題目概率論

1、擲一枚硬幣，,或者,試驗(yàn)?zāi)康牟煌瑫r，樣本空間也會不同,記錄一臺電視機(jī)的壽命，,無限樣本空間，可列個樣本點(diǎn),測量某物理量(長度、直徑等)的誤差，,某超市一天內(nèi)的顧客數(shù)，,無限樣本空間，不可列個樣本點(diǎn),有限樣本空間,從一批產(chǎn)品中每次取出一個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，事件 表示第i次取到合格品(i=1,2,3),用事件的運(yùn)算表示下列事件： ①三次都取到合格品; ②三次中至少有一次取到合格品; ③三次中恰有兩次取到合格品; ④三次中最多有一次取

2、到合格品。,三次中至少有一次取到合格品,三次中恰有兩次取到合格品,三次中至多有一次取得合格品,三次全部取到合格品：,解：,當(dāng)n=50時，,當(dāng)n=100時，,設(shè)A,B,C是三個事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。,解：設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難簽。,10個考簽中有4個難簽，3人參加抽簽(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都

3、抽到難簽，甲沒抽到難簽而乙抽到難簽，甲乙丙都抽到難簽的概率。,解：用A表示“第一件是廢品”，B表示“第二件是廢品”,已知有一件是廢品，說明至少有一件廢品，即,若另一件也是廢品，則兩個都是廢品，即,10件產(chǎn)品中有4件廢品，不放回地連取2次，每次1件。若已知有一件是廢品，求另一件也是廢品的概率。,要求的是,因,設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率。,解：用A表示甲

4、擊中目標(biāo),B表示乙擊中目標(biāo)。,目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即,（因A與B獨(dú)立）,或由性質(zhì)③,一名士兵用步槍射擊飛機(jī)，命中率為0.004。求：① 若250名士兵同時射擊，飛機(jī)被擊中的概率；② 多少名士兵同時射擊，才能使飛機(jī)被擊中的概率達(dá) 到99％？,解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機(jī)，P(Ai)＝0.004,①,② 設(shè)有n名士兵同時射擊,某藥物對某病的治愈率為0.8，求10位服藥的病人中至少有6人治愈的概率。,解：設(shè)A表示至

5、少有6人治愈,＝P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10),正好有8人治愈的概率為,=0.302,(分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？,解：,應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注，,即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。,甲最終獲勝的概率為,P4(2)+P4(3)+P4(4),,每局雙方獲勝的可能性均為,乙勝的概率為

6、 ，賭注應(yīng)按11:5的比例分配,思考題： 甲, 乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽, 每局甲勝的概率為 問對甲而言,采用三局二勝制有利, 還是采用五局三勝制有利? 設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。,鑰匙掉了，落在宿舍的概率為40%，這種情況下找到的概率為0.9；落在教室的概率為35%，找到概率為0.3；落在路上的概率為25%，找到概率為0.1。求找到鑰匙的概率。,解：分別用 表示鑰匙落在宿舍、教室和路上，用B 表示找

7、到鑰匙； 顯然 構(gòu)成一個劃分，且,則,(抽簽的公正性)設(shè)10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。,解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。,某地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種檢測反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種檢測反應(yīng)陽性的概率為0.04?，F(xiàn)抽查一人，檢測反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率。,,解：,設(shè)A=“抽查的人患病”，B=“檢測結(jié)果為陽性”，欲求,由題意

8、知,則,貝葉斯公式中， 可稱為先驗(yàn)概率，它往往是根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，在試驗(yàn)前就已確定的； 稱為后驗(yàn)概率，是試驗(yàn)后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新見解。,例3的進(jìn)一步思考：這種檢測有沒有價(jià)值？,隨機(jī)抽一人，若不做檢測，對其患癌概率的認(rèn)識為 0.005；做檢測且結(jié)果為陽性，對其患病概率的認(rèn)識更新為0.1066；即使檢出陽性，也不必悲觀；若對第一次檢測陽性的人做第二次檢測，結(jié)果仍為陽性，問此人患病的概率？,現(xiàn)在

