概率論 3

1、第五章 大數(shù)定理與中心極限定理,本章主要討論兩個問題：,1. 多個隨機變量的算術(shù)平均值與其數(shù)學(xué)期望以及方差之間的關(guān)系。------大數(shù)定理,2. 怎樣用正態(tài)分布對多個隨機變量的和的分布作近似計算。------中心極限定理,切比雪夫(Chebyshev)不等式,切比雪夫不等式:,§5.1 切比雪夫不等式,或,注,1.上述不等式對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量均成立。,2. 不用知道X服從哪種分布，只需知道其期望和方差。,3.

2、考慮的范圍必須為以EX為中心的區(qū)域。,4. 概率估計不是很精確。,,,分析：,若X為離散型隨機變量,,,,,,,設(shè)X 的概率密度為,則,證,如果X為離散型隨機變量，則,如果X為連續(xù)型隨機變量，,依概率收斂定義：,上一頁,下一頁,返回,例1 設(shè)X的期望為a，方差為 ，證明：,證,證,由X服從二項分布，知：,例3 設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚每一盞電燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)時間彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在68

3、00與7200之間的概率.,解:令X表示在夜晚同時開著的燈的數(shù)目,它服從參數(shù)n=10000, p=0.7的二項分布.若要準(zhǔn)確計算,應(yīng)該用貝努里公式:,如果用切貝謝夫不等式估計:EX=np=10000×0.7=7000 DX=npq=2100,可見,雖然有10000盞燈,但是只要有供應(yīng)7200盞燈的電力就能夠以相當(dāng)大的概率保證夠用.事實上,切貝謝夫不等式的估計只說明概率大于0.95,后面將具體求出這個概率約為0.99

4、999,切貝謝夫不等式在理論上具有重大意義,但估計的精確度不高.,解,設(shè)事件A 在每次試驗中發(fā)生的概率為 p，,則,因此，所求事件的概率為,§5.2 大數(shù)定理,切比雪夫大數(shù)定律：,設(shè)獨立隨機變量 ,,則對于任何正數(shù) ?，恒有,及方差,且存在某一常數(shù)K，使得,設(shè)隨機變量,證,由切比雪夫不等式,,,并注意到概率不能大于1，得證.,所以,,,這個定理說明： 當(dāng)n充

5、分大時，n個獨立隨機變量的平均數(shù)這個隨機變量，越來越密的聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近。,貝努里大數(shù)定律,證明:設(shè),第i次試驗事件A發(fā)生,第i次試驗事件A不發(fā)生,則,由切比雪夫大數(shù)定律,即,且數(shù)學(xué)期望為 ? ，,則對于任何正數(shù) ?，恒有,這個定理說明：當(dāng)試驗條件不變的情況下，重復(fù)進行多次時，隨機事件的頻率在它的概率附近擺動。,辛欽大數(shù)定律,,,獨立同分布,注意：此定理不再需要方差的限制條件。 這一定理使算術(shù)平均值的法則有了理論依據(jù)。,假使

6、測量某一量a，對該量測量n次，則其算術(shù)平均值與a的誤差大于 的概率是很小的。,§5.3 中心極限定理,在客觀實際中有許多隨機變量,它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的。這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。,正態(tài)分布在隨機變量的各種分布中,占有特別重要的地位.在某些條件下,即使原來并不服從正態(tài)分布的一些獨立的隨機變量,它們的

7、和的分布,當(dāng)隨機變量的個數(shù)無限增加時,也是趨于正態(tài)分布的. 在概率論里,把研究在什么條件下,大量獨立隨機變量之和的分布以正態(tài)分布為極限這一類定理稱為中心極限定理.,一般說來,如果某些偶然因素對總和的影響是均勻的,微小的,即沒有一項起特別突出的作用,那么就可以斷定描述這些大量獨立的隨機因素的總和的隨機變量是近似的服從正態(tài)分布.,獨立同分布中心極限定理(列維-林德伯格定理),正態(tài)分布,隸莫佛-拉普拉斯中心極限定理,二項分布以正態(tài)

8、分布為極限，下邊補充定理：,拉普拉斯定理：,(1) 局部極限定理：,(2) 積分極限定理：,例1.一個螺絲釘重量是一個隨機變量，期望值是1 兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩，求一盒（100個）同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率。,由中心極限定理,解:設(shè)X 為一盒螺絲釘重量, Xi為第i 個螺絲釘?shù)闹亓?i=1,2,…,100,則X1,…,X100獨立,且有,解 令第i次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為Xi, 100次轟炸命中目標(biāo)

9、次數(shù),例2 對敵人的防御地段進行100次轟炸,每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個隨機變量,其期望值為2,方差為1.69.求100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率.,(1)直接計算:,(2)的計算結(jié)果與(1)的相差較大,這是由于n不夠大.一般要求n至少為50,有時也放寬到n≥30使用.,例3 10部機器獨立工作,每部停機的概率為0.2.求3部機器同時停機的概率,解 10部機器中同時停機的數(shù)目,(2)若用局部極限定理近似計

10、算:,解,例4 用拉普拉斯積分極限定理計算:,設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚每一盞電燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)時間彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.,解 10000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)X服從二項分布,,例5 產(chǎn)品為廢品的概率為P=0.005,求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率.,例3 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參

11、加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15. 若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立，且服從統(tǒng)一分布.(1) 求參加會議的家長人數(shù)X超過450的概率；(2) 求有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率.,解 (1) 以Xk記第k個學(xué)生來參加會議的家長人數(shù)，則由已知條件Xk的分布率為,可以計算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，?，400.由獨立同分布中心極限定理，得,解 (2) 以Y記

12、由一名家長參加會議的學(xué)生人數(shù)，則Y服從參數(shù)為400，0.8的二項分布. 于是由棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理，得,從而有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率約為0.9938.,解 設(shè)X為500發(fā)炮彈命中飛機的炮彈數(shù)目,(1)用二項分布公式計算:,例6 每顆炮彈命中飛機的概率為0.01,求500發(fā)炮彈命中5發(fā)的概率,(2)用泊松公式計算,直接查附表一可得:P5(5) ≈0.175467,(3)用拉普拉斯局部極限定理計算:,下