動(dòng)力系統(tǒng)簡(jiǎn)介[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　動(dòng)力系統(tǒng)簡(jiǎn)介</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：今天的動(dòng)力系統(tǒng)大致有微分動(dòng)力系統(tǒng)、

3、Hamilton動(dòng)力系統(tǒng)、拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)、復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)、遍歷論、隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)等若干方向。1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)家Lyapunov建立了穩(wěn)定性理論研究的框架。本文主要介紹了動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)概念，Lyapunov穩(wěn)定性和實(shí)用穩(wěn)定性這兩種常見的穩(wěn)定性的概念及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀以及幾類實(shí)用穩(wěn)定性在實(shí)際問題中的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：實(shí)用穩(wěn)定性；動(dòng)力系統(tǒng) ；lyapunov穩(wěn)定；電力市場(chǎng)</p><p

4、>　　An Introduction to Dynamical System </p><p>　　Abstract: Nowadays,dynamical system is generally divided into Differential dynamical systems,Hamilton dynamical system,Topological dynamical system,Comp-

5、 lex dynamical systems, Ergodic theory, Random dynamical systems and so on. In 1892,the Russian Mathematicians and Physicist Lyapunov established the framework of the study of stability theory.This paper mainly introduc

6、es the related concepts of dynamical system.The concepts and the research status both at home and abroad of Lyapunov stabilit</p><p>　　Key Words: Dynamical system; Practical stability; Lyapunov stability; El

7、ectricity market</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1. 引言錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.1研究背景很發(fā)展現(xiàn)狀錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　1.2論文的主要工作及研究意義2</p><p>　　2 預(yù)備知識(shí)

8、4</p><p>　　2.1動(dòng)力系統(tǒng)定義4</p><p>　　2.2Lyapunov穩(wěn)定理論簡(jiǎn)介錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.1Lyapunov穩(wěn)定性的基本概念錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.2.2經(jīng)典的Lyapunov穩(wěn)定性直接法6</p><p>　　2.3線性區(qū)

9、間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性7</p><p>　　2.4 實(shí)用穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介9</p><p>　　2.4.1實(shí)用穩(wěn)定性的一些基本理論9</p><p>　　2.4.2差分方程的實(shí)用穩(wěn)定性10</p><p>　　2.4.3時(shí)滯線性系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　2.5 兩種

10、穩(wěn)定性的關(guān)系11</p><p>　　3一類線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)及帶有時(shí)滯情況的魯棒穩(wěn)定性13</p><p>　　3.1主對(duì)角線上不含零點(diǎn)線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　3.2實(shí)例驗(yàn)證錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4線性系統(tǒng)及帶有時(shí)滯情況的實(shí)用穩(wěn)定錯(cuò)誤!未定義書簽。</p&g

11、t;<p>　　4.1線性微分方程的實(shí)用穩(wěn)定性錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.2線性時(shí)滯系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性 錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　4.3實(shí)例驗(yàn)證 20</p><p>　　5電力市場(chǎng)穩(wěn)定性研究中的應(yīng)用21</p><p>　　5.1電力市場(chǎng)穩(wěn)定性的理論與發(fā)展過程21</p&g

12、t;<p>　　5.2電力市場(chǎng)模型21</p><p>　　5.3蛛網(wǎng)模型23</p><p><b>　　6小結(jié)26</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　參考文獻(xiàn)錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言<

13、;/b></p><p><b>　　研究背景及發(fā)展現(xiàn)狀</b></p><p>　　動(dòng)力系統(tǒng)的經(jīng)典背景是常微分方程的解族所確定的整體的流動(dòng)。在常微分方程發(fā)展早期，牛頓、萊不尼茲、歐拉、伯努里(家族)等發(fā)現(xiàn)了許多通過初等函數(shù)或他們的積分表達(dá)式等方法來求常微分方程的通解。但是，Liouville 在1841年證明了大多數(shù)微分方程都不能求得顯式解。因而動(dòng)力系統(tǒng)的歷史

