專題確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法

1、確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法簡(jiǎn)約課堂第1頁(yè)確定確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，這些考題不但涉及到洛倫茲力作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問(wèn)題、運(yùn)用數(shù)字知識(shí)解決物理問(wèn)題的難度較大的考題。但無(wú)論這類問(wèn)題情景多么新穎、設(shè)問(wèn)多么巧妙，其關(guān)鍵一點(diǎn)在于規(guī)范、準(zhǔn)確地畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。只要確定了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌

2、跡，問(wèn)題便迎刃而解。下面舉幾種確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。一、對(duì)稱法一、對(duì)稱法帶電粒子如果從勻強(qiáng)磁場(chǎng)的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)線段的中垂線對(duì)稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則其射出磁場(chǎng)時(shí)速度延長(zhǎng)線必過(guò)圓心（如圖2）。利用這兩個(gè)結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。例1如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)

3、磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30角的同樣速度v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？解析：解析：正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4），由對(duì)稱性知：射入、射出點(diǎn)和圓心恰好組成正三角形。所以兩個(gè)射出點(diǎn)相距，由圖還看出經(jīng)歷時(shí)間s=2r=2相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對(duì)稱。?=23=4π3例2如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域

4、內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)，并由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為圓心。當(dāng)∠MON＝120時(shí)，求：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場(chǎng)區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解析：解析：分別過(guò)M、N點(diǎn)作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點(diǎn)O即為帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)圓弧軌道的圓心，如圖6所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對(duì)的軌道圓心角為60，O、O的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=rtan30=3r又帶電粒子的

5、軌道半徑可表示為：故帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期：R=0T=2πmqB=23π0確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法簡(jiǎn)約課堂第3頁(yè)從O點(diǎn)以半徑R（）作“動(dòng)態(tài)圓”，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，a2＜R＜a其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，所以t=4?！螼CA＝π2設(shè)最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系得：，，再加上，Rsinα=R?α2Rα=a?R

6、cosαsin2αcos2α=1解得：，。R=(2?62)=(2?62)sinα=6?610三、縮放圓法三、縮放圓法帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問(wèn)題得到解決。例5如圖13所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與邊界的夾角為θ，已知電子的質(zhì)量為m，

7、電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界射出，設(shè)此時(shí)的速率為v0，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得：rrcosθ=d①電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：，所以：②0B=m20=mv0B聯(lián)立①②解得：，所以電子從另一側(cè)射

8、出的條件是速度大于。v0=(1θ)(1θ)例6（2010全國(guó)II卷）如圖15所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，

9、并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3a4，求離子乙的質(zhì)量；（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？解析：解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：qvB0=qUd，解得離子的速度