概率密度的概念與性質(zhì)

1、對 f(x)的進(jìn)一步理解:,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限.,若不計高階無窮小，有：,若不計高階無窮小，有：,它表示隨機(jī)變量 X 取值于 的概率近似等于 .,要注意的是，概率密度 f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概

2、率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,連續(xù)型隨機(jī)變量,§2.4,一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度二、重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,一、概率密度的概念與性質(zhì),1.概率密度函數(shù)的定義,如果存在,概率密度函數(shù),,簡稱概率密度.,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).,2.概率密度函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1,2是判定一個函數(shù) f(x)是否為某c.r.vX的概率 密度的充要條件.,同時得以下計算公式,注意

3、1,對于任意指定值 a,,連續(xù)型隨機(jī)變量取 a的概,率等于零.,即,證明,,連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某區(qū)間的概率與端點無關(guān),由P(X=a)=0 可推知,由于 {X=a} 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,故，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,注意,,若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，,{ X=a }是不可,能事件，,則有,連續(xù)型,若 X 為離散型隨機(jī)變量,,,離散型

4、,例1,其他.,(3) 求,解,得,解得,其他.,(3),即,二、重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,(一)均勻分布,其它,,,均勻分布的概率密度圖示,,均勻分布的分布函數(shù)圖示,,,概率密度,分布函數(shù),,,,。,。,則X具有等可能性：,X的取值落在區(qū)間[a,b]中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的.,X的取值落在區(qū)間[a,b]的子區(qū)間內(nèi)的概率只與子區(qū)間的長度有關(guān)而與子區(qū)間的位置無關(guān).,對于任一長度 l 的子區(qū)間(c ,c+l ),,例2 某

5、公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.,解：,依題意， X ～ U ( 0, 30 ),以7:00為起點0，以分為單位,為使候車時間 X 少于5分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間,或在7:25到 7:30之間到達(dá)車站.,所求概率為：,從上午

6、7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)車站,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.,,例3 設(shè)隨機(jī)變量X在 [2, 5] 上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。,解：按題意, X 的概率密度為,2/3 .,設(shè)Y={3次觀察,觀測值大于3的次數(shù)},于是至少有兩次觀測值大于3的概率為,連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為,則稱 X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)

7、分布，,(二) 指數(shù)分布,分布函數(shù)為,記為X~E(?).,(二) 指數(shù)分布,其他,,顧客排隊時等候服務(wù)的時間以及某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布. 例如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.,應(yīng)用與背景,指數(shù)分布的隨機(jī)變量 X具有:“無記憶性”.,,含義：在等待時間已經(jīng)超過s的情況下,至少需要再等待時間t的統(tǒng)計規(guī)律,與已經(jīng)等待了多長時間無關(guān),就像重新開始等待一樣。,對于任意 s，t > 0，有,儀器使用了

8、s個單位，剩余壽命的分布與原來壽命的分布相同，它對已使用了s個單位沒有記憶。,例4 假設(shè)一次通話時間是一個隨機(jī)變量，服從參數(shù)為10的指數(shù)分布，若某人到達(dá)電話亭，有一人正在通話，求：(1)此人至少需要等5分鐘的概率 (2)此人需要等5到10分鐘的概率,解：設(shè)X={一次通話時間}，,由于對x > 0,,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.,正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早發(fā)現(xiàn)

9、了二項分布的一個近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.,（三）正態(tài)分布,1. 定義 若r.v X的概率密度為,記作,其中 和 都是常數(shù)， 任意， >0，則稱X服從參數(shù)為 ? 和 ? 的正態(tài)分布.,(1)概率密度f (x)的曲線是一條鐘形曲線. 確定圖形的中心位置， 確定圖形中峰的陡峭程度.,2.正態(tài)分布的圖形特點,(2)f(x)的曲線在x軸的上方,以μ為對稱軸，在x =μ達(dá)到

10、最大值:,,用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖.,從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布.,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,下面是我們用某大學(xué)男生的身高數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖.,紅線是擬合的正態(tài)密度曲線,可見，某大學(xué)男生的身高服從正態(tài)分布.,除了我們在前面遇到過的年降雨量外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直

