直線與圓錐的位置關(guān)系理

1、第十節(jié) 直線與圓錐的位置關(guān)系（理）,一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，通常是將直線方程與 曲線方程聯(lián)立，消去變量y(或x)得變量x(或y)的方程：ax2 ＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有： Δ>0?直線與圓錐曲線 ；,相交,Δ＝0?直線與圓錐曲線 ；Δ&l

2、t;0?直線與圓錐曲線 ．若a＝0，則直線與圓錐曲線相交，且有一個(gè)交點(diǎn)．若曲線為雙曲線，則直線與雙曲線的 平行；若曲線為拋物線，則直線與拋物線的 平行．,相切,相離,漸近線,對稱軸,由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是什么？拋物線呢？,提示：與雙曲線有且只有一個(gè)公交點(diǎn) ?或l與漸近線平行，與

3、拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?Δ＝0或l平行于對稱軸．,二、圓錐曲線的弦長問題 設(shè)直線l與圓錐曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，A(x1，y1)， B(x2，y2)，則弦長|AB|＝ .,1．過原點(diǎn)的直線l與雙曲線 有兩個(gè)交點(diǎn)，則直 線l 的斜率的取值范圍是

4、 (　　),解析：設(shè)l：y＝kx代入 中，得即由Δ>0知，,答案：A,2．過拋物線y2＝4ax(a>0)的焦點(diǎn)F，作互相垂直的兩條弦AB 和CD，則|AB|＋|CD|的最小值為 (　　) A．19a

5、 B．8 C．17a D．16a,解析：利用特殊情形，即AB的傾斜角為45°此時(shí)AB：y＝x－a，∴A(3a＋2 ,2a＋2 )，B(3a－2 ,2a－2 )，∴|AB|＝8a，|CD|＝8a，|AB|＋|CD|＝16a.,答案：D,3．直線y＝kx－k＋1與橢圓

6、 的位置關(guān)系為 (　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定,解析：由于直線y＝kx－k＋1

7、＝k(x－1)＋1過定點(diǎn)(1,1)，(1,1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交．,答案：A,4．過拋物線y＝ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、 Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是 q、p，則 等 于________．,解析：取特殊情況：直線∴ = 4a.,答案：4a,5．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有公共點(diǎn)，則過

8、 點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ________．,解析：由已知可得m2＋n2<4，又(m，n)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故必有2個(gè)交點(diǎn)．,答案：2,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷中，尤其是已知兩交點(diǎn)的確定位置，要注意條件的重要性，如：直線與雙曲線交于兩點(diǎn)應(yīng)滿足的條件．(1)交左分支于兩點(diǎn)?,(2)交右分支于兩點(diǎn)?(3)左、右分支各一點(diǎn)?,(

9、2010·棗莊模擬)設(shè)直線l：y＝k(x＋1)與橢圓x2＋3y2＝a2(a>0)相關(guān)于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明：(2)若 ，求△OAB的面積最大值．,（1）聯(lián)立方程消元利用Δ>0易證.（2）結(jié)合條件分析出 易求.,【解】　(1)依題意，當(dāng)k＝0時(shí)，a2＞0顯然成立；當(dāng)k≠0時(shí)，故y＝k(x＋1)可化為 將

10、x＝ －1代入x2＋3y2＝a2，消去x，得由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得Δ＝化簡整理得,(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知C(－1,0)．由①，得y1＋y2＝ ②因?yàn)橛?得y1＝－2y2.

11、 ③由②③聯(lián)立，解得△OAB的面積上式取等號的條件是3k2＝1，S△OAB的最大值為,1．(2009·全國卷Ⅱ)已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C： y2＝8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)．若|FA|＝2 |FB|，則k＝

12、 (　　),解析：過A、B作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1、B1，由拋物線定義可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|BF|=|AF|，∴|AA1|=2|BB1|，即B為AC的中點(diǎn)．從而yA=2yB，聯(lián)立方程組消去x得：y2- +16=0，,答案：D,1．弦長問題 利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形，若k不

13、 存在時(shí)，可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長．,2．中點(diǎn)弦問題 遇到中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求 解．在橢圓 中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在 直線的斜率k= ；在雙曲線 中，以 P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 ；

14、在拋物線 y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜 率 均可利用“點(diǎn)差法”得到．,設(shè)過原點(diǎn)的直線l與拋物線y2＝4(x－1)交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線焦點(diǎn)F.求：(1)直線l的方程；(2)|AB|的長．,（1）要注意討論斜率k是否為0.（2）利用弦長公式.,【解】　(1)設(shè)l：y＝kx，拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，當(dāng)k＝0時(shí)

