數(shù)學(xué)歸納法及其在數(shù)列中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　數(shù)學(xué)歸納法及其在數(shù)列中的應(yīng)用</p><p>　　摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)思維方法中最重要、最常用的方法之一, 這不僅因?yàn)槠渲写罅繂栴}都與自然數(shù)有關(guān), 更重要的是它貫穿于發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的全過程. 本文對數(shù)學(xué)歸納法的由來、運(yùn)用技巧以及需要注意的問題進(jìn)行較為完整的系統(tǒng)論述. 重點(diǎn)闡述了第一數(shù)學(xué)歸納法的精髓和一般的解題思路, 以及在求解數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用和技巧.</p><p&

2、gt;　　關(guān)鍵詞：歸納法 第一數(shù)學(xué)歸納法 不等式 數(shù)列</p><p><b>　　1 引言 </b></p><p>　　對于數(shù)學(xué)歸納法的研究國內(nèi)已有不少論文, 這些論文在具體方面做了詳盡的論述. 同時(shí)還有數(shù)量不少的論文從數(shù)學(xué)歸納法的細(xì)微處著眼. 我國的數(shù)學(xué)期刊或數(shù)理雜志, 如《數(shù)學(xué)教育報(bào)》, 《數(shù)學(xué)通報(bào)》, 《數(shù)學(xué)通訊》等, 刊載的相關(guān)文章都從各個(gè)角度具體闡

3、述了數(shù)學(xué)歸納法的常見問題. 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法, 也是中學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容, 用于證明與無窮的自然數(shù)集相關(guān)的命題. 但凡涉及無窮, 總會(huì)花費(fèi)數(shù)學(xué)家大量時(shí)間與精力, 去理解并弄清它的真正意義. 普通歸納法與自然數(shù)這一最古老的數(shù)學(xué)概念及“無窮”這個(gè)無法直觀感覺的概念相結(jié)合的“數(shù)學(xué)歸納法”, 自然也需要一個(gè)漫長的認(rèn)識過程.在16世紀(jì)晚期, 數(shù)學(xué)歸納法開始出現(xiàn)在代數(shù)中. 1575年意大利數(shù)學(xué)家莫洛里克斯（1494-157

4、5）在他的著作《算術(shù)》中就提出了這種方法, 并證明了, 雖然莫洛里克斯并沒有把數(shù)學(xué)歸納法貫徹到底, 例如經(jīng)有限的驗(yàn)證后便以“等等”一類的話代替了必要的演繹, 但是可以說莫洛里克斯算是一個(gè)與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的一個(gè)早期的數(shù)學(xué)家, 一般認(rèn)為, 歷史上第一次成功利用數(shù)學(xué)歸納法的是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）, </p><p>　　繼帕斯卡之后, 數(shù)學(xué)歸納法就成為數(shù)學(xué)家們手中得心應(yīng)手的工具, 如在費(fèi)馬（1

5、601-1665）、伯努力（1654-1705）、歐拉（1707-1783）這些大數(shù)學(xué)家們的出色工作中, 都可以找到數(shù)學(xué)歸納法的例子, 1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾(C·Peano, 1858～1932, 意大利)發(fā)表《算術(shù)原理新方法》, 給出自然數(shù)的公里體系, 使數(shù)學(xué)歸納法有了一個(gè)準(zhǔn)確、合理的理論基礎(chǔ)．現(xiàn)在開始我們重新認(rèn)識一下數(shù)學(xué)歸納法. </p><p>　　2 數(shù)學(xué)歸納法的原理</p&

6、gt;<p>　　2.1 歸納法在現(xiàn)實(shí)中的一些運(yùn)用</p><p>　　先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來, 再從理論上來證明這一規(guī)律的一般性, 這是人們認(rèn)識客觀世界的方法之一. 不論在數(shù)學(xué)上, 或在其他場合, 從對一系列具體事物的考察中引出一般性結(jié)論的推理方法或過程, 叫做歸納法. 人們從有限的經(jīng)驗(yàn)中得出經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論是屢見不鮮的, 在這個(gè)過程中人們自覺或不自覺地運(yùn)用了歸納法. 許多閃爍著人類思想光芒的諺

7、語、成語、格言等, 都是應(yīng)用歸納法的產(chǎn)物. 如“兵貴神速”、“驕兵必?cái)　? 都是對戰(zhàn)爭的勝負(fù)規(guī)律的一種認(rèn)識, 同樣“滴水石穿”、“有志竟成”是人們考察了古往今來許多有成就者的經(jīng)歷后得出的. </p><p>　　2.2 數(shù)學(xué)歸納法的本原</p><p>　　理解了歸納法我們再具體到數(shù)學(xué)中來, 以識數(shù)為例. 小孩子識數(shù), 先學(xué)會(huì)數(shù)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè), 過些時(shí)候, 能夠數(shù)到10了, 又過些時(shí)候,

