華北理工大學(xué)2016年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1-5章總復(fù)習(xí)

1、2、計(jì)算古典概型 :設(shè)隨機(jī)事件 A 中含有 m個(gè)樣本,點(diǎn) , 則 A 發(fā)生的概率為:,3、概率的基本性質(zhì):,10 對(duì)于每一個(gè)事件 A，有,不可能事件;概率為 1的事件也不一定是必然事件.,1、隨機(jī)現(xiàn)象;隨機(jī)試驗(yàn);樣本空間;事件及運(yùn)算,,,第一章,30 設(shè) A1，A2，? 是兩兩互不相容的事件，則,此式稱為概率的可列可加性(或完全可加性)。,此性質(zhì)稱為概率的有限可加性。,4、條件概率和事件的獨(dú)立性,設(shè)A，Ｂ為兩個(gè)事件，且 P(

2、A) >0，稱,,,為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。,互獨(dú)立的事件. 設(shè)n 個(gè)事件 A1,, A2 , . . . , An ,如,果對(duì)于任意 k (1< k ? n ) ,任意 1 ? i1< i2 < . . .< ik,? n ,具有等式,,,則稱 A1,, A2 , . . . , An 為相互獨(dú)立的事件.,如果對(duì)于任意的 i ? j , Ai 與 Aj 相互獨(dú)立,則稱這 n 個(gè)事

3、件兩兩相互獨(dú)立.,,,兩兩相互獨(dú)立是兩個(gè)不同的概念,前者蘊(yùn)涵后者,,但反之不成立.,5、 概率的計(jì)算公式:,(3) 加法公式,一般地,有,,,設(shè) P (A) > 0 , 則,(4) 乘法公式:,特別地 , 當(dāng) A , B 相互獨(dú)立時(shí),當(dāng) A1,…,An 相互獨(dú)立時(shí) ,,(5) 全概率公式 :如果 n 個(gè)事件 B1，B2，…，Bn,,,兩兩互不相容 , 且,則稱 B1，B2，…，Bn為樣本空間E的一個(gè)劃分.,設(shè) B1，B2，…，Bn

4、為樣本空間E的一個(gè)劃分,且,P(Bi) > 0 , (i=1 , 2 , … , n) , 則對(duì)于任意的事件,A ? S ,有,此公式稱為全概率公式 .,(6) 貝葉斯公式 :設(shè) B1,B2,…Bn為樣本空間 E的一個(gè)劃分,且P(Bi) > 0 , (i=1 , 2 , … , n) ,又設(shè),則對(duì)于每一個(gè),,,此公式稱為貝葉斯公式或逆概公式.,注：1、利用獨(dú)立性求,注：2、,注：3、對(duì)任意事件A1, A2,…, An

5、有,,,第二章,1、隨機(jī)變量：映射,是一事件, x是任意實(shí)數(shù)。,2、離散型：隨機(jī)變量X的值域是有限集或可列集,，即X的取值可表示為,概率分布列,,,3、隨機(jī)變量的分布函數(shù),X是樣本空間S上的隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，,F(x)=P{e:X(e) ≦x}=P{X ≦ x},分布函數(shù)的性質(zhì):,4、連續(xù)型隨機(jī)變量,X是隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是其分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù),f(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有,,,性質(zhì),=F(b)-F(a),,,(1)均勻分

6、布: 隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,X~U(a,b),則稱X服從（0，1）分布。,(2) （0，1）分布：隨機(jī)試驗(yàn)E，每次試驗(yàn)僅有兩個(gè),結(jié)果,5、幾個(gè)重要的分布,,,（3）二項(xiàng)分布,X~ b(n,p),(5) 指數(shù)分布: 隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,（4）泊松分布,,,(6) 正態(tài)分布: 隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,,,當(dāng),記為 X~N(0,1), 分布函數(shù),時(shí),稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,,性質(zhì)1 ：X~N(0,1)，P{X﹥x}=

7、1-Φ(x),,,P{a≦X≦b}=,性質(zhì)2 ：,6、隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)X是一隨機(jī)變量，f(x)是一連續(xù)函數(shù),Y=f(X)是隨機(jī)變量X的函數(shù)。,性質(zhì)3 :Y=aX+b（a≠0）,,,定理: 隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)是f(x),g(y)處處可微且,,則Y=g(X)的概率分布密度函數(shù)是,其中a=nim[g(-∞), g(+∞)], b=max[g(-∞), g(+∞)],h(y)是g(y)的反函數(shù)。,,,內(nèi)容總結(jié)：,3-1、二維隨