14、一般可以追溯到19世紀(jì)末法國(guó)大數(shù)學(xué)家Henri Poincaré創(chuàng)立的微分方程定性論，或者可以稱為微分方程的幾何理論。其精神是不通過微分方程的顯式解而直接研究解得幾何和拓?fù)湫再|(zhì)。這是由于已經(jīng)知道的大多數(shù)微分方程都不可能求出顯式解。20世紀(jì)早期Birkhoff關(guān)于拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的公理化式的工作為這一學(xué)科建立了大范圍的理論框架。這使得動(dòng)力系統(tǒng)的含義更為廣泛，可以不一定由微分方程產(chǎn)生。經(jīng)過了幾十年相對(duì)寂靜的時(shí)期，從20世紀(jì)60年代開始

15、，動(dòng)力系統(tǒng)，尤其是與計(jì)算機(jī)迭代直接相關(guān)的離散時(shí)間的動(dòng)力系統(tǒng)，迅速活躍起來。新的研究方向相繼產(chǎn)生，形成了各具實(shí)力的美國(guó)學(xué)派、前蘇聯(lián)學(xué)派、歐洲學(xué)派、巴西學(xué)派以及廖山濤先生獨(dú)樹一幟的理論為代表的中國(guó)學(xué)派。經(jīng)過40多年的迅速發(fā)展，動(dòng)力系統(tǒng)前進(jìn)的勢(shì)頭，越來越生機(jī)勃勃。</p><p>　　1892年，俄國(guó)著名數(shù)學(xué)力學(xué)家Lyapunov在他的博士論文"運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題中"，給出了漸近性理論中運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

16、的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義和用來討論漸近性行為的一般數(shù)學(xué)方法。他將由Peano、Bendixson和Darboux等人建立的微分方程的解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性這一概念，從自變量在有限區(qū)間上變化拓展到無窮區(qū)間上，科學(xué)地給出了系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的概念；他從類似系統(tǒng)總能量的物理觀念得到啟示，提出了后來被人們稱為L(zhǎng)yapunov函數(shù)的概念。從而建立了穩(wěn)定性理論研究的框架，奠定了動(dòng)力系統(tǒng)漸近性行為的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。實(shí)用穩(wěn)定性理論的迅速發(fā)展是從二十世紀(jì)

17、六十年代開始的。由于實(shí)用穩(wěn)定性的現(xiàn)實(shí)意義，許多學(xué)者對(duì)于它的理論及應(yīng)用進(jìn)行了大量的研究工作，所涉及的內(nèi)容幾乎包括了穩(wěn)定性理論的所有方面。</p><p>　　隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)正日益廣泛地應(yīng)用于各種科技和生產(chǎn)領(lǐng)域，并建立了許多數(shù)學(xué)模型來描述各種現(xiàn)實(shí)客體。這其中的一個(gè)中心問題便是研究系統(tǒng)的性質(zhì)，以及研究系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地起作用的條件，這就需要我們?nèi)W(xué)習(xí)和研究?jī)煞N最常見的穩(wěn)定性：即Lyapunov穩(wěn)定性和實(shí)用

18、穩(wěn)定性。在近十幾年來人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論和應(yīng)用的研究，形成了世界性的熱潮，其中穩(wěn)定性就扮演了重要的角色。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的魯棒性一直倍受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視。控制系統(tǒng)是否具有良好的魯棒性，成為衡量系統(tǒng)性能優(yōu)劣的重要標(biāo)志。近年來，許多學(xué)者研究了線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，給出了判斷此類系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的充分條件。1978年V．L．Khoritonnov給出了區(qū)間多項(xiàng)式的Hurwitz穩(wěn)定等價(jià)于四個(gè)頂點(diǎn)多項(xiàng)式的Hurwitz穩(wěn)定的結(jié)果，

19、開辟了研究區(qū)間矩陣與區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的先河。1983年，S．Bialas首先斷言：區(qū)間矩陣的Hurwitz穩(wěn)定性等價(jià)于2礦個(gè)頂點(diǎn)矩陣的Hurwtiz穩(wěn)定性。然而，Barmish與Hollot于1984年給出反例說明Bialas的結(jié)論是不正確的。此后眾多學(xué)者都致力于區(qū)間矩陣與區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的</p><p>　　論文的主要工作和研究意義</p><p>　　本文主要簡(jiǎn)單介紹了動(dòng)力系

