誤發(fā)表日期。除了克隆尼克之外，還有一些著名數(shù)學(xué)家也對(duì)集合論發(fā)表了反對(duì)意見(jiàn)。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒（H.Poincare，1854－1912）說(shuō)：“我個(gè)人，而且還不只我一人，認(rèn)為重要之點(diǎn)在于，切勿引進(jìn)一些不能用有限個(gè)文字去完全定義好的東西”。他把集合論當(dāng)作一個(gè)有趣的“病理學(xué)的情形”來(lái)談，并且預(yù)測(cè)說(shuō)：“后一代將把