8、 會(huì)數(shù)到20, 30, …100了, 但后來, 就不再是這樣一段段地增長了, 而是飛越前進(jìn). 倒了某個(gè)時(shí)候, 他領(lǐng)悟了, 就什么數(shù)都會(huì)數(shù)了, 這一飛躍, 竟是從有限到無窮!怎樣會(huì)有這種方式呢? 首先, 他知道從頭數(shù); 其次, 他知道一個(gè)一個(gè)按次序數(shù), 而且不愁數(shù)了一個(gè)以后, 下一個(gè)不會(huì)數(shù), 也就是領(lǐng)悟了下一個(gè)數(shù)的表達(dá)方式, 可以由上一個(gè)數(shù)來決定, 于是, 他也就會(huì)數(shù)任何數(shù)了. 解釋這個(gè)飛躍的原理就是, 正是運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法的思想, 數(shù)學(xué)

9、歸納法大大地幫助我們認(rèn)識客觀事物, 由簡到繁, 由有限到無窮. </p><p>　　1979年6月9日, 在英國倫敦, 一群記者和上千名觀眾靜靜注視著一個(gè)人,急切的等待著一項(xiàng)基尼斯世界紀(jì)錄的誕生. 這個(gè)人就是邁克·凱尼, 他用13天的時(shí)間, 用了169713塊骨牌搭出一個(gè)長達(dá)6900米的多米諾牌陣, 當(dāng)邁克·凱尼走到第一塊骨牌前, 用手輕輕推到它時(shí), 奇跡出現(xiàn)了——將近17萬張骨牌組成的長達(dá)

10、6900米的多米諾陣在半小時(shí)內(nèi)統(tǒng)統(tǒng)顛覆. 這就是神奇的多米諾現(xiàn)象, 在這個(gè)過程中要使所有的骨牌倒下必須滿足兩個(gè)條件, （1）第一塊骨牌倒下；（2）任意兩塊相鄰骨牌, 只要前一塊倒下, 后一塊必定倒下. 這樣我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)這與數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的證明方法——數(shù)學(xué)歸納法如出一轍. 并且擺多米諾陣的人應(yīng)該注意的關(guān)鍵問題竟然也和使用數(shù)學(xué)歸納法的人應(yīng)該注意的關(guān)鍵問題神似韻合. </p><p>　　2.3 命題的長蛇陣<

11、;/p><p>　　在前面我們屢次提到數(shù)學(xué)歸納法, 那么究竟什么是數(shù)學(xué)歸納法？我們現(xiàn)在先看一個(gè)命題. </p><p>　　試證：在一個(gè)正方形的紙上有個(gè)點(diǎn), 已知這個(gè)點(diǎn)連同正方形的4個(gè)頂點(diǎn), 其中任意3點(diǎn)都不共線．試證：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上述個(gè)點(diǎn)的三角形紙片個(gè)．</p><p>　　我們可以把這個(gè)命題看成是無窮多個(gè)命題組合而成, 這無窮多個(gè)命題列舉如下：</p&

12、gt;<p>　　命題1：在一個(gè)正方形紙上有1個(gè)點(diǎn), 已知這5個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴5個(gè)點(diǎn)的三角形4個(gè). </p><p>　　命題2：在一個(gè)正方形紙上有2個(gè)點(diǎn), 已知這6個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴6個(gè)點(diǎn)的三角形6個(gè). </p><p>　　命題3：在一個(gè)正方形紙上有3個(gè)點(diǎn), 已知這7個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證

13、明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴7個(gè)點(diǎn)的三角形8個(gè). </p><p><b>　　……</b></p><p>　　命題：在一個(gè)正方形紙上有個(gè)點(diǎn), 已知這個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴個(gè)點(diǎn)的三角形個(gè). </p><p>　　命題:在一個(gè)正方形紙上有個(gè)點(diǎn), 已知這個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴個(gè)點(diǎn)的三

14、角形個(gè). </p><p>　　上述無窮多個(gè)命題排成了一個(gè)命題的長蛇陣, 它像無窮多個(gè)骨牌, 一個(gè)接著一個(gè)的擺放在那里. 如何證明這無窮多個(gè)命題呢？</p><p>　　命題1的證明：當(dāng)正方形內(nèi)有一點(diǎn), 且五點(diǎn)不共線, 則可以如圖1所示, 得到4個(gè)三角形. 命題1得證. </p><p>　　命題2的證明：根據(jù)命題1, 當(dāng)正方形中有2點(diǎn), 則另外一點(diǎn)一定在上題所分的