20、統(tǒng)的基本概念，Lyapunov穩(wěn)定性和實(shí)用穩(wěn)定性這兩種常見的穩(wěn)定性的概念、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及這兩種穩(wěn)定性之間的關(guān)系。最后將所研究的內(nèi)容應(yīng)用于電力市場(chǎng)的穩(wěn)定性研究中。</p><p>　　動(dòng)力系統(tǒng)的一些觀念產(chǎn)生了遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出本學(xué)科的影響。突出的是近年來深受注意的混沌與復(fù)雜性的科學(xué)觀念。所謂混沌是指高度復(fù)雜的、對(duì)誤差極其敏感的性態(tài)。60年代初在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究中發(fā)現(xiàn)的Smalc揭示，復(fù)雜性可以與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性共存。這一重要發(fā)現(xiàn)催

21、生了現(xiàn)代的混沌概念。對(duì)混沌概念是否有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義并不重要。已有的許多不同的數(shù)學(xué)描述，恰恰表現(xiàn)了這一概念不尋常的魅力。重要的是它的認(rèn)識(shí)論意義。它發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜的并曾經(jīng)被認(rèn)為是不可認(rèn)識(shí)的現(xiàn)象，其實(shí)是我們這個(gè)世界基本的存存方式，是不可能回避也無須回避的現(xiàn)實(shí)。高度復(fù)雜而又可認(rèn)識(shí)——這或許是思辯的命題正在成為人們習(xí)以為常的生活內(nèi)容?？梢哉f，混沌與復(fù)雜性的觀念，是動(dòng)力系統(tǒng)能夠引以自豪地獻(xiàn)給整個(gè)科學(xué)的禮物。</p><p>　　

22、系統(tǒng)穩(wěn)定性有非常重要的意義，小到一個(gè)具體的控制系統(tǒng)，大至一個(gè)社會(huì)系統(tǒng)、金融系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)，總是在各種偶然的或持續(xù)的干擾下運(yùn)行的，承受這種干擾之后，能否保持預(yù)定的運(yùn)行或工作狀態(tài)，而不至于失控，搖擺不定，至關(guān)重要。所謂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個(gè)有限鄰域內(nèi)。</p><p><b>　　預(yù)備知識(shí)<

23、;/b></p><p><b>　　動(dòng)力系統(tǒng)定義</b></p><p>　　動(dòng)力系統(tǒng)是隨時(shí)間的變化而發(fā)展的系統(tǒng)，它主要研究隨時(shí)間的長(zhǎng)期發(fā)展，系統(tǒng)的狀態(tài)是如何改變和演化的．現(xiàn)在，動(dòng)力系統(tǒng)的方法和理論已成功的應(yīng)用到生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、系統(tǒng)控制與信息學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域。</p><p>　　定義 設(shè)是維歐式空間中的開集。映射連續(xù)，也

24、記作為。固定的時(shí)候，映射，滿足</p><p><b>　　是恒等映射；</b></p><p><b>　　對(duì)內(nèi)一切和成立。</b></p><p>　　那么就稱為動(dòng)力系統(tǒng)。</p><p>　　連續(xù)時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)，一般寫成微分方程的形式：</p><p>　　其中與分別為與

25、中的開集。</p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定理論簡(jiǎn)介</p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定性的基本概念</p><p>　　考慮一般的維的非自治微分方程組：</p><p>　　滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件，它的解存在區(qū)間是，還滿足條件，以保證是的解，我們稱它為零解。</p><p>　　定義 若是對(duì)于任意給

26、定的都存在，使得當(dāng)?shù)臅r(shí)候的解滿足：，則稱的零解是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，否則的零解是Lyapunov意義下不穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假設(shè)是中的中包含原點(diǎn)的一個(gè)開區(qū)域，對(duì)所有的和任意給定的，都存在，使得當(dāng)時(shí)，有成立，我們就稱是零解的一個(gè)吸引域，稱的零解是吸引的。</p><p>　　是零解的一個(gè)吸引域，更簡(jiǎn)單的描述是對(duì)所有的，均有，即從中出發(fā)的解趨于。</p>

27、<p>　　定義 假設(shè))的零解是穩(wěn)定的，又是吸引的，則稱的零解是漸近穩(wěn)定的；如果的零解的吸引域是整個(gè)，則稱的零解是全局漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假設(shè)定義與無關(guān)，那么稱1)的零解是一致穩(wěn)定的：若定義中的和與無關(guān)，則稱零解是一致吸引的；若的零解是一致穩(wěn)定和一致吸引的，稱的零解是一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假設(shè)正數(shù)，，對(duì)任意給定的存在使得當(dāng)時(shí)有，則稱