9、研究對象是第一次檢測呈陽性的人，我們對其患病概率的認(rèn)識已經(jīng)更新為,再做一次檢測，檢測的功效依然是“患者對檢測反應(yīng)呈陽性的概率為0.95，正常人對檢測反應(yīng)呈陽性的概率為0.04”，即,則二次陽性的患病概率為,離散型隨機(jī)變量幾種常見分布,1. (0-1)分布,設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個結(jié)果：A和 ，且,令,X的分布律為,則X服從(0-1)分布，或兩點(diǎn)分布，記為,也可寫為,在n重伯努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為 ,記X為n次試驗(yàn)中A發(fā)

10、生的次數(shù)，則,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為,2. 二項(xiàng)分布,設(shè) ，若,求,解：,由 知,所以,由此得,3. 泊松分布,設(shè)X的概率分布為,則稱X服從參數(shù)為 （>0）的泊松分布,記為,某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X 服從參數(shù) 的泊松分布, 求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.,解：,泊松分布和

11、二項(xiàng)分布,當(dāng)n很大時，計(jì)算二項(xiàng)分布 的概率將變得困難，為此可設(shè)法用別的方法來近似取代二項(xiàng)分布的計(jì)算,當(dāng)p較?。ㄒ话慵s定 ）和n較大，np大小適中時，我們有近似公式,這就是著名的泊松逼近,（參看教材P32泊松定理）,稱這種隨機(jī)變量服從幾何分布,某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊, 直到命中為止, 已知他每發(fā)命中的概率是 , 求所需射擊發(fā)數(shù) 的概率分布.,X=1表示第一次射擊命中，,解：,X=2表示第二次命

12、中，第一次未中，,X=k表示第k次命中，前k-1次未中，,因此X的分布律為,易知,,,因?yàn)?，所以對連續(xù)型變量,,連續(xù)型隨機(jī)變量 幾種常見的連續(xù)型分布,1. 均勻分布,若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,,稱X在區(qū)間 上服從均勻分布，記為,,若X服從均勻分布，則X落在 中任一子區(qū)間的概率與該子區(qū)間的長度成正比，與子區(qū)間的位置無關(guān)。粗略地講就是X取 中任一點(diǎn)的可能性一樣,2. 指數(shù)分布,若隨機(jī)變量X的密度函

13、數(shù)為,,稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,指數(shù)分布的無記憶性,對于任意 有,證明：,3. 正態(tài)分布,若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,,其中 和 都是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布. 記為,,,,正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布, 在十九世紀(jì)前葉由德國數(shù)學(xué)家高斯加以推廣, 故又稱為高斯分布.,從圖形可見，密度函數(shù)關(guān)于 對稱，,越小，分布越集中在 附近，,越大，分布就越平坦,一般來說

14、，一個隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個因素都不起主導(dǎo)作用（作用微?。?，則它服從正態(tài)分布. 這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因. 例如, 產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo), 元件的尺寸, 某地區(qū)成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差, 信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.,設(shè)某項(xiàng)競賽成績 ，若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎，問獲獎分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？,解：設(shè)獲獎分?jǐn)?shù)線為m，則,解出m即

15、可,4. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的重要性在于, 任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,,定理：設(shè) ，則,正態(tài)分布當(dāng) 時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其密度函數(shù)常用 表示：,分布函數(shù)的性質(zhì),①單調(diào)性：若 ，則,證明：,②,③ 右連續(xù)性：,,判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)?,,注意：右連續(xù)性要求 至多有可

16、列個間斷點(diǎn)， 在其間斷點(diǎn)上右連續(xù)。,,等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間 上投點(diǎn), 記X為落點(diǎn)的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)) , 求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).,解：,欲求,當(dāng) 時，事件 表示點(diǎn)落在 外，這是不可能事件，故 ；,當(dāng) 時，事件 的概率表示點(diǎn)落在 的概率，故 ；,當(dāng)