15、4個(gè)三角行中任一個(gè)中, 假設(shè)如圖2所示, 則可看作這一點(diǎn)把其中一個(gè)分成3個(gè), 即多了2個(gè), 有6個(gè), 命題2得證. </p><p>　　命題3的證明：根據(jù)命題2, 當(dāng)正方形中有3點(diǎn), 則另外一點(diǎn)一定在上題所分6個(gè)三角形中任一個(gè)中, 假設(shè)如圖3所示, 則可看作是這一點(diǎn)把其中一個(gè)分成了3個(gè), 即多了2個(gè), 共有8個(gè), 命題3得證. </p><p>　　繼續(xù)這個(gè)過程, 我們可以依次證明命

16、題4、命題5、……. 也就是說, 我們可以證明這一系列命題中的任何一個(gè)命題. 因此, 一開始給出的命題, 當(dāng)是任意自然數(shù)時(shí)都是正確的. </p><p>　?。▓D1） （圖2） （圖3） </p><p>　　2.4 什么是數(shù)學(xué)歸納法</p><p>　　在上一部分, 我們把一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的

17、命題寫成一個(gè)命題長蛇陣, 然后依次來證明, 這種方法顯然給人一種繁瑣的感覺. 但是我們可以看到, 從命題2開始, 命題長蛇陣中的每一個(gè)命題都是在前一個(gè)命題成立的基礎(chǔ)上被證明的, 并且證明的方式很類似. 也就是說, 命題是在命題成立的基礎(chǔ)上被證明的. 因此我們處理長蛇陣的方法可以改用以下兩步：1.證明命題1成立;2.根據(jù)命題成立, 推出命題成立. 這樣根據(jù)第二步可知以后每個(gè)命題都成立. 可見, 有這兩步已經(jīng)足夠了. 如果把命題長蛇陣?yán)锏囊?/p>

18、個(gè)命題比作一塊骨牌, 那么第二步就像把這些骨牌統(tǒng)統(tǒng)擺到了能產(chǎn)生“多米諾”現(xiàn)象的位置, 第一步恰如用手指輕輕地推倒了第一塊骨牌. 僅用這兩步就可以使命題長蛇陣中的每一個(gè)命題一個(gè)接一個(gè)的自動(dòng)證明. </p><p>　　一般來說, 一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題可以看成是一個(gè)命題長蛇陣. 時(shí)為命題1, 時(shí)為命題2, 依次類推. 因此, 在證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí), 可以采用以下兩步：</p><p&g

19、t;<b>　　證明時(shí)命題成立；</b></p><p>　　證明：如果時(shí)命題成立, 那么時(shí)命題也成立. </p><p>　　這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法. 這種方法也可以概括為：“1對；假設(shè)對, 那么也對”. 這種概括是著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出來的. </p><p>　　2.5 數(shù)學(xué)歸納法的歷史與原理</p><p>

20、　　在前面的論述中我們從游戲入手已經(jīng)基本理解了數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和主要步驟, 那么什么事保證數(shù)學(xué)歸納法的正確性呢？數(shù)學(xué)歸納法的背景是什么呢？在這里我們簡要地介紹一下數(shù)學(xué)歸納法的理論背景. </p><p>　　意大利有一個(gè)數(shù)學(xué)家, 名叫皮亞諾(C·Peano, 1858～1932, 意大利), 他總結(jié)了自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì), 并在關(guān)于自然數(shù)的理論中提出了關(guān)于自然數(shù)的五條公理, 后人稱為“皮亞諾公理”.

21、</p><p><b>　　1是一個(gè)自然數(shù)；</b></p><p>　　1不是任何其他自然數(shù)的后繼；</p><p>　　每個(gè)自然數(shù)的后繼是自然數(shù)；</p><p>　　若兩個(gè)自然數(shù)的后繼相等, 則這兩個(gè)自然數(shù)也相等；</p><p>　?。w納公理）自然數(shù)的某個(gè)集合若含有1, 而且如果含一個(gè)

22、自然數(shù)就一定含有這個(gè)自然數(shù)的后繼, 那么這個(gè)集合含全體自然數(shù). </p><p>　　其中公理5被稱為歸納公理, 是數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)．</p><p>　　自然數(shù)系公理系統(tǒng)直接地保證了數(shù)學(xué)歸納法的合理性, 所以也可以把數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)作公理來看待. 所謂公理不是已知數(shù)學(xué)理論的邏輯推理的產(chǎn)物, 而是未經(jīng)證明的產(chǎn)物, 其承認(rèn)的的根據(jù)是生活實(shí)踐. </p><p>　　3