28、的零解是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 若是對(duì)于所有的存在與使得由不等式得出估計(jì)對(duì)于所有的都成立，則稱是擬等價(jià)漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果在定義中的函數(shù)與不依賴于，則稱是擬一致漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果對(duì)于每個(gè)，存在，使得由不等式得出估計(jì)，對(duì)所有的都成立，則稱是擬等價(jià)全局漸近穩(wěn)定的。</p><p&

29、gt;　　定義 如果在定義中，函數(shù)不依賴于，則稱是擬一致全局漸近穩(wěn)定的。 </p><p>　　經(jīng)典的Lyapunov穩(wěn)定性直接法</p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定性直接法是整個(gè)穩(wěn)定性理論的核心方法，其中有穩(wěn)定性定理、漸近穩(wěn)定性定理及不穩(wěn)定性定理。</p><p>　　假設(shè)是中包含的一個(gè)鄰域，函數(shù)在中原點(diǎn)的某鄰域中有定義，在中連續(xù)可微，且滿足。是上定義的連

30、續(xù)可微函數(shù)，是上定義的連續(xù)可微函數(shù)。</p><p>　　定義 若除原點(diǎn)外對(duì)所有均有，則稱為正定函數(shù)負(fù)定函數(shù)；若對(duì)所有均有，則稱為半正定函數(shù)或常正函數(shù)半負(fù)定函數(shù)或常負(fù)函數(shù)；若在中原點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)既可取正值，也可取負(fù)值，則稱為變號(hào)函數(shù)。</p><p>　　如果是正定的，則是負(fù)定的。同樣，如果是半正定的，則是半負(fù)定的。</p><p>　　定義 若有正定負(fù)定函數(shù)，

31、使得</p><p>　　在成立，而且，那么則稱是在上的正定負(fù)定函數(shù)，若，則稱是半正定函數(shù)半負(fù)定函數(shù)。</p><p>　　定義 若是上的正定函數(shù)，且，則稱是上的無窮大正定函數(shù)。</p><p>　　定義 若有正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮小上界；若有無窮大正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮大下界。</p><p>　　定義 設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，而且

32、)嚴(yán)格單調(diào)遞增，則稱是類函數(shù)，記作；若是還滿足，那么就稱為無窮大類函數(shù)。</p><p>　　線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性</p><p>　　考慮下列線性微分方程：</p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　定義 若的所有特征值的實(shí)部，稱穩(wěn)定：若，且具有零實(shí)部的特征值，只對(duì)應(yīng)的單重初等因子，稱擬

33、穩(wěn)定。</p><p>　　定理 若的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則的零解漸近穩(wěn)定；若的所有特征值具有非正實(shí)部，且其具有零實(shí)部的特征值僅對(duì)應(yīng)單重初等因子，則的零解是穩(wěn)定的；若有正實(shí)部的特征值，或者有對(duì)應(yīng)于多重初等因子的零實(shí)部特征值，則的零解是不穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 若一個(gè)實(shí)矩陣滿足</p><p><b>　　則矩陣稱為矩陣。</b

34、></p><p>　　若是的元素的確切值未知，僅知道的上下界。，都是實(shí)矩陣，表示。矩陣簇：稱為一個(gè)區(qū)間矩陣，動(dòng)力系統(tǒng)稱為一個(gè)區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)。</p><p>　　定義 假若是穩(wěn)定的，則稱區(qū)間矩陣是穩(wěn)定的，記為，即式是漸近穩(wěn)定的，進(jìn)而系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 假若不是穩(wěn)定的，則稱區(qū)間矩陣是完全不穩(wěn)定的，記為，即式是不穩(wěn)定的。</p&

35、gt;<p><b>　　對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)：</b></p><p>　　其中，都是實(shí)區(qū)間矩陣，而且，未知，只是知道的上下界</p><p>　　定義 如果對(duì)任意的，其相應(yīng)的唯一正平衡點(diǎn)，，使得系統(tǒng)在是穩(wěn)定的全局穩(wěn)定的，那么該系統(tǒng)就相應(yīng)地稱為魯棒穩(wěn)定魯棒全局穩(wěn)定。</p><p>　　定義 如果對(duì)任意，初值為的所有解滿足：，其

