3、實數(shù)集的連續(xù)性與離散性

1、<p>　　3、實數(shù)集的連續(xù)性與離散性</p><p>　　“實數(shù)”不僅是現(xiàn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也是整個現(xiàn)行理學(xué)基礎(chǔ)，但以“實數(shù)”為元素的集合，連邏輯主義數(shù)學(xué)家羅素和弗雷格也懷疑：‘集合論……都是邏輯的悖論.邏輯在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解.這一問題直接威脅到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)……更重要的是，集合論悖論威脅到自然數(shù)的定義.’統(tǒng)一原可以被描述為由無數(shù)最小的單元即小無限所組成.實際上，統(tǒng)一原是永恒自在，絕對獨立的客

2、觀實在，是一絕對統(tǒng)一的全息整體.統(tǒng)一原先于一切，包羅一切，規(guī)定一切，獨立自由，至樸至實，統(tǒng)而為“一”，沒有部分，絕對連續(xù).“一”意味著唯一，沒有部分，也沒有邊界，沒有大小，超越了大小.無限大即無限小，反之亦然.無限不是有限事物的疊加，是不可度量的，是無限大與無限小的統(tǒng)一，是統(tǒng)一一切的客觀實在，是包羅一切的絕對全息體.</p><p>　　陳省身講：“一切物理的理論最終都要量子化，在數(shù)學(xué)上我們需要研究無窮維的空間和

3、分離現(xiàn)象.”實數(shù)集在標準分析中是連續(xù)的，但是實數(shù)集可以與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系，而數(shù)軸可以認為由可數(shù)個離散的區(qū)間組成的，只需要兩種顏色就可以把數(shù)軸上的區(qū)間分開.在非標準分析中是離散的，每一個點由可數(shù)個點構(gòu)成，由非標準分析可以知道實數(shù)集是離散、連續(xù)的對立統(tǒng)一.集合論的創(chuàng)始人Cator把無窮基數(shù)分為無窮個等級，一個比一個大，并進一步證明了“任何集S的超限數(shù)基數(shù)比集S超限數(shù)還大”.在這里“整體大于部分”成了謬誤，而“部分大于整體”成為真理

4、.復(fù)數(shù)可以與復(fù)平面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系，而復(fù)平面可以認為由可數(shù)個矩形區(qū)域組成的，根據(jù)四色定理只需要四種顏色就可以把平面上的區(qū)域分開.由于數(shù)學(xué)歸納法適用于離散集，因此也可以適用于實數(shù)集與復(fù)數(shù)集.類似地，只需要2n種顏色就可以把n維空間中區(qū)域分開，現(xiàn)代數(shù)學(xué)認為至少需要7種顏色才能把環(huán)面上的區(qū)域分開，其實只需要8種即可.</p><p>　　根據(jù)離散與連續(xù)的相對性與絕對性可以得知，離散與連續(xù)具有統(tǒng)一性的一面，因此函數(shù)

5、與數(shù)列、級數(shù)與積分便統(tǒng)一在一起，函數(shù)極限的四則運算法則與數(shù)列極限的四則運算法則、函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)、函數(shù)極限的判定與數(shù)列極限的判定其實是同一個問題，也不難理解Heine定理離散型；隨機變量與連續(xù)型隨機變量也是相對性與絕對性的統(tǒng)一.</p><p>　　在傳統(tǒng)的物理理論公式中，人們普遍采用實數(shù).表面上看，可能存在三條理由：實數(shù)是物理量的值；時空是連續(xù)的；概率的值是實數(shù).</p><p

6、>　　傳統(tǒng)的物理大廈依賴于物理量的值的計算，而這些計算已得到高度發(fā)展（如泛函分析和微分幾何等數(shù)學(xué)分支）.但是，傳統(tǒng)物理理論的成功只不過證明了連續(xù)的“儀器效應(yīng)”罷了.可用一個例子來說明.長度是一個物理量，如果先驗地認為它是連續(xù)量的話，那么其他的物理量就可以用實數(shù)模型化了.因為對一個物理量的測量，總能約化到在空間中某種類型的儀器指針的值.于是，問題就轉(zhuǎn)到為什么要對時空采用實數(shù)模型？或者說，是否有一種公認的理由可以將“儀器效應(yīng)”分離掉？

7、答案是否定的，并不存在一種先驗的理由說明空間是連續(xù)的.將時空非連續(xù)的可能性反映到物理理論中去，是拓撲斯理論的關(guān)鍵之處.</p><p>　　至于概率為什么應(yīng)該是實數(shù)的問題更值得探討.概率由測量序列的結(jié)果的相對頻率（為有理數(shù)）決定，實數(shù)是相對頻率的無限序列的極限引起的.許多學(xué)者指出，概率為實數(shù)是一種生理學(xué)事實的理想化，是一種理性的規(guī)范.有時，人們可以認為某種傾向會比另一種傾向大，但是在很多情形下“傾向性”是不可比擬

8、的，后者將導(dǎo)致概率函數(shù)的值域是偏序集.</p><p>　　連續(xù)時空觀的基礎(chǔ)是“點”的概念，在拓撲斯理論中，則以場所（locale）來取代點的概念.為此，可以先將點的概念讓位于區(qū)域（region）的概念.塔斯基（Alfred Tarski）早年曾做過“保守”線路的工作，他首先提出區(qū)域概念作為第一性，點概念作為第二性的方案.塔斯基先列出了區(qū)域的公理，再由區(qū)域構(gòu)造點，并使這些點具有3維歐幾里得空間的一些熟知性質(zhì).例如

9、，可以把點構(gòu)造成區(qū)域序列的形式，每個區(qū)域含在前一個區(qū)域之中，并且它們的“寬度”趨于零.但是，利用區(qū)域取代點并不一定要采用這種“保守”的線路.非“保守”的線路是用公理定義區(qū)域，并徹底替代點的概念.事實上，任何拓撲空間均能構(gòu)造一個場所，后者是一個推廣的布爾代數(shù)，它們不必具有排中律，由此提供直覺邏輯的一個自然代數(shù)結(jié)構(gòu).由場所定義的區(qū)域理論不是“保守的”——它推廣了拓撲空間的概念，允許區(qū)域簇不組成點.</p><p>