大學(xué)畢業(yè)論文構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、皖西學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)第1頁構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要摘要:構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中常用的一種方法，尤其在解決繁難的數(shù)學(xué)問題時，如能根據(jù)具體問題恰當(dāng)運(yùn)用構(gòu)造法，那么就會化難為易、化繁為簡，使問題迎刃而解。數(shù)學(xué)構(gòu)造法是一種重要的創(chuàng)造性思維方法。文章從構(gòu)造命題、函數(shù)、方程、恒等式、數(shù)列、幾何模型及實(shí)物模型等九個方面展示了構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:應(yīng)用解題構(gòu)造法引言引言:數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，離不開解題，美國

2、數(shù)學(xué)家哈爾莫斯也曾說過“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問題和解，問題才是數(shù)學(xué)的心臟”。在數(shù)學(xué)教育中，解題活動可以說是最基本的活動形式。一個好的問題的解決方式往往有多種。用構(gòu)造法解題是一個既古老又年輕的科學(xué)方法，如歐拉“七橋問題”的解決，歷史上許多數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造發(fā)解決過數(shù)學(xué)中的難題。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)上的一種基本方法，在解題中通過對條件和結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一個適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，使問題巧妙的得到解決，從而避免繁雜的運(yùn)算或復(fù)雜的證明。構(gòu)造法有十分優(yōu)越

3、的特點(diǎn)：它在于使已知與未知，條件與結(jié)論，建立聯(lián)系。使本來模糊不清的關(guān)系豁然開朗，層次分明。它起到化簡、轉(zhuǎn)化和“橋梁”的作用。如果我們能掌握構(gòu)造法并能運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題那么不但可以提高我們的解題能力而且可以培養(yǎng)我們良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。1、構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)法解題的方法就是根據(jù)題目變量間的關(guān)系構(gòu)造一個輔助函數(shù)，使各變量有機(jī)結(jié)合起來，從而使解題思路明朗。它的應(yīng)用非常廣泛，常見的有應(yīng)用于不等式的證明、等式證明、求值計算、分解因式、求極限、

4、解方程組等。構(gòu)造函數(shù)法解題要注意構(gòu)造的函數(shù)需滿足：（1）與命題的形式或幾何解釋密切相關(guān)（2）能夠使推理計算變的簡捷（3）函數(shù)的基本特性（定義域、值域、單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性等）與命題相符合（4）所構(gòu)造的函數(shù)與題設(shè)條件有著直接或間接的聯(lián)系。函數(shù)是初等數(shù)學(xué)教育的核心，是解決初等數(shù)學(xué)問題的基本出發(fā)點(diǎn)，利用函數(shù)的性質(zhì)，將數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為函數(shù)問題來解是一種常見、有效、通用的做法。例1.1:已知為三角形的邊，求證：cbaccbbaa?????

5、111證明：設(shè)是增函數(shù)。??????????xfxxfxxxxf??????????011012?作者謝欣欣指導(dǎo)老師邵毅皖西學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)第3頁分析，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造出輔助函數(shù)，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，最后獲得證明。也可以用數(shù)形結(jié)合法，即建立在數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)上的幾何圖形常能引導(dǎo)人們?nèi)カ@得解決問題的方法，通過對幾何圖形的觀察，構(gòu)造出符合條件的輔助函數(shù)，使問題得以解決。例1.4拉格朗日定理作為微分中值定理的一種，是

6、討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性f質(zhì)來推斷函數(shù)所應(yīng)具有的性質(zhì)的有效工具，在高等數(shù)學(xué)中有著極其重要的作用。下面通過f構(gòu)造函數(shù)證明此定理。Lagrange中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：f（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；f??ab（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f??ab則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得??ab?（）??????fafbfba????分析與解：作輔助函數(shù)????????????fafbFxfxfaxaba??????顯然，，且在上滿足羅爾定理的另兩個條件。故存在

7、，??????0FaFb??F??ab????ab使????????0fbfaFfba???????移向后即得到所要證明的（）式。例1.5：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，又不是線性)(xf??ba??ba)(xf函數(shù)，且。試證，使得)()(afbf???ba?????????abafbff?????分析：過點(diǎn)的線性函數(shù)為??????bfbafa)(與????????axabafbfafy?????因不是線性函數(shù)，則，只要證明)(