概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[0001]

1、第3章 多維隨機(jī)向量及其概率分布,3.1 隨機(jī)向量及其聯(lián)合分布函數(shù),3.3 隨機(jī)向量的獨(dú)立性,3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機(jī)向量,3.4 隨機(jī)向量的函數(shù)及其概率分布,3.1 隨機(jī)向量及其聯(lián)合分布函數(shù),一、多維隨機(jī)向量,二、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),三、邊緣分布函數(shù),一、多維隨機(jī)向量,定義,以后除非特別聲明，一般只討論二維隨機(jī)向量,實(shí)例1 炮彈的彈著點(diǎn)的位置 ( X, Y ) 就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.,二維隨機(jī)變量 ( X, Y )

2、 的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.,實(shí)例2 考查某一地 區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構(gòu)成二維隨機(jī)變量 ( H, W ).,說明,二、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),,,,二元分布函數(shù)的幾何意義,,y,x,o,,,,,,x1,x2,y1,y2,,,,,,,,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),,分布函數(shù)的基本性質(zhì)

3、：,且有,證明,,三、邊緣分布函數(shù),,,邊緣分布函數(shù)也稱為邊際分布函數(shù)或邊沿分布函數(shù),3.2 二維離散型和連續(xù)型隨機(jī)向量,一、二維離散型隨機(jī)向量,二、二維連續(xù)型隨機(jī)向量,定義 若隨機(jī)變量X和Y的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)向量.,設(shè)X的所有可能取值為,,Y的所有可能取值為,,則稱,,為二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合概率分布,一、二維離散型隨機(jī)向量,聯(lián)合概率函數(shù)的表格形式，稱為(X,Y)的

4、聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布列,二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率函數(shù)具有下列性質(zhì):,,,二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)為,,例1,一袋中裝有2只白球和3只黑球,進(jìn)行有放回取球,,,,若進(jìn)行不放回取球,例2 一袋中裝有4只球,依次標(biāo)有號(hào)碼1,2,2,3,從袋中有放回取求兩次,X,Y分別表示兩次取得球上的號(hào)碼,則(X,Y)的聯(lián)合概率分布為,,思考,將本例中有放回取球改為不放回取球,結(jié)果會(huì)如何?,二維離散型隨機(jī)向量的邊緣分布,,,,,,,,,,,例3,

5、在本節(jié)例1.中,,若進(jìn)行不放回取球,若進(jìn)行放回取球,定義,二、二維連續(xù)型隨機(jī)向量,二維隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)具有以下性質(zhì),,,,,,,,,例4,解,由密度函數(shù)性質(zhì),有,,,,例5,解,(2),二維連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣密度函數(shù),定義,同理可得 Y 的邊緣分布函數(shù),Y 的邊緣概率密度.,,例6 求隨機(jī)向量(X,Y)的邊緣分布函數(shù)和邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合分布函數(shù)為,,解,邊緣分布函數(shù)分別為,,,邊緣密度函數(shù)為,,例7 求隨機(jī)向量(X,Y

6、)的邊緣密度函數(shù)，已知其聯(lián)合密度函數(shù)為,解,由邊緣密度函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)的關(guān)系可知,,,,,,,所以,,同理,,1.均勻分布,定義 設(shè) D 是平面上的有界區(qū)域,其面積為 S,若二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 具有概率密度,則稱 ( X , Y ) 在 D 上服從均勻分布.,兩個(gè)常用的分布,2.二維正態(tài)分布,若二維隨機(jī)向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二維正態(tài)分布的圖形,例9,解,由于,于是,則有,即,同理可得,二維正態(tài)分布的兩個(gè)

7、邊緣分布都是一維正態(tài)分布,,請(qǐng)同學(xué)們思考,邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?,不一定.,舉一反例以示證明.,答,因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.,作業(yè),P89練習(xí)3.2 1 2 3,,3.3 隨機(jī)向量的獨(dú)立性,在多維隨機(jī)向量中，各分量之間有的相互影響，有的毫無關(guān)系。譬如在研究父子身高時(shí)，父親的身高Y往往會(huì)影響兒子的身高X.假如讓父子各擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)Y

8、1與X1之間就看不出任何關(guān)系.這種相互之間沒有任何影響的隨機(jī)變量稱為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.,1.定義,一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性,2.說明,(1) 若離散型隨機(jī)變量 ( X,Y )的聯(lián)合分布律為,解,例1,(1)由分布律的性質(zhì)知,,,,,,,特別有,又,(2) 因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立, 所以有,,,,,,解,由于X 與Y 相互獨(dú)立,,例2,因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立,,解,所以,求隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的分布律.,例4. 設(shè)二維隨機(jī)

9、向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,其中參數(shù) ,這個(gè)分布稱為二維指數(shù)分布,試討論X和Y的獨(dú)立性.,解: 由已知可得邊緣分布函數(shù),例5,例6 某碼頭能容納一只船,現(xiàn)預(yù)知某日將獨(dú)立地來到甲,乙兩船,且在24小時(shí)內(nèi)各時(shí)刻來的可能性都相等,如果它們需要停靠的時(shí)間分別為3小時(shí)及4小時(shí),試求有一船要在江中等待的概率.,∴關(guān)于X的邊緣密度函數(shù),∴關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù),解:設(shè)X表示甲船到達(dá)碼頭的時(shí)間.Y表示乙船到達(dá)碼頭的時(shí)

10、間.由題中條件,X與Y都服從[0,24]上的均勻分布,因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,故(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,事件{有一只船在江中等待}={Y<X<Y+4}+{X<Y<X+3},表示:甲船來時(shí),乙船已在碼頭,表示:乙船來時(shí),甲船已在碼頭,例7,,,,解,,,所以,根據(jù)聯(lián)合分布列和邊緣分布列的關(guān)系,不難得到X和Y的聯(lián)合分布列,,,由于,所以X,Y不相互獨(dú)立,99年考研題,8分,,重要結(jié)論,作業(yè),P94 練習(xí)3.3

11、1 2 3 4,,3.4 隨機(jī)向量的函數(shù)及其概率分布,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,為了解決類似的問題下面我們討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布.,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例1,解,等價(jià)于,,,,,,,,,概率,,,,,結(jié)論,例2 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為,求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.,解,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,1. Z=X+Y 的分布,,由此可得概率密度函