2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、,,,2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1),一、溫故知新,(一) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義,平面內(nèi)，到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,,當(dāng)e＞1時(shí)，是雙曲線 .,當(dāng)0<e<1時(shí)，是橢圓；,(定點(diǎn)F不在定直線l上),當(dāng)e=1時(shí)，是拋物線 .,(二) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,(1)開(kāi)口向右,y2 = 2px (p>0),(2)開(kāi)口向左,y2 = -2px (p>0),(3)開(kāi)口向上,x2 = 2py (p&g

2、t;0),(4)開(kāi)口向下,x2 = -2py (p>0),,由拋物線y2 =2px（p>0）,所以拋物線的范圍為,二、探索新知,如何研究拋物線y2 =2px（p>0）的幾何性質(zhì)?,,即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上,,故 拋物線y2 = 2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.,則 (-y)2 = 2px,若點(diǎn)(x,y)在拋物線上, 即滿足y2 = 2px，,,定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。,y2 =

3、 2px (p>0)中，令y=0,則x=0.,即：拋物線y2 = 2px (p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.,,拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。,由定義知， 拋物線y2 = 2px (p>0)的離心率為e=1.,,,,,,F,,A,B,y2=2px,,2p,過(guò)焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，,利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖.,,|A

4、B|=2p,2p越大，拋物線張口越大.,連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。,|PF|=x0+p/2,焦半徑公式：,,,F,,x軸,x軸,y軸,y軸,歸納: (1)、拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線； (2)、拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心; (3)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線； (4)、拋物線的離心率e是確定的為

5、１, ⑸、拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.,因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，　?。?解:,所以設(shè)方程為：,因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：,例１：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，　?。?，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.,三、典例精析,,探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都是拋物鏡面。,拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。,燈泡放在拋

6、物線的焦點(diǎn)位置上，通過(guò)鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。,平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。,,例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。,(40,30),解:,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px,由條件可得A (40,3

7、0),,代入方程得:,302=2p·40,解之: p=,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,,焦點(diǎn)為( ,0),例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，水面寬多少？,o,A,,,思考題,,2,B,A（2,－2）,x2=－2y,B（1，y）,y=－0.5,B到水面的距離為1.5米,不能安全通過(guò),y=－3代入得,例題3,（1）已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線

8、 的焦點(diǎn)的距離是5，則P = 。,（2）拋物線 的弦AB垂直x軸，若|AB|= ， 則焦點(diǎn)到AB的距離為 。,4,2,（3）已知直線x-y=2與拋物線 交于A、B兩 點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 。,四、課堂

9、練習(xí),5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，若P是拋物線 上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6,4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.(2)焦點(diǎn)在軸x上且截直線2x-y+1=0所得的弦長(zhǎng)為,6、已知Q(4,0)，P為拋物線

10、 上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( ) A. B. C. D.,B,C,五、歸納總結(jié),拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；,拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;,拋物線的離心率是確定的，等于１；,拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；,拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.,1、范圍：,