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文檔簡(jiǎn)介
1、拉馬努金1962年12月22日印度發(fā)行弓一張紀(jì)念郵票。這張郵票是為紀(jì)念印度的「國(guó)寶」錫里尼哇沙拉瑪奴江(SrinivasaRamanujan)誕生七十五周年而發(fā)行的。拉瑪奴江是一個(gè)生于南印度沒(méi)落的貧窮婆羅門(mén)家庭,沒(méi)有受過(guò)大學(xué)育,靠自學(xué)及艱苦鉆研數(shù)學(xué),后來(lái)成為一個(gè)聞名國(guó)際的數(shù)學(xué)家。在數(shù)學(xué)家中,以貧窮家庭出身,而且能在沒(méi)有研究數(shù)學(xué)的環(huán)境里,孤獨(dú)的工作,發(fā)現(xiàn)了一些深入的結(jié)果的人是不太多。他到了二十七歲時(shí)才獲得真正數(shù)學(xué)家的教導(dǎo),他的才華像彗星突
2、然出現(xiàn)長(zhǎng)空,耀眼令人側(cè)目??上У氖欠尾s蠶食了他的生命,他在三十三歲時(shí)悄然逝去。他是淡米爾人,生于1887年12月22日,父親是一間布店里的小職員。小時(shí)候他大部份的時(shí)間是在祖母家里度過(guò)。從小他就喜歡思考問(wèn)題,曾問(wèn)老師在天空閃耀的星座的距離,以及地球赤道的長(zhǎng)度。在十二歲時(shí)始對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣,曾問(wèn)高班同學(xué):「什么是數(shù)學(xué)的最高真理?」當(dāng)時(shí)同學(xué)告訴他「畢達(dá)高拉斯定理」(即中國(guó)人稱(chēng)「商高定理」)是可以作為代表,引起了他對(duì)幾何的興趣。有一天一個(gè)老師講
3、:「三十個(gè)果子給三十個(gè)人平分,每一個(gè)人得到一個(gè)。同樣的十四個(gè)果子給十四個(gè)人平分,每一個(gè)人得一個(gè)果子?!箯倪@里老師下了結(jié)論:任何數(shù)給自己除得到是一。拉瑪奴江覺(jué)得不對(duì),馬上站起來(lái)問(wèn):「是否每一個(gè)人也得到一個(gè)?」這時(shí)數(shù)字的奇妙性質(zhì)引起了他的注意,也差不多在這個(gè)時(shí)候他對(duì)等差,等比級(jí)數(shù)的性質(zhì)自己作了研究。在十三歲時(shí),高班的同學(xué)借給他一本Loney的〈三角學(xué)〉一書(shū)(以前,有一些學(xué)校采用此書(shū)為高中課,中譯本書(shū)名為〈龍氏三角學(xué)〉),他很快把整夬書(shū)的習(xí)題
4、解完。第二年他得到了正弦和余弦函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式,后來(lái)他才知這是著名的Euler公式,他心中有點(diǎn)失望,于是把自己結(jié)果的草稿,偷偷地放到里的屋梁上。他十五歲時(shí),朋友借給了他二厚冊(cè)英國(guó)人卡爾(Carr)寫(xiě)「純數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本結(jié)果大要」一書(shū)。這書(shū)是寫(xiě)得相當(dāng)枯燥無(wú)味的,羅列了在代數(shù)、微積分、三角學(xué)和解析幾何的六千個(gè)定理和公式。這本書(shū)對(duì)他來(lái)說(shuō)是本好書(shū),他自己證明了其中的一些定理,而以后他研究的基礎(chǔ)全是這書(shū)給出的。在1930年他進(jìn)入了家鄉(xiāng)的政府學(xué)
5、院,由于貧窮和入學(xué)試成績(jī)優(yōu)越,他獲得獎(jiǎng)學(xué)金,可是在學(xué)院里他太專(zhuān)心于自己善羑的數(shù)學(xué),而忽略了其它科目,結(jié)果年考不及格而失去了獎(jiǎng)學(xué)金。在1906年他轉(zhuǎn)到另外一間學(xué)院讀二年級(jí)并參加1907年的「文科第一考試」,。是又失敗了。在1907年到1910年之間,他住在外面,找不到任何工作,有時(shí)替朋友補(bǔ)習(xí)以換取一些吃的東西。在這段期間,他自己研究魔方陣、連環(huán)分?jǐn)?shù)、超幾何級(jí)數(shù)、橢圓積分及一些數(shù)論問(wèn)題,他把自己得到的結(jié)果寫(xiě)在二本記事簿里,生活不安定不能使到
6、他對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好減少,一個(gè)善良的鄰居老太太,看他生活困難,幾次在中餐時(shí)邀他在家里吃些東西。根據(jù)印度的習(xí)俗,他家人在1909年為他安排了婚事,妻子是一個(gè)九歲的女孩。在1910年他是二十三歲了,有了家而且因是長(zhǎng)子,必須幫助家一些費(fèi)用,他不得不極力尋找工作,后來(lái)朋友推薦他去找印度官員拉奧。拉奧本身是一個(gè)有錢(qián)的印度官員,也是印度數(shù)學(xué)會(huì)的創(chuàng)辦人之一,認(rèn)為的勇氣闖入這個(gè)新奇世界的。他發(fā)現(xiàn)了許多簡(jiǎn)直難以置信的事情??低袪柺窃谘芯课⒎e分理論的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題
7、時(shí),開(kāi)始著手創(chuàng)立集合論的。自從17世紀(jì)牛頓(I.Newton,1642-1727)和萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)創(chuàng)立微積分理論體系之后,在近一二百年時(shí)間里,微積分理論一直缺乏一個(gè)嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。它的一些基本概念的表述,還有某些混亂和自相矛盾之處。從19世紀(jì)開(kāi)始,柯西(A.L.Cauchy,1789-1857)、魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass,1815-1897)等人進(jìn)行了微積分理論嚴(yán)格化的工作。他們建