11、偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.,大量隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。,正態(tài)分布由它的兩個參數(shù) μ和 唯一確定， 當(dāng)μ和 不同時，是不同的正態(tài)分布.,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布,即有,3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,正態(tài)分布的計算,,原函數(shù)不是,初等函數(shù),方法:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計算,書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，一般正態(tài)分布的概率計算可查表.P.382,正態(tài)分布表,表中給的是x>0

12、時, Φ(x)的值.,當(dāng) - x<0時,依據(jù)是下面的引理：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于:任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,根據(jù)引理,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,引理,設(shè),則,若,~N(0,1),若 X～N(0,1),,4. 標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布表 ( P.382 ),= ?(1.52),=0.9357.,= 1－?(3.3),=1－0.9997,= ?( 2 )

13、,－ ?(－2 ),－[(1－?( 2 ) ],=2 ?( 2 )－1,=2×0.9773－1,= 0.9544.,= ?( 2 ),則,解：,(1) P { X < 10 },＝ ?( 1.67 ),＝0.9525 .,,則,解：,(2) P { 2≤X < 10 } ＝,＝ ?( 1.67 ) － ?(－1 ),＝0.9525 －(1 － ?(1 )),＝0.9525 －(1 － 0.8413),,例8

14、公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?,解: 設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計要求,P(X≥ h)< 0.01,或 P(X< h)≥ 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的 h.,因為X～N(170,62),,故 P(X< h)=,0.99,查表得 (2.33)=0.9901>0.99,即 h=170+13.98

15、 184,設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.,所以 =2.33,,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，,這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.,當(dāng)X～N(0,1)時，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974

16、,5. 3? 準(zhǔn)則,將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,,時，,這在統(tǒng)計學(xué)上稱作“ 準(zhǔn)則” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.,可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在 區(qū)間內(nèi),對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,,的定義.,/6. 分位數(shù),正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景, 是自然界和社會現(xiàn)象中最為常見的一種分布, 一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機(jī)因素的影響, 那么這個變量一般是一個正態(tài)隨機(jī)變量.,正態(tài)分布是概率

17、論中最重要的分布,二項分布、泊松分布等的極限分布是正態(tài)分布．所以，無論在實踐中，還是在理論上，正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.,,三、小結(jié),2. 常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,作業(yè)：P.57 24, 26,/例5 設(shè)電視機(jī)的有效使用時間X(單位:年)服從參數(shù)為0.125的指數(shù)分布?，F(xiàn)某人購買了一臺舊電視機(jī)，試求電視機(jī)還能使用4年以上的概率。,解 以X表示使用年限, 則X服從參數(shù)為0.125的指數(shù) 分布. 不妨假設(shè)電視機(jī)已

18、經(jīng)使用了T0 年以上. 由 指數(shù)分布的無記憶性, 可見,性質(zhì):,有,事實上,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.,有,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.,那么無記憶性表明:,的條件概率與從開始使用時算起，它至少能用t 小時,的概率相等.,這就是說：。。。,儀器使用了s個單位，剩余壽命的分布與原來壽命的分布相同，它對已使用了s個單位沒有記憶。,例5 假設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布,求一元二次方程,(1)有兩個不同實根

19、的概率? ；(2)有重根的概率?,解 因為隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,5)上均勻分布, 而一元二次方程的判別式為,(1) 一元二次方程有兩個不同實根, 當(dāng)且僅當(dāng),由于X?U(0,5), 顯然X + 1 > 0, 因此Δ > 0當(dāng)且僅當(dāng)X－2 > 0, 于是, 一元二次方程有兩個不同實根的概率為,,,,(2) 一元二次方程有重根, 當(dāng)且僅當(dāng)Δ= 16(X －2)(X+1) = 0, 即X = 2. 因此, 所給一

20、元二次方程有重根的概率為,例1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度,(1) 確定常數(shù) c ;,(2)求X 的分布函數(shù) F(x) ;,證明,,1,,,,即, 對c. r.v X,有,連續(xù)型 r.v的分布函數(shù),c.r.v 分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。,由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點，,二項分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換,Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)D

21、ied: 23 Feb. 1855 in Göttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯資料,返回,得到,則有,利用極坐標(biāo)將它化成累次積分,,得到,故有,即有,于是,性質(zhì),證明,例3,將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容,器內(nèi).,是一個隨機(jī)變量,,(2) 若要求保持液體的溫度,解,(1) 所求概率為,即,亦即,故需,引理,證,得,則,由此知,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概