第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 - 統(tǒng)計(jì)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)

1、1第六章第六章參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)6.1點(diǎn)估計(jì)的幾種方法點(diǎn)估計(jì)的幾種方法6.1.1替換原理和矩法估計(jì)替換原理和矩法估計(jì)一、矩法估計(jì)一、矩法估計(jì)替換原理：替換原理：(1)用樣本矩去替換總體矩，這里的矩可以是原點(diǎn)矩也可以是中心矩；(2)用樣本矩的函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù)。舉例二、概率函數(shù)二、概率函數(shù)已知時(shí)未知參數(shù)的矩法估計(jì)已知時(shí)未知參數(shù)的矩法估計(jì))(?xp設(shè)總體具有已知的概率函數(shù)，是未知參數(shù))(1kxp????)(1k????或參數(shù)向量，是

2、樣本，假定總體的階原點(diǎn)矩存在，則對(duì)所有nxxx21?kk?，都存在，若假設(shè)能夠表示成的函數(shù)j0kj??j?k??1?k??1?，則可給出諸的矩法估計(jì)：)(1kjj??????j?kjaakjj??1)(?1????其中是前個(gè)樣本原點(diǎn)矩：，進(jìn)一步，如果要估計(jì)kaa1?k???nijijxna11的函數(shù)，則可直接得到的矩法估計(jì)k??1?)(1kg??????。)??(?1kg?????例1設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，xexp?????)

3、(0?x是樣本，此處，由于，亦即，故的nxxx21?1?k?1?EXEX1???矩法估計(jì)為x1???另外，由于，其反函數(shù)為，因此，從替換原21)(??XVar)(1XVar??理來(lái)看，的矩法估計(jì)也可取為?，s1?1??樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這說(shuō)明矩估計(jì)可能是不唯一的，這是矩法估計(jì)的一個(gè)缺點(diǎn)，s此時(shí)通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計(jì)。例2設(shè)是來(lái)自上的均勻分布的樣本，與均是未知參nxxx21?)(baab數(shù)，這里其密度函數(shù)為2?k，??????

4、???01)(bxaabbaxp求，的矩估計(jì).ab3由于0)1(22)(ln22322122?????????????nnnnL所以為極大值點(diǎn)。??例4設(shè)樣本x1，x2，…，xn來(lái)自正態(tài)總體X?N(?，?2)，(?，?2)是??二維參數(shù)，未知，求其的極大似然估計(jì)。解似然函數(shù)為??222211()2222211()(2)2niiixnnxiLee?????????????????????于是對(duì)數(shù)似然函數(shù)為??????niixnnL1222

5、2)(21ln22ln2)(ln????????????????????????????niiniixnLxL1242212.0)(212ln0)(1ln???????解之得????????niiniixxnxxn1221)(1?1???易驗(yàn)證，為L(zhǎng)(?，?2)得最大值點(diǎn)。因此，的極大似然估計(jì)值為2????2???????????niiniixxnxn1221)(1?1???求導(dǎo)無(wú)法解決的問(wèn)題，如下例。例5設(shè)是來(lái)自均勻分布的樣本，試求的

6、最大似然估nxxx21?)0(?U?計(jì)。解似然函數(shù)為?????niXniIL101)(???要使達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)取值應(yīng)該為1，其次是盡可能)(?Ln?1大。由于是的單調(diào)減函數(shù)，所以的取值就盡可能小，但示性函數(shù)為n?1??1決定了不能小于，由此給出了的最大似然估計(jì)：。?)(nx?)(?nx??最大似然估計(jì)的不變性最大似然估計(jì)的不變性：如果是的最大似然估計(jì)，則對(duì)任一函數(shù)???，其最大似然估計(jì)為。)(?g)?(?g例6設(shè)是來(lái)自正態(tài)