§9－1rlc串聯(lián)電路的零輸入響應

1、第九章 二階電路分析,由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。分析二階電路的方法仍然是建立二階微分方程，并利用初始條件求解得到電路的響應。本章主要討論含兩個動態(tài)元件的線性二階電路，重點是討論電路的零輸入響應。最后介紹如何利用計算機程序分析高階動態(tài)電路。,§9－1 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應,一、RLC串聯(lián)電路的微分方程,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,為了得到圖9－1所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程,根據(jù)前述

2、方程得到以下微分方程,這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。,其特征方程為,其特征根為,零輸入響應方程為,電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當R，L，C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況,1. 時， 為不相等的實根。過阻尼情況。,2. 時， 為兩個相等的實根。臨界阻尼情況。,3.

3、 時， 為共軛復數(shù)根。欠阻尼情況。,二、過阻尼情況,當 時，電路的固有頻率s1，s2為兩個不相同的實數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uc(0) 確定。,對式(9－5)求導，再令t=0得到,求解以上兩個方程，可以得到,由此得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。,例9-1 電路如圖9-1所示，

4、已知R=3?,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應。,解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計算出固有頻率,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個方程：,K1=6K2=-4,,最后得到電容

5、電壓的零輸入響應為,利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應,從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。,電容電壓的零輸入響應波形,DNAP程序可以畫出響應的波形。,電感電流的零輸入響應波形,三、臨界情況,當 時，電路的固有頻率s1, s2為兩個相同的實數(shù)s1=s2=s 。齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0) 確定

6、。令式(9-5)中的t=0得到,聯(lián)立求解以上兩個方程，可以得到,將 K1, K2的計算結(jié)果，代入式（9－8）得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。,對式(9－5)求導，再令得到,例9-2 電路如圖9-1所示。已知已知R=1 ?，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應。,解：將R

7、，L，C的量值代入式(9-4)計算出固有頻率的數(shù)值,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,將兩個相等的固有頻率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到,得到電感電流的零輸入響應,求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應,根據(jù)以上兩個表達式用計算機程序DNAP畫出的波形曲線，如圖9－3所示。,(a) 電容電壓的波形

8、 (b) 電感電流的波形圖9－3 臨界阻尼情況,電容電壓的零輸入響應波形,電感電流的零輸入響應波形,四、欠阻尼情況,當 時，電路的固有頻率s1，s2為為兩個共軛復數(shù)根，它們可以表示為,其中,齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中,由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應。,例9-3 電路如圖9-1所示

9、。已知R=6?, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應。,解：將R，L，C的量值代入式(9-4)計算出固有頻率的數(shù)值,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應:

10、,將兩個不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入式（9－11）得到,用計算機程序DNAP畫出的波形曲線，如圖9－4(a)和(b)所示,(a) 衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為3的電感電流的波形(c) 衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波形 圖9－4 欠阻尼情況,從式(9-11)和圖9-4波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特

11、點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當例9－3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，用計算機程序DNAP得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。,電容電壓的零輸入響應波形,u3 (t) =ε( t)*[( 5.00

12、 )* exp ( -3.00 t)]cos( 4.00 t -53.13 ),i2 (t) =ε( t)*[( 1.00 )* exp ( -3.00 t)]cos( 4.00 t +73.74 ),電感電流的零輸入響應波形,u3 (t) =ε(t)*[( 3.45 )* exp ( -.500 t)]cos( 4.97 t -29.66 ),電容電壓的零輸入響應波形,i2

13、(t) =ε( t)*[( .690 )* exp ( -.500 t)]cos( 4.97 t +66.08 ),電感電流的零輸入響應波形,例9-4 電路如圖9-1所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應。,解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計算出固有頻率的

14、 數(shù)值,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,將兩個不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應:,用計算機程序DNAP畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－5所示。,圖9－5 無阻尼情況,u3 (t) =ε(t)*[( 3.31

15、 )* exp ( .000 t)]cos( 5.00 t -25.02 ),電阻為零，響應不再衰減，形成等幅振蕩。,i2 (t) =ε(t)*[( .662 )* exp ( .000 t)]cos( 5.00 t +64.98 ),電阻為零，響應不再衰減，形成等幅振蕩。,從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電

16、容電壓和電感電流的相位差為90?，當電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。 從以上分析計算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應的幾種情況畫在圖9－6上。,圖9-6,由圖9－6可見： 1. 在過阻尼情況，s1和s2是不相等的負實數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上

17、負實軸上，響應按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負實數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負實軸上，響應按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) ? 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率?d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。,圖中按Ke-?t畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化