23、 第一數(shù)學(xué)歸納法</p><p>　　第一步：當(dāng)時(shí), 等式成立;</p><p>　　第二步：假設(shè)當(dāng)時(shí), 這個(gè)等式是成立；也就是假設(shè) </p><p>　　3.1 第一數(shù)學(xué)歸納法的步驟及其誤區(qū)</p><p>　　下面我們具體論述第一數(shù)學(xué)歸納法的步驟. </p><p>　　設(shè)是一個(gè)含有自然數(shù)的命題, 利用第一數(shù)

24、學(xué)歸納法的證明步驟是：</p><p><b>　　驗(yàn)證時(shí)成立;</b></p><p>　　假設(shè)時(shí)成立, 能推出時(shí)也成立. </p><p>　　根據(jù)（1）、（2）知, 對一切自然數(shù),成立. </p><p>　　第一數(shù)學(xué)歸納法的第一個(gè)步驟是奠基, 是命題論證的基礎(chǔ)；第二個(gè)步驟是歸納, 是命題的正確性能夠由特殊遞推到一

25、般的依據(jù). 這兩個(gè)步驟密切相關(guān), 缺一不可. 如果只有奠基步驟而沒有歸納步驟則屬于不完全歸納法, 因而論斷的普遍性是不可靠的. 如果只有歸納步驟而沒有奠基步驟, 則歸納的假設(shè)就失去了依據(jù), 從而是歸納法步驟的證明失去意義. 甚至?xí)?dǎo)致一些錯(cuò)誤. 下面我們來看幾個(gè)例子. </p><p>　　誤區(qū)一：忽略了歸納奠基的必要性. </p><p><b>　　例1 試證明.</b

26、></p><p>　　錯(cuò)證：假設(shè)時(shí)等式成立, 即,</p><p><b>　　當(dāng)時(shí).</b></p><p><b>　　則時(shí)等式成立.</b></p><p>　　根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理可知, 當(dāng)是任意自然數(shù)時(shí), 等式都成立. </p><p>　　事實(shí)上我們知道這個(gè)

27、題目本身就是錯(cuò)的, 但是我們竟然把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來了, 此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因, 就是缺乏歸納奠基這一步. </p><p>　　切莫以為歸納基礎(chǔ)這一步就是“當(dāng)時(shí)命題正確”這么一句話, 似乎無關(guān)緊要, 可有可無. 從上例可以看出, 不去認(rèn)真的驗(yàn)證這一步, 或者根本沒有這一步, 都可能陷入錯(cuò)誤之中. </p><p>　　誤區(qū)二：忽略了歸納遞推的必要性</p><p&

28、gt;<b>　　例2 求證:</b></p><p>　　錯(cuò)證：當(dāng)時(shí), 得；這時(shí)等式成立. </p><p>　　假設(shè)時(shí), 這個(gè)等式成立；也就是說假設(shè)</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><p>

29、;<b>　　而 </b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　也就是說, 當(dāng)時(shí), 這個(gè)等式也是成立的. </p><p>　　歸納步驟完成, 結(jié)論成立. 乍看起來, 上面的證明似乎也用到了數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟, 特別是也有了第二個(gè)步驟, 但事實(shí)上, 在證明等式</p><p

30、>　　的過程中根本沒有用到這個(gè)式子. 所謂從“”到“”的過程, 意思是必須把“”時(shí)的命題, 當(dāng)作已經(jīng)給定的條件（假設(shè)）, 在這個(gè)基礎(chǔ)上來證明“”時(shí)的命題. </p><p>　　上面這個(gè)證明的過程中, 只不過是把要證明的公式加以“注解”而已, 等于什么也沒有做. </p><p><b>　　正確的證法應(yīng)該是：</b></p><p>　

31、　在這個(gè)等式兩邊都加上,得</p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以 .</b></p><p>　　這就是說, 當(dāng)時(shí), 這個(gè)等式是成立的.</p><p>　　歸納步驟完成, 就

32、可以斷定, 對于任何自然數(shù), 這個(gè)等式都能成立. </p><p>　　誤區(qū)三：忽略了歸納遞推與歸納奠基之間的協(xié)同配合</p><p>　　例3 試證任何個(gè)人都一樣高.</p><p>　　錯(cuò)證：當(dāng)時(shí), 命題變成“任何一個(gè)人都一樣高”, 結(jié)論顯然成立. </p><p>　　設(shè)時(shí), 結(jié)論成立, 即“任何個(gè)人都一樣高”, 那么, 當(dāng)時(shí)將個(gè)人記為