17、時，事件 是必然事件，故 ；,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為,,則X的分布函數(shù)為,,它是一個階梯函數(shù)（右連續(xù)），在每個 處有跳躍，躍度為,設(shè) ，求,,解：,0,,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,則,兩點(diǎn)說明：,①,,,② 若 在 處連續(xù)，則,不止是右連續(xù)的，而是整

18、個數(shù)軸上的連續(xù)函數(shù),設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求：A，密度函數(shù) ,,解：,因 是連續(xù)函數(shù)，故,設(shè)X的密度函數(shù),求 F(x).,解：,正態(tài)分布的分布函數(shù),正態(tài)分布 的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,①表中給出了 時 的數(shù)值, 當(dāng) 時,利用 正態(tài)分布的對稱性, 易見有,,,,②若 則,,,③若 ，則

19、 故X的分布函數(shù),,,,,,解：,求X的分布函數(shù),聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),1. 是 的不減函數(shù)，即,時，,時，,2.,3. 關(guān)于 均為右連續(xù)，即,4. 非負(fù)性 對任意的,從左圖可知,具有上述四條性質(zhì)的二元函數(shù)一定是某個二維隨機(jī) 向量的分布函數(shù) 性質(zhì)4是二維場合特有的，但性質(zhì)4不能由前三條推出,二元函數(shù) 是不是分布函數(shù)？,解：,容易證明單調(diào)性、

20、有界性、右連續(xù)性滿足,但,不滿足性質(zhì)4，故 不能成為某二維隨機(jī)向量的分布函數(shù),聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì),（4）,設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合密度函數(shù)為,求：常數(shù)Ｋ；　　　落在區(qū)域G的概率；,解：,G,二維均勻分布,設(shè)G是平面上的有界區(qū)域, 面積為S。若二維隨機(jī)向量 具有聯(lián)合密度函數(shù),,則稱 在G上服從均勻分布,,,,設(shè)隨機(jī)變量,求

21、 的聯(lián)合分布律,,設(shè) 服從二維正態(tài)分布,求其關(guān)于X、Y的邊緣密度。,解：,設(shè)二維隨機(jī)向量 的聯(lián)合密度函數(shù)為,求：,解：,時，,時，,時，,時，,即,即,關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性，有以下兩個定理：,定理1 隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X所生成的任何事件與Y生成的任何事件獨(dú)立, 即對任意實(shí)數(shù)集A,B 有,,定理2 如果隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立, 則對任意函數(shù)

22、 ， 和 相互獨(dú)立。,,對離散型隨機(jī)變量 ，其獨(dú)立性的定義等價(jià)于：,,對 的所有可能取值 有,,即,,對連續(xù)型隨機(jī)變量 ，其獨(dú)立性的定義等價(jià)于：,對任意的 ，,,幾乎處處成立,設(shè)X、Y的聯(lián)合密度函數(shù)為,,X、Y是否相互獨(dú)立？,解：,當(dāng) 時,當(dāng) 或 時,同理,不獨(dú)立,已知X,Y相互獨(dú)立，分布律為,求X-Y的分布律。,

23、X-Y的取值可以為1，2，3，4,類似可算出其它概率,X-Y的概率分布表為,解：,（分賭本問題）甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?,因再賭兩局必分勝負(fù)，共四種情況： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4,解：,,設(shè)X的密度函數(shù)為 ，且,,求 與 的值。,解：,,,定理 設(shè)X是一個隨機(jī)變量

24、，Y=g(X),且E(Y)存在，則,⑴若X為離散型隨機(jī)變量，分布律為,則Y的數(shù)學(xué)期望為,⑵若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為,則Y的數(shù)學(xué)期望為,,上述定理可推廣到二維以上的情形, 即,,,,設(shè) 的密度函數(shù)為,,求,解：,,設(shè) 的聯(lián)合分布律為,,求,解：,,設(shè) ，試?yán)闷谕男再|(zhì)求,解：,引入隨機(jī)變量,則,故,將隨機(jī)變量分解成若干個隨機(jī)變量之和，一般會使數(shù)學(xué)期望的計(jì)算變得簡單,,一輛公共汽車上共有25名乘客，每個