8、立了極限理論,并把極限理論的基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論。那么,實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)又該是什么呢?康托爾試圖用集合論來(lái)作為實(shí)數(shù)理論,以至整個(gè)微積分理論體系的基礎(chǔ)。出于這一目的,康托爾用集合的觀點(diǎn)重新考察各種數(shù)量關(guān)系,特別是無(wú)窮數(shù)量關(guān)系。他發(fā)現(xiàn),無(wú)窮集合有著有窮數(shù)量關(guān)系所不具備的性質(zhì)。比如,在無(wú)窮集合領(lǐng)域,所有整數(shù)和所有偶數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的,所有理數(shù)和所有整數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的,平面上所有的點(diǎn)和線段上所有的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,……概言之,在無(wú)窮的世界里,整體的
9、所有元素和部分的所有元素之間可以是一一對(duì)應(yīng)的。另外,無(wú)窮集合并不都是相等的,比如所有實(shí)數(shù)和所有有理數(shù)之間就不是一一對(duì)應(yīng)的。因而,無(wú)窮集合是有大小的。集合論用“基數(shù)”這個(gè)概念來(lái)表示無(wú)窮集合間的區(qū)別。那么,有沒(méi)有一個(gè)最大的集合呢?康托爾通過(guò)研究,否定了這個(gè)想法。因?yàn)槊總€(gè)已知集合的所有子集所構(gòu)成集合,其基數(shù)都大于已知集合的基數(shù)。既然沒(méi)有最大的基數(shù),當(dāng)然也沒(méi)有最大的集合。無(wú)窮世界里的這些性質(zhì),初看起來(lái),真是令人頭暈?zāi)垦?。甚至康托爾本人在?chuàng)立集合
10、論的過(guò)程上,也時(shí)時(shí)感到心神不定。他在獲得線性連續(xù)統(tǒng)和π維連續(xù)統(tǒng)之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的結(jié)果后,寫(xiě)信給數(shù)學(xué)家戴德金(R.Dedekind,1831-1916)說(shuō):“我見(jiàn)到了,但我不相信”。然而,集合論的成果畢竟是有嚴(yán)格邏輯根據(jù)的。并且它在解決實(shí)數(shù)理論邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題中發(fā)揮了別的理論無(wú)法取代的重要作用。實(shí)踐使康托爾堅(jiān)定了信心,更加勇敢地前進(jìn),大膽挖掘無(wú)窮世界里的寶藏。他在提出超限基數(shù)和超限序數(shù)的過(guò)程中說(shuō):“我確實(shí)不知道,什么能夠限制我們這種形成新數(shù)
11、的活動(dòng),只要可以說(shuō)明,為了科學(xué)的發(fā)展,引入一個(gè)這種無(wú)窮的新數(shù)對(duì)于研究是需要的或者是不可的”??低袪柕难芯砍晒l(fā)表之后,馬上遭致當(dāng)時(shí)一些赫赫有名的數(shù)學(xué)家的激烈攻擊。德國(guó)數(shù)學(xué)家克隆尼克(L.Kronecker,1823-1891)就是那些人中的一個(gè)??寺∧峥吮瓤低袪柲觊L(zhǎng)22歲。當(dāng)康托爾還是柏林大學(xué)的學(xué)生時(shí),克隆尼克已經(jīng)是在這個(gè)學(xué)校任教的著名數(shù)學(xué)家了??寺∧峥嗽跀?shù)學(xué)上,特別是在高等代數(shù)方面有很多貢獻(xiàn)。然而他主張,除非一種數(shù)學(xué)對(duì)象能夠用有限步驟
12、從自然數(shù)中構(gòu)造出來(lái),否則不能認(rèn)為它在數(shù)學(xué)上是存在的。他有一句名言:“上帝創(chuàng)造了自然數(shù),其余的一切才是人做的工作”。因此,他否認(rèn)無(wú)理數(shù)的存在,也否認(rèn)極限理論的意義。他常常譏笑魏爾斯特拉斯的工作:“有趣,可惜不是數(shù)學(xué)”。他和數(shù)學(xué)家林德曼談話時(shí)說(shuō):“你那個(gè)關(guān)于π的漂亮研究有什么用呢?無(wú)理數(shù)根本就不存在,你為什么要研究這種問(wèn)題?”雖然康托爾是他的學(xué)生,但由于集合論的內(nèi)容同他的主張大相徑庭,所以克隆尼克不能容忍。他認(rèn)為,康托爾關(guān)于超限數(shù)的研究,是
13、一種非常危險(xiǎn)的數(shù)學(xué)瘋病。因而他與康托爾對(duì)立達(dá)十年之久。他甚至在柏林大學(xué)的學(xué)生面前公開(kāi)攻擊康托爾。克隆尼克的影響還使康托爾的學(xué)術(shù)論文一再延誤發(fā)表日期。除了克隆尼克之外,還有一些著名數(shù)學(xué)家也對(duì)集合論發(fā)表了反對(duì)意見(jiàn)。法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒(H.Poincare,1854-1912)說(shuō):“我個(gè)人,而且還不只我一人,認(rèn)為重要之點(diǎn)在于,切勿引進(jìn)一些不能用有限個(gè)文字去完全定義好的東西”。他把集合論當(dāng)作一個(gè)有趣的“病理學(xué)的情形”來(lái)談,并且預(yù)測(cè)說(shuō):“后一代將把
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