33、,由歸納假設(shè), 都一樣高, 而</p><p>　　也都一樣高,故都一樣高. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理, 任何人都一樣高. </p><p>　　顯然, 例題3的題目是錯(cuò)誤的, 但是錯(cuò)證中數(shù)學(xué)歸納法的步驟齊全, 這次的問題出在什么地方呢？</p><p>　　我們注意到在上述歸納推理步驟中, 有一個(gè)步驟是這樣的：“由歸納假設(shè), 都一樣高, 而也都一樣高,故都一樣高. ”仔

34、細(xì)推敲, 不難發(fā)現(xiàn), 這個(gè)推理只有在時(shí)才能成立, 而在時(shí)不成立. 這就是說, 盡管由時(shí)命題成立, 可以推出時(shí)命題也成立, 但是由時(shí)命題成立, 不可能推倒出時(shí)命題成立. 此例中顯然還需要“時(shí)命題成立”作為它的歸納奠基, 這顯然是不會(huì)成立的. 這道題問題就出在歸納遞推步驟與歸納奠基的協(xié)同配合. </p><p>　　上面舉的幾類錯(cuò)誤地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的例子, 實(shí)際上通過這些例子說明了應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)當(dāng)注意的地方. 讓大

35、家明白數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟是密切聯(lián)系、缺一不可的. </p><p>　　3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用</p><p>　　在上一部分我們說明了數(shù)學(xué)歸納法的步驟及誤區(qū), 并且我們可以知道數(shù)學(xué)歸納法是一些涉及自然數(shù)的論斷, 我們可能會(huì)這樣問：“是不是涉及自然數(shù)的論斷都可以用數(shù)學(xué)歸納法呢？或者什么時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法呢？”</p><p>　　這個(gè)問題較難回答, 主要是決定于問

36、題的具體情況. </p><p>　　例如, 要證明對于任意自然數(shù), 等式成立. 我們可以直接計(jì)算左邊式子而得到證明. 又如, 如果,都是自然數(shù), 要證明對于任意自然數(shù), 有. 這里, 我們可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì), 通過計(jì)算來證明這個(gè)不等式成立. 像這類問題就不必用數(shù)學(xué)歸納法. </p><p>　　但是對于那些無法直接計(jì)算而必須按從小到大的順序逐步計(jì)算的式子, 要證明這些論斷的正確性,

37、一般需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法, 可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等. </p><p>　　下面說明數(shù)學(xué)歸納法在一些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用</p><p>　　3.2.1 用歸納法證明代數(shù)恒等式</p><p>　　例4 (全國高考試題)證明下列恒等式Ⅲ：</p><p>　　證明：

38、當(dāng)時(shí), 左邊=；</p><p>　　右邊. 等式成立. </p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立, 即</p><p><b>　　當(dāng)時(shí), </b></p><p>　　說明當(dāng)時(shí)等式也成立, 恒等式對任何正整數(shù)都成立. </p><p>　　3.2.2 用歸納法證明不等式</p>&

39、lt;p>　　例5 設(shè), 用數(shù)學(xué)歸納法證：</p><p>　　證明：當(dāng)時(shí), , , ,</p><p><b>　　所以, </b></p><p><b>　　假設(shè)時(shí), 成立．</b></p><p><b>　　證明時(shí),</b></p><p&

40、gt;　　也成立. 所以原命題成立. </p><p>　　3.2.3 用數(shù)學(xué)歸納法解決整除問題</p><p>　　運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明整除問題, 是充分運(yùn)用整除的性質(zhì), 即：則. </p><p>　　例6 證明能被11整除. </p><p>　　證明：當(dāng)n=l 時(shí), =能被ll整除. </p><p>　　假設(shè)

41、時(shí), 能被ll整除. </p><p><b>　　則當(dāng)時(shí), </b></p><p>　　由于能被1l整除, 能整除ll, </p><p><b>　　所以能整除ll. </b></p><p>　　即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法第一步與第二步可知, 等式對一切成立. </p>

42、<p>　　3.2.4 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題</p><p>　　例7 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為, 若對于所有的自然數(shù), 都有, </p><p><b>　　證明：是等差數(shù)列.</b></p><p>　　分析：要證明是等差數(shù)列, 可以證明其通項(xiàng)符合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式, 即證：. 命題與有關(guān), 考慮是否可以用數(shù)學(xué)歸納法

43、進(jìn)行證明. </p><p>　　證明：設(shè), 猜測. </p><p>　　當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí)猜測正確. </p><p>　　當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí)猜測正確</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí), 猜測正確, 即：.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),</b></p><p>　　將代入上

44、式, 得整理得</p><p>　　因?yàn)? 所以, 即時(shí)猜測正確. </p><p>　　綜上所述, 對所有的自然數(shù), 都有,從而是等差數(shù)列. </p><p>　　評注：將證明等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)成立的問題.在證明過程中的得出是本題解答的關(guān)鍵. 利用已知的等式,數(shù)列中通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系建立含的方程, 代人假設(shè)成立的式子解出. 另外, 不能忽