25、乘客都等可能地在9個車站中任一站下車，并且他們下車與否相互獨(dú)立。公共汽車只有在有人下車時才停車，求公共汽車停車次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。,解：引入隨機(jī)變量,第i站有人下車,第i站無人下車,易知,按題意，任一乘客在第i站不下車的概率為 ,因此25名乘客都不在第i站下車的概率為,則 的分布律為,因此,故,,設(shè) 是一個隨機(jī)變量, 稱偏差平方 的數(shù)學(xué)期望 為 的方差，記為,方差的正平方根 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或

26、均方差,它與 具有相同的度量單位, 在實(shí)際中經(jīng)常使用.,方差的定義,離散型隨機(jī)變量,連續(xù)型隨機(jī)變量,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)刻劃了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離 程度,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的波動性.,,從方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的定義易見： ① 的取值越集中,方差越小; ② 的取值越分散,方差越大。 若X的數(shù)學(xué)期望存在，其方差不一定存在；但當(dāng)X 的方差存在時， 必定存在。,,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì), 易得計(jì)算

27、方差的一個 簡化公式：,,設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 和方差 都存在，且,,,記 則,,,,,即 的數(shù)學(xué)期望為0, 方差為1； 稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量,,1. 常數(shù)的方差為0，即,方差的性質(zhì),2.,3.,特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則,注：設(shè) 兩兩相互獨(dú)立，則,,設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，試證,,證明：,,設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如下,

28、,求 的協(xié)方差（02年考研題）,解： 的聯(lián)合分布律為,,故,,協(xié)方差的性質(zhì),①,②,④,⑤,⑥ 若 相互獨(dú)立，則,⑦ 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系：,特別地，當(dāng)X,Y獨(dú)立時,,若隨機(jī)變量Y=aX+b， ,求X和Y的相關(guān)系數(shù)。,解：,故,故 時,時,,1.,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),表明X和Y有近似線性關(guān)系,稱X和Y正相關(guān)；,稱X和Y負(fù)相關(guān),設(shè)X，Y的聯(lián)合分布律為,,但

29、 故X,Y不獨(dú)立,事實(shí)上, X和Y具有關(guān)系 ,Y的值完全可由X的值所確定,故,已知X的密度函數(shù)為,求cov(X,|X|),X與|X|是否相關(guān)？是否獨(dú)立？,解：,于是,，即X和|X|不相關(guān),,但顯然兩者不獨(dú)立,1.設(shè) ，,求 的協(xié)方差矩陣,2.設(shè),的協(xié)方差矩陣

30、 ,求相關(guān)系數(shù)矩陣,大數(shù)定律 生產(chǎn)實(shí)踐中, 人們認(rèn)識到大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)、測量數(shù)據(jù)的 算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性. 大數(shù)定律敘述隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值的收斂性 作為特例，它解決了頻率與概率間的收斂關(guān)系問題,中心極限定理 確定在什么條件下，大量隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)會 收斂于正態(tài)分布函數(shù). 從理論上說明了，在客觀世界中遇到的許多隨機(jī)變量 為什么往往服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布,切比雪夫不等式

31、,另一種常用形式：,越大,即，隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大，由此可見方差刻畫了隨機(jī)變量取值的離散程度。,⑵ 當(dāng)方差已知時，切比雪夫不等式給出了X與它的期望 的偏差不小于 的概率的估計(jì)式，例如,取 ，則,故對任給的分布，只要期望和方差存在，則隨機(jī)變量X 取值偏離E(X)超過3倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率小于0.111,設(shè)電網(wǎng)供電站有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，假設(shè)各盞燈的開、

32、關(guān)相互獨(dú)立，試估計(jì)夜晚同時開著的燈數(shù)在6800和7200之間的概率。,解：用X表示同時開著的燈的數(shù)目，X～B(10000, 0.7),用切比雪夫不等式估計(jì)：,依概率收斂,與微積分學(xué)中收斂性的概念類似, 概率論中要考慮隨機(jī)變量序列的收斂性.,伯努利大數(shù)定律,,伯努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)充分大時, 事件A發(fā)生的頻率 依概率收斂于事件發(fā)生的概率p。 定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性. 在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時,便可以