15、，l與x軸重合，不合題意．∴k≠0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則∵AF⊥BF，∴ ＝0(或用kAF·kBF＝－1)，又 ＝(2－x2，－y2)，,得k2x1x2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，代入得∴l(xiāng)：y＝(2)由(1)求解得x1＋x2＝8，x1x2＝8，∴弦AB的長

16、為4,2．本例中將“以AB為直徑的圓恰好過拋物線焦點(diǎn)F”改為 “AB的中點(diǎn)為(2,3)”求l的方程．,解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ＝4(x1－1)， ① ＝4(x2－1)， ②①－②知(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，,即kAP=∴l(xiāng)

17、:y=,圓錐曲線的垂直平分弦問題有以下兩種解法：(1)設(shè)出圓錐曲線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的直線方程，代入 圓錐曲線方程中消元由Δ＞0以及對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直 線上，建立方程和不等式求解；(2)求出圓錐曲線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn) 在已知圓錐曲線內(nèi)部建立不等式，此法常與“代點(diǎn)相減 法”一起應(yīng)用．,在已知拋物線y＝x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線y＝－kx＋ 對稱，求k

18、的取值范圍．,拋物線上兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線 對稱，則直線M、N的方程可設(shè)為 代入拋物線方程中，可知Δ>0.又M、N的中點(diǎn)在直線 上，由根與系數(shù)的關(guān)系可得M、N的中點(diǎn)，代入 可得b與k的關(guān)系式，

19、結(jié)合Δ>0求解.,y=-kx+,y=-kx+,y=-kx+,【解】　法一：設(shè)M(x1， )、N(x2， )，關(guān)于直線l對稱，且MN⊥l.∴又MN的中點(diǎn)在l上，由于弦的中點(diǎn)必在拋物線開口內(nèi)，∴即,法二：由題意知，k≠0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則MN的方程可設(shè)為y＝ x＋b，代入y＝x2，得x2－ x－b＝0，且Δ＝ ＋4b>0.

20、 ①又x1＋x2＝ ，中點(diǎn)x0＝∵(x0，y0)在直線l：y＝－kx＋ 上， ②,把②代入①得,3．已知與向量v＝(1， )平行的直線l過橢圓 1(a>b&g

21、t;0)的焦點(diǎn)以及點(diǎn)(1，－ )，橢圓C的中心關(guān)于直 線l的對稱點(diǎn)在直線x＝ 上．求橢圓C的方程．,解：直線l的方程為y= ①過原點(diǎn)垂直于l的直線方程為y= ②由①

22、②得∵橢圓中心(0,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在x= 上，∵直線l過橢圓的焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)為(2,0)．∴c＝2，a2＝6，b2＝2.故橢圓C的方程為,直線與圓錐曲線的綜合考查,主要涉及曲線方程的求法、位置關(guān)系的判定及應(yīng)用、弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等.考查的知識點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力.同時(shí)著重考查學(xué)生的分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目.2009年全國卷Ⅱ綜合考查了直線與

23、橢圓的位置關(guān)系.綜合性強(qiáng)能力要求較高.,(2009·全國卷Ⅱ)已知橢圓 (a>b>0)的離心率為 ，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為 .(1)求a，b的值；(2)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 成立？若存在，求出

24、所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．,[解]　(1)設(shè)F(c,0)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，其方程為x－y－c＝0，O到l的距離為由,(2)假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 ＝ 成立．由(1)知C的方程為2x2＋3y2＝6.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．(i)當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)．C上的點(diǎn)P使

25、 成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6，整理得 ＋4x1x2＋6y1y2＝6.,又A、B在C上，即故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.

26、 ①將y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化簡得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，于是x1＋x2＝y(tǒng)1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝代入①解得，k2＝2.此時(shí)x1＋x2＝,于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－因此，當(dāng)k＝－ 時(shí)， ，l的方程為 x＋y－ ＝0；當(dāng)k＝ 時(shí)，

27、 ，l的方程為,(ii)當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由 ＝(2,0)知，C上不存在點(diǎn)P使 成立．綜上，C上存在點(diǎn)P 成立，此時(shí)l的方程為,使,(2)中最常見的一個(gè)失誤是不對直線的斜率

28、k存在和不存在兩種情況去討論．其次滿足條件 的轉(zhuǎn)換關(guān) 系利用中點(diǎn)公式轉(zhuǎn)換產(chǎn)生，特別注意若 即P為AB中點(diǎn)，防止仍用中點(diǎn)公式求解．另外在本題(1)條件下若直線y＝x＋m與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A與B，且