45、視驗(yàn)證、的正確性,本題 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)遞推的基礎(chǔ)是時(shí)等式成立,因?yàn)?lt;/p><p><b>　　得到的條件是. </b></p><p>　　3.2.5 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題</p><p>　　例8 平面內(nèi)有個(gè)圓, 其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn), 且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn). 求證：這個(gè)圓把平面分成個(gè)部分. </p><

46、;p>　　證明：當(dāng)時(shí), 一個(gè)圓把平面分成兩部分, , 命題成立. </p><p>　　假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立, 即個(gè)圓把平面分成. </p><p>　　當(dāng)時(shí)．這個(gè)圓中的個(gè)圓把平面分成個(gè)部分, 第個(gè)圓被前個(gè)圓分成條弧, 每條弧把它所在部分分成了兩個(gè)部分, 這時(shí)共增加了個(gè)部分．即個(gè)圓把平面分成</p><p><b>　　即命題也成立. </b&g

47、t;</p><p>　　根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法第一步與第二步可知, 等式對一切成立. </p><p>　　從上面的一些例子可以看到, 數(shù)學(xué)歸納法在代數(shù)、幾何等方面都有很廣泛的應(yīng)用, 當(dāng)然這些例子只是九牛一毛, 例如運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明三角函數(shù)的求和公式, 證明組合里的一些公式, 證明函數(shù)的各種性質(zhì), 以及在微積分行列式一些證明中的應(yīng)用等等. 總之, 遇到一個(gè)涉及自然數(shù)的問題的時(shí)候, 首先我們要考

48、慮的是, 有沒有簡單直接的方法來把它算出來. 如果沒有簡單直接的方法, 就可以用數(shù)學(xué)歸納法來試試, 至于那些從對等情況遞推而歸納出的結(jié)果, 它的正確性, 一般要用數(shù)學(xué)歸納法來證明. </p><p>　　4 第一數(shù)學(xué)歸納法的技巧</p><p>　　應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題, 易陷入困境的常在第二步, 解決這個(gè)問題并無萬能方法, 應(yīng)該遵循的基本原則：積極創(chuàng)造條件, 有效利用歸納假設(shè), 巧妙變形過

49、渡, </p><p><b>　　4.1 欲進(jìn)先退</b></p><p>　　若在由到的推導(dǎo)過程中陷入困境, 不妨先由 退到, 然后用歸納假設(shè)再進(jìn)回到. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等. </p><p><b>　　4.1.1 撤出</b></p><p>　　例9 有個(gè)飛機(jī)場, 每個(gè)

50、飛機(jī)場都有一架飛機(jī), 各個(gè)飛機(jī)場之間的距離互不相等. 現(xiàn)讓所有的飛機(jī)一起起飛, 飛向最近的機(jī)場降落, 求證必存在一個(gè)機(jī)場沒有飛機(jī)降落. </p><p>　　證明：當(dāng)時(shí), 設(shè)3個(gè)飛機(jī)場為其中,,則間的飛機(jī)必定對飛. 而不管機(jī)場的飛機(jī)飛向還是飛向, 都使機(jī)場無飛機(jī)降落. </p><p>　　現(xiàn)假設(shè)時(shí)命題成立, 當(dāng)時(shí), 由于機(jī)場之間的距離兩兩不等, 必有兩處機(jī)場的距離是最近的, 這兩處的飛機(jī)

51、會(huì)對飛, 不會(huì)影響其他機(jī)場. 我們將這兩個(gè)機(jī)場先撤出, 由歸納假設(shè), 剩下的個(gè)機(jī)場中, 存在一個(gè)機(jī)場沒有飛機(jī)降落, 再把撤走的機(jī)場放回, 則仍無飛機(jī)降落, 從而可知當(dāng)時(shí)命題成立. </p><p><b>　　4.1.2 合并</b></p><p>　　例10 設(shè)有個(gè)球分成了許多堆, 我們可以任意選甲, 乙兩堆來按照以下規(guī)則挪動(dòng)：若甲堆的球數(shù)不少于乙堆的球數(shù), 則從

52、甲堆拿個(gè)球放到乙堆去, 這樣算挪動(dòng)一次, 求證:可以經(jīng)過有限次挪動(dòng)把所有的球合并成一堆. </p><p>　　證明：當(dāng)時(shí), 共有2個(gè)球, 若已成一堆, 則不必挪動(dòng)；若分成兩堆, 則挪動(dòng)一次便可成功. </p><p>　　假設(shè)時(shí)命題成立, 當(dāng)時(shí),對于個(gè)球, 若將2個(gè)粘合成1個(gè)便退到個(gè)球的情況, 這種粘合要求每堆球的個(gè)數(shù)為偶數(shù), 可討論如下：</p><p>　　若