33、用事件發(fā)生的頻率來近似代替事件的概率。,如果事件的概率很小，則由伯努利大數(shù)定律知事件 發(fā)生的頻率也是很小的，或者說事件很少發(fā)生，即“概率很小的隨機(jī)事件在個別試驗(yàn)中幾乎不會發(fā)生”， 這一原理稱為小概率原理，它的實(shí)際應(yīng)用很廣泛。,但應(yīng)注意到，小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的. 在多次試驗(yàn)中，小概率事件也可能發(fā)生。,辛欽大數(shù)定律,定理不要求隨機(jī)變量的方差存在; 伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況;,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的

34、期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑。例如, 要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量, 可收割某些有代表性的地塊, 如n塊,計(jì)算其平均畝產(chǎn)量, 則當(dāng)n較大時,可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計(jì)。此類做法在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。,中心極限定理,實(shí)際問題中, 許多隨機(jī)現(xiàn)象是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所形成, 其中每一個因素在總影響中所起的作用是微小的，這類隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。以一門大炮的射程為例, 影響大炮的射程的隨機(jī)因素包

35、括: 大炮炮身結(jié)構(gòu)的制造導(dǎo)致的誤差, 炮彈及炮彈內(nèi)炸藥在質(zhì)量上的誤差, 瞄準(zhǔn)時的誤差, 受風(fēng)速、風(fēng)向的干擾而造成的誤差等。其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互獨(dú)立的, 人們關(guān)心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響。因此需要討論大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的問題.,中心極限定理回答了大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的近似分布問題, 其結(jié)論表明: 當(dāng)一個量受許多隨機(jī)因素(主導(dǎo)因素除外) 的共同影響而隨機(jī)取值, 則它的分

36、布就近似服從正態(tài)分布。,該定理表明:,,,只假設(shè) 獨(dú)立同分布、方差存在，不管原來的分布是什么，只要n充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近隨機(jī)變量和的分布。,將林德伯格-勒維極限定理用于重復(fù)伯努利試驗(yàn)場合，可得：,顯然棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格—勒維定理的一個特例。 它還說明，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。,某大型商場每天接待顧客10000人，設(shè)某位顧客的消費(fèi)額(元)服從[100,1000]上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是獨(dú)立的

37、，試求該商場的銷售額超過600萬的概率。,解：設(shè)第i位顧客消費(fèi) 元，商場銷售額為X,由林德伯格-勒維極限定理,對于一個學(xué)校而言, 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機(jī)變量, 設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、 2名家長來參加會議的概率分別0.05, 0.8, 0.15。若學(xué)校共有400名學(xué)生, 設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨(dú)立, 且服從同一分布.(1)求參加會議的家長數(shù)超過450的概率;(2)求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于34

38、0的概率.,解：（1）設(shè)第i位學(xué)生的家長數(shù)為,參加會議的家長總數(shù)為X，則,相互獨(dú)立,欲求,（2）引入隨機(jī)變量,有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)為Y，則,欲求,設(shè)我們獲得了如下三個樣本：樣本A: 3,4,5,6,7；樣本B: 1,3,5,7,9； 樣本C: 1,5,9,① 如果將它們畫在數(shù)軸上，明顯可見它們的“分散程度” 不同：樣本A在這三個樣本中比較密集，而樣本C比較 分散。,③ 由于樣本方差的量綱與樣本的量綱不同，故常用樣

39、本 標(biāo)準(zhǔn)差表示分散程度，即,同樣有,則順序統(tǒng)計(jì)量與極差的觀測值為,,,,,,,分布的概率密度為：,,其中 為Gamma函數(shù)，,卡方分布是只取非負(fù)值的偏態(tài)分布。當(dāng)自由度n增大時，卡方分布密度函數(shù)的圖形逐漸接近于正態(tài)分布的密度曲線,分布的性質(zhì),設(shè) 是來自總體 的樣本, 又設(shè),,,,試求常數(shù)C, 使CY服從卡方分布。,解：,同樣可得,且 與