8、機(jī)變量及其分布函數(shù)的性質(zhì),第 三 章,聯(lián)合分布函數(shù)表示為,2、聯(lián)合分布函數(shù)：二維隨機(jī)變量（X，Y）的,,,0 ? F (x , y ) ? 1 ,且,3-2、二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律,1、二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）,3 分布函數(shù)的性質(zhì),,,概率函數(shù)P{X=xi,Y=yj}=pij的性質(zhì)：,,,,,3-3、連續(xù)形隨機(jī)變量：如果存在非負(fù)的函數(shù)f(x,y),(4) 設(shè)G 是 xoy 面上的一個(gè)區(qū)域,點(diǎn)(X,Y)落在 G

9、 內(nèi)的概率為,4、n 維隨機(jī)向量(或 n 維隨機(jī)變量):,,,概率密度具有以下性質(zhì),對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù),，n元函數(shù),5、條件分布函數(shù)：,為 的條件下關(guān)于 X 的條件分布函數(shù)；,,,為 的條件下關(guān)于 Y 的條件分布函數(shù)；,設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,,密度,則,設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,,,3-4 、 邊緣分布,1、(X,Y) 關(guān)于 X 和 Y 的邊緣分布函數(shù),X 和 Y

10、的邊緣分布律,,,連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y) ,概率密度為 f(x,y),為 (X,Y) 關(guān)于 X 和Y 的邊緣概率密度。,二維正態(tài)分布:（X，Y）的概率密度為,,,3-5、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,1、X 和 Y 是相互獨(dú)立,連續(xù)型：,離散型：,,,2、X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的,相互獨(dú)立。又若h,g是連續(xù)函數(shù)，則,定理 設(shè)X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn相互獨(dú)立,則,相互獨(dú)立。,,,3-6、兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,1、

11、 Z=X+Y 的分布及概率密度函數(shù),當(dāng) X 和 Y 相互獨(dú)立時(shí), Z的概率密度：,,,—卷積公式,定理：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布。,,,2、 M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布,第四章,1、數(shù)學(xué)期望,性質(zhì)：1、E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),2、當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y),,,2、方差,性質(zhì)（1）D(aX+b)=a2D(X),（2）當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),D

12、(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y),,,3、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,（3）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y),,,4、幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差,(1) X~b(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1-p),(2) X服從參數(shù)為λ的泊松分布，E(X)=D(X)= λ,,,5、切比雪夫不等式,(3) X~N(μ,σ2),E(X)= μ,D(X)=σ2(4) X在 (a,b)上服從均勻分布,6、

13、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},,,性質(zhì)：1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),當(dāng)ρXY=0時(shí), 稱X,Y不相關(guān),5-2 中心極限定理,定理5-3：設(shè) X1,X2，…,Xn…相互獨(dú)立,且服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=μ ，D(Xk)=σ2，k=1,2,…, 則隨機(jī)變量,第五章,,,的分布函數(shù)Fn(x)，有,,,注:該定理說(shuō)明當(dāng) X1 ,X2，…,

14、 Xn相互獨(dú)立且同分布, E(Xk)=μ ,D(Xk)=σ2, n很大時(shí),有,,,（1）總體與樣本,（3）統(tǒng)計(jì)量.,二、常用統(tǒng)計(jì)量及其分布,一、基本概念,,,三大抽樣分布,（2）樣本 k 階原點(diǎn)矩,樣本 k 階中心矩,（3）若總體 X ~ N ( ? , ?2 ) ， X1 , X2 , … , Xn 是從總體中抽取的樣本，則有：,① 樣本均值：,,,② 統(tǒng)計(jì)量,統(tǒng)計(jì)量,樣本均值 與樣本方差相互獨(dú)立。,,,④ X1,X2,

15、…,Xn是總體X~ N 的樣本, Y1,Y2,…,Ym是總體 Y~N 的樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,,,若 σ1= σ2= σ , 則,,,,,綜合復(fù)習(xí)題,1.已知P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r, 求下列事件的概率。,,,解：,2.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=? 答案

16、 ：2/3,解 A和B相互獨(dú)立，則A和B都不發(fā)生的概率為,,,由于 A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生,的概率相等，即,,又,設(shè)P(A)= P(B)=x，則,1－[2x－x2]=1/9 ,x=2/3,3.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A,B,C滿足條件： ABC=φ,P(A)=P(B)=P(C)<0.5, 且已知 P(A∪B ∪ C)=9/16,則P(A)=? 答案 ：1/4,,,解： A,B,C是兩兩相互

17、獨(dú)立的，則,P(AB)= P(A)P(B) ; P(BC) = P(C)P(B);,P(AC) = P(A)P(C);,,,由ABC=φ, P(A)=P(B)=P(C)<0.5,則 P(ABC)=0，,P(A∪B ∪ C)=[P(A)+P(B)+P(C)],－[P(A)P(B)+ P(C)P(B) + P(A)P(C) ],=3P(A)-3[ P(A)]2=9/16,P(A)=0.25,4.設(shè)A和B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且00, P