53、每堆球的個(gè)數(shù)為偶數(shù), 則每挪動(dòng)一次都挪動(dòng)了偶數(shù)個(gè)球, 這樣的任意一次挪動(dòng)與將球兩兩粘合在一起挪動(dòng)無本質(zhì)區(qū)別, 從而等價(jià)與個(gè)球的挪動(dòng), 根據(jù)歸納假設(shè), 這是可以做到的. </p><p>　　若存在球數(shù)為奇數(shù)的堆, 則由總球數(shù)為偶數(shù)知, 有奇數(shù)的堆數(shù)為偶數(shù), 將它們配對先挪動(dòng)一次, 于是每堆球數(shù)都為偶數(shù), 問題可以解決. </p><p><b>　　4.2 構(gòu)造</b>

54、;</p><p>　　在用數(shù)學(xué)歸納法證明某些問題時(shí), 從到的證明中有時(shí)需要巧妙構(gòu)造. </p><p>　　例11 對每個(gè), 求證存在個(gè)互不相等的正整數(shù),使得,對任意的成立.</p><p>　　證明：當(dāng)時(shí), 取, 命題顯然成立. </p><p>　　假設(shè)時(shí)命題成立, 即存在滿足,記b為及它們每兩數(shù)之差的最小公倍數(shù),則個(gè)數(shù),也滿足,,&l

55、t;/p><p><b>　　,, </b></p><p>　　即命題對時(shí)成立, 由數(shù)學(xué)歸納法知命題得證. </p><p>　　上例證明中從到的過渡用到了較高的構(gòu)造技巧. </p><p><b>　　4.3 湊配</b></p><p>　　有些問題從到證明過程中需要湊配出

56、一些特定形式. </p><p>　　例12 設(shè)數(shù)列, 求證：當(dāng)時(shí), .</p><p>　　證明：顯然, 題設(shè)數(shù)列是正數(shù)列</p><p>　　當(dāng)時(shí), , 而 = = , 所以, 原不等式成立. </p><p><b>　　假設(shè)時(shí), 有,即</b></p><p>　　,

57、 </p><p>　　當(dāng)時(shí),要證, 即要證</p><p>　　, </p><p>　　由式兩邊分別乘以 , 從而</p><p><b>　　,</b></p><p>　　兩邊消去, 得 . </p><p>　　兩邊開次方即得 . </

58、p><p>　　即當(dāng)時(shí), 原式成立. </p><p>　　綜上, 證得原命題成立. </p><p>　　上例證明第二步若要直接將代入是困難的, 因此用湊配法, 先在的兩邊乘以 , 問題就迎刃而解了. </p><p><b>　　4.4 先猜后證</b></p><p>　　有些題目的結(jié)論是不容易

59、以下求得的, 根據(jù)特殊到一般的規(guī)律, 先從符合題意的最小基數(shù)入手, 探索, , …等個(gè)別特例的結(jié)果, 發(fā)現(xiàn)、總結(jié)其規(guī)律性. 對一般的自然數(shù)給出一個(gè)猜想, 再用數(shù)學(xué)歸納法論證這個(gè)猜想的正確性. 即先猜后證. </p><p>　　例13 設(shè)列的通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式. </p><p><b>　　解：因?yàn)?lt;/b></p><p><

60、;b>　　, </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　至此, 可以猜測數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是</p><p>　　下面用數(shù)學(xué)歸納

61、法證明. </p><p>　　當(dāng)時(shí)由上述計(jì)算可知公式是正確的. </p><p>　　設(shè)公式當(dāng)時(shí)正確, 當(dāng)時(shí),因?yàn)?lt;/p><p>　　故公式當(dāng)時(shí)也是正確的. </p><p>　　因此, 公式對一切自然數(shù)都成立. 即是數(shù)列｛ ｝前項(xiàng)和公式. 這種求和方法——觀察-歸納-證明, 實(shí)質(zhì)上是一種由不完全歸納到完全歸納的方法. 由于這種方法中,

62、的形式要從, , , 等幾個(gè)數(shù)值中看出來, 因而對, , , 等幾個(gè)數(shù)值的化簡式變形就成了關(guān)鍵, 只有待其體現(xiàn)了某種規(guī)律時(shí), 才有可能猜想出 的形式. </p><p><b>　　4.5 順勢分流</b></p><p>　　假如要做一件事, 一下子做不了, 我們不妨把其中能做的那一部分分出來先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用數(shù)學(xué)歸納法證題, 一下子證不出來