40、 相互獨(dú)立,于是,定理1：,t 分布,t 分布的密度函數(shù)：,,,定義2 設(shè) 且 與 相互獨(dú)立，則稱,服從自由度為n的 t 分布，記為,,1. 的圖形關(guān)于縱軸對稱，且,,,2. 當(dāng)n充分大時，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 一般,時，t分布可用 近似。,t 分布的性質(zhì),分布的分位數(shù),設(shè) 對給定的實(shí)數(shù)

41、 稱滿足條件,的點(diǎn) 為 分布的上(側(cè)) 分位點(diǎn),由密度函數(shù) 的對稱性，知,設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個樣本，證明,證明：,而,與 相互獨(dú)立,定理2：,F 分布,F 分布的密度函數(shù)：,,定義3 設(shè) 且 與 相互獨(dú)立，則稱,服從自由度為m與n的F分布，記為,F分布的性質(zhì),1. 若 則,2

42、. 若 則,設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 是來自總體X的一個樣本, 試問統(tǒng)計(jì)量,,服從何種分布?,解：,且兩者相互獨(dú)立,定理4及推論：,,,,估計(jì)量 是一個隨機(jī)變量, 是樣本的函數(shù)，即是一個統(tǒng)計(jì)量;對不同的樣本值, 的估計(jì)值 一般是不同的.,,因?yàn)橛纱髷?shù)定律知, 當(dāng)總體的k階矩存在時,樣本的k階矩依概率收斂于總體的k階矩,用矩法估計(jì)事件

43、發(fā)生的概率p,解：,設(shè) 為一組樣本,其中m為事件發(fā)生次數(shù),即可用事件發(fā)生的頻率來估計(jì)概率,設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布，a,b未知. 是來自X的樣本, 試求a,b的矩估計(jì)量.,,解：,令,解出,設(shè)總體X的密度函數(shù)為,,其中 是未知參數(shù)， 是取自X的樣本, 求參數(shù) 的矩估計(jì).,,,解：,

44、令,解出,設(shè)總體X的密度函數(shù)為,是取自X的樣本, 求參數(shù) 的矩估計(jì).,解：,令,解出,另外,令,解出,這說明矩估計(jì)可能不唯一，通常應(yīng)盡量用低階矩來給出未知參數(shù)的估計(jì),最大似然估計(jì),,某同學(xué)與一位獵人一起去打獵,一只野兔從前方竄過, 只聽一聲槍響, 野兔應(yīng)聲倒下, 試猜測是誰打中的?,由于只發(fā)一槍便打中,而獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率, 故猜測這一槍是獵人射中的.,,,最大似然估計(jì)法的思想: 在已經(jīng)得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的情況下

45、, 應(yīng)該尋找使這個結(jié)果出現(xiàn)的可能性最大的那個 作為 的估計(jì) .,下面分別就離散型總體和連續(xù)型總體情形作具體討論.,,,,,似然函數(shù) 的值的大小意味著該樣本值出現(xiàn)的可能性大小，在已得到樣本值 的情況下, 應(yīng)該選擇使 達(dá)到最大值的那個 作為 的估計(jì) . 這種求點(diǎn)估計(jì)的方法稱為最大似然估計(jì)法（MLE）.,用最大似然法估計(jì)事件發(fā)生的概率p,解：,設(shè) 為一組樣本

46、,取對數(shù)得,求駐點(diǎn)，令,解出,這是唯一可能的極值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn),即由最大似然法，可以由頻率估計(jì)概率。,設(shè)總體X的密度函數(shù)為,,若有一組樣本,16，29，50，68，100，130，140，270，280，340，410，450，520，620，190，210，800，1100,求參數(shù) 的最大似然估計(jì)。,解：用 表示樣本觀測值,,解出,§2 估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn),,對同一參數(shù) ,可以用不同的方法