18、(B|A)= P(B|A－), 討論A和B之間的關(guān)系？ 答案： 獨(dú)立,解：由于,,,5. 已知隨機(jī)變量有分布列,其中λ>0為參數(shù)。又知當(dāng)m=2和m=3時(shí)有相等的概率。試求：,又,解：,m=2的概率；(2) m=5的概率；(3) m=2或m=5的概率；(4) X∈[2,5)的概率；,,,6. 已知隨機(jī)變量X有分布密度,又知 P{2<X<3}=2P{1<X<2}。求待定系數(shù)a,b。,,,解：,,,解：

19、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù),7. 已知隨機(jī)變量X在[-3，4]上服從均勻分布，求方程3x2-4Xx+1/3=0有實(shí)根的概率。,方程3x2-4Xx+1/3=0有實(shí)根的概率為,,,8. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)及關(guān)于X和Y的邊緣概率函數(shù)中的部分?jǐn)?shù)值。試將其余數(shù)值添入表中的空白處。,,,,,答案：,9. 已知R.V.(X,Y)有聯(lián)合分布函數(shù),求：1、P{X≦0,Y ≦1} 2

20、、邊緣密度函數(shù)，并考察隨機(jī)變量X,Y的獨(dú)立性。,,,解：1、P{X≦0,Y ≦1}=F(0,1)=3/8,,,∴ 隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立。,,,10.已知隨機(jī)變量X有分布密度,求待定系數(shù)k, 概率 P{a-2b<X<a+2b}, 其中,E(X)=a, D(X)=b。,,,解：,得：,b=0.3-0.25=0.05,,,11. 已知X,Y,Z為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(X)=9,E(Y)=20,E(Z)=12,E(X2)

21、=83, E(Y2)=401, E(Z2)=148 ，求X-2Y+5Z的數(shù)學(xué)期望和方差。,解：由于X,Y,Z為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則,E(X-2Y+5Z)=E(X)-2E(Y)+5E(Z)=29,D(X-2Y+5Z)=D(X)+4D(Y)+25D(Z)=2+4+100=106,D(X)= E(X2)-[E(X)]2=83-81=2,D(Y)= E(Y2)-[E(Y)]2=401-400=1,D(Z)= E(Z2)-[E(Z)]2=148

22、-144=4,,,12. 設(shè)有一批種子良種率為1/6，在其中任選定600粒，求這600粒種子中良種所占的比率與1/6,解：設(shè)X表示任選的600粒中良種粒數(shù)，每選一粒,為良種的概率為1/6，則X~b(600,1/6),,,之差的絕對(duì)值不超過(guò)00.2的概率。,,,13. 某公司電話總機(jī)有200臺(tái)分機(jī),每臺(tái)分機(jī)有6%的時(shí)間用于外線通話,假定每臺(tái)分機(jī)用不用外線是相互獨(dú)立的。求該總機(jī)至少有多少條外線,才能有95%的把握確定各分機(jī)需用外線時(shí)不必等候

23、。,X~b(200,0.06),設(shè)有m條外線即可滿足要求，則,解：設(shè)X表示200臺(tái)分機(jī)用于外線通話的臺(tái)數(shù)，則,,,14. 設(shè)有兩門高射炮，每門擊中飛機(jī)的概率為0.6，求同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)的概率。如果一架敵機(jī)入侵，欲以99%以上的概率擊中敵機(jī)，問(wèn)至少需要多少門高射炮。,,,15.,裝有10個(gè)白球, 5個(gè)黑球的罐中丟失1球,但,不知什么顏色,為了猜測(cè)她是什么顏色的球,隨機(jī)地從罐中摸出兩球,結(jié)果都是白球, 問(wèn)丟失的是黑球的概率

24、.,[解],設(shè)A表示丟失的是黑球這一事件.,設(shè)B表示摸出兩球都是白球這一事件.,1-5-65,,,1-5-66,16.已知隨機(jī)變量X,Y,Z中,E(X)=E(Y)=1,E(Z)=-1,D(X)=D(Y)=D(Z)=1, ρXY=0, ρXZ=0.5, ρzY=-0.5,求 E(X+Y+Z),D(X+Y+Z),解: E(X+Y+Z)= E(X)+E(Y)+E(Z)=1+1+-1=1,D(X+Y+Z)= E[(X+Y+Z)2

25、]- [E(X+Y+Z)]2,=E[X2]+ E[Y2]+E[Z2]+2E(XY)+2E(XZ) +2E(YZ)-1,,E[X2]=[E(X)]2+D(X)=2,E[Y2]= [E(Y)]2+D(Y)= 2,E[Z2]= [E(Z)]2+D(Z)=2,,,Cov(X,Y)= ρXY [D(X)D(Y)]1/2=0,Cov(X,Z)= ρXZ [D(X)D(Z)]1/2=0.5,Cov(Y,Z)= ρYZ [D(Y)D(Z)]1/2=-0