63、, 我們不妨把其中能用數(shù)學(xué)歸納法的證明的那一部分分出來先證, 然后再去證明剩下的那一部分, 我們把這種方法叫做順勢分流, 即順著數(shù)學(xué)歸納法之勢, 將能做的與不能做的分開處理. </p><p>　　例14 試證：對于一切自然數(shù), 都有.</p><p>　　分析：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立, 設(shè)時(shí)結(jié)論成立, 即,</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),</b>

64、;</p><p>　　此時(shí)發(fā)現(xiàn), 僅當(dāng)時(shí),才有. 這就是說, 僅當(dāng)時(shí), 命題n=k+1成立. </p><p>　　因此我們不得不將的情況與的情況分開來處理, 具體的說, 我們可以采用以下的方式證題：</p><p>　?、僦苯域?yàn)證時(shí)不等式成立, 即驗(yàn)證時(shí)不等式成立；</p><p>　?、谟脭?shù)學(xué)歸納法證明時(shí)不等式成立, 即驗(yàn)證“時(shí)對, 假

65、設(shè)時(shí)對, 推證時(shí)成立”. </p><p>　　命題即可得證, 證明從略. </p><p>　　通過上述論證可以看出, 數(shù)學(xué)歸納法的論證十分的靈活多變, 要完全掌握這一方法單靠死記硬背是行不通的, 關(guān)鍵是要培養(yǎng)自己的邏輯思維能力, 把握住歸納奠基與歸納遞推所展示的邏輯鏈, 而邏輯思維能力是一個(gè)需要畢生精力不斷苦練的功夫. </p><p><b>　　5

66、 小結(jié) </b></p><p>　　通過上述論證可以看出, 數(shù)學(xué)歸納法是十分有效的方法, 也是一種認(rèn)識可數(shù)無限集合性質(zhì)的重要方法. 使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證, 將會(huì)更深刻的理解所</p><p>　　要論證的命題, 實(shí)現(xiàn)由有限到無限的飛躍. </p><p>　　當(dāng)然, 并非一切與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明都一定要采用數(shù)學(xué)歸納法, 有些命題雖與自然數(shù)有關(guān),

67、但不用數(shù)學(xué)歸納法也可以證明. 另外, 對于有些問題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較簡便, 而另一些問題則以不用數(shù)學(xué)歸納法較為方便. 因此在具體問題中, 何時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較簡捷, 必須根據(jù)具體情況來確定, , 而題設(shè)命題的可數(shù)性則是用數(shù)學(xué)歸納法的必要條件. 總起來說, 數(shù)學(xué)歸納法的使用特點(diǎn)是：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題必須與整數(shù)n有關(guān), 這種關(guān)系有時(shí)是隱蔽的；（2）僅當(dāng)命題P（n+1）與P（n）、P（n-1）、…之間的關(guān)系易于發(fā)現(xiàn)時(shí), 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸

68、納法才容易成功. </p><p>　　總之, 盡管數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法, 但實(shí)質(zhì)是遞推思想, 只要把握住“遞推”, 巧妙的進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換, 以遞推分析為住, 這樣就可以理解其實(shí)質(zhì), 掌握證題技巧, 真正提高分析問題解決問題的能力. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 李明振、齊建華、王躍進(jìn)等. 數(shù)學(xué)方

69、法與解題研究[M]. 上?？萍冀逃霭嫔? 2000. </p><p>　　[2] 華羅庚. 數(shù)學(xué)歸納法[M]. 科學(xué)出版社, 2002. </p><p>　　[3] 夏興國. 數(shù)學(xué)歸納法縱橫談[M]. 河南科學(xué)技術(shù)出版社, 1993. </p><p>　　[4] 洪波. 怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法[M]. 上海教育出版社, 1979. </p><

70、;p>　　[5] 宋家彬. 淺談數(shù)學(xué)歸納法在解題中的運(yùn)用[J]. 成功（教育版）, 2009,4:140.</p><p>　　[6] 楊鳳安. 淺談“數(shù)學(xué)歸納法”論證技巧[J]. 時(shí)代教育（教育教學(xué)版）, 2009,3:120.</p><p>　　[7] 馮進(jìn). 數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷程[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào), 2008, 22,8:22-26. </p><p

71、>　　The first mathematical induction and its application</p><p>　　Author：HU xiaodan</p><p>　　College of Mathematics Science No:080414013</p><p>　　Tutor:ZHA zheng-bang Associate P

72、rofessor</p><p>　　Abstract: mathematical induction is a method of mathematical thinking method in the the most important, one of the most commonly used methods, this is not only because of the large number o

73、f problems relevant to natural numbers, more important is to find out and solve the problems in the whole process. Based on the mathematical induction, the origin of technique and the problems needed to notice more the c