36、中是一個(gè)依賴的常數(shù)，而且那么系統(tǒng)稱為具有魯棒不變性。</p><p>　　考慮一類對(duì)角占優(yōu)區(qū)間矩陣。。所謂對(duì)角占優(yōu)，即主對(duì)角線上元素的絕對(duì)值大于非主對(duì)角線上元素的絕對(duì)值。</p><p>　　令，這里是的一個(gè)排列；。</p><p><b>　　定理 如果矩陣</b></p><p><b>　　則當(dāng)即，蘊(yùn)

37、含；</b></p><p><b>　　當(dāng)即存在著某些。</b></p><p>　　定理 若存在常數(shù)，使得</p><p><b>　　這里是的一個(gè)排列，</b></p><p>　　構(gòu)成的矩陣是正定的，那么</p><p><b>　　當(dāng)即，蘊(yùn)

38、含；</b></p><p><b>　　當(dāng)即存在著某些。</b></p><p><b>　　實(shí)用穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介</b></p><p>　　實(shí)用穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性態(tài)的一種定量描述，在實(shí)際問題中，系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性由一些特定的集合刻畫，這些集合反映實(shí)際擾動(dòng)情況和在此擾動(dòng)影響下系統(tǒng)的預(yù)期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。</

39、p><p>　　具體的說，如果用集合表示系統(tǒng)的初始區(qū)域，用集合表示系統(tǒng)的初始，用集合表示系統(tǒng)的隨后擾動(dòng)區(qū)域。多數(shù)情況下，是與初始時(shí)刻有關(guān)的，因此常記作，而一般還可以是時(shí)變集合，滿足一定的“瞬態(tài)”要求，這時(shí)常用表示。于是實(shí)用穩(wěn)定就是說，對(duì)于系統(tǒng)的每一個(gè)從內(nèi)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，其隨后的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程都不離開集合中，則系統(tǒng)關(guān)于已知的估計(jì)區(qū)域和是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　實(shí)用穩(wěn)定性必須解決的兩個(gè)問題：首

40、先估計(jì)集合，即要指出在什么樣的未知狀態(tài)的鄰近范圍系統(tǒng)是有效的。需要估計(jì)集合，即要能夠檢驗(yàn)初始集合好到何種程度。 </p><p>　　實(shí)用穩(wěn)定性的一些基本理論</p><p>　　定義 如果對(duì)于給定的估計(jì):與某個(gè),可由不等式得出估計(jì)對(duì)所有成立，則稱方程組 是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果對(duì)所有的滿足定義的條件，則稱方程組是一致實(shí)用穩(wěn)定的。</p

41、><p>　　定義 如果對(duì)于給定的與某個(gè)，可由不等式得出估計(jì)對(duì)所有的成立，則方程組是實(shí)用擬穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果對(duì)所有的滿足定義的條件，則稱方程組是一致實(shí)用擬穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果同時(shí)滿足定義和定義的條件，則稱方程組是強(qiáng)實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果同時(shí)滿足定義和定義的條件，則稱方程組是一致強(qiáng)實(shí)用

42、穩(wěn)定的。</p><p>　　定義 如果不滿足定義的條件，則稱方程組是實(shí)用不穩(wěn)定的。</p><p>　　另外，實(shí)用穩(wěn)定還有另外一種表示方式，首先給出一些記號(hào)：以表示系統(tǒng)的初始時(shí)刻集合，表示初始時(shí)刻，。對(duì)給定的常量以及函數(shù)，有界且連續(xù)可微，且。</p><p><b>　　初始偏差區(qū)域：</b></p><p><

43、b>　　隨后偏差區(qū)域：</b></p><p>　　時(shí)間區(qū)間：，其中可以是有限數(shù)，也可以是。那么關(guān)于這些集合的實(shí)用穩(wěn)定定義如下：(僅以實(shí)用穩(wěn)定和一致實(shí)用穩(wěn)定為例）</p><p>　　定義 如果對(duì)，有，則稱關(guān)于實(shí)用穩(wěn)定。</p><p>　　定義 如果對(duì)滿足定義的條件，則稱關(guān)于實(shí)用一致穩(wěn)定。</p><p>　　差分方程的實(shí)

44、用穩(wěn)定性</p><p><b>　　對(duì)于離散控制系統(tǒng)：</b></p><p><b>　　其中且，</b></p><p><b>　　初始偏差集合：；</b></p><p>　　容許過程偏差集合：；</p><p>　　這些集合分別反映了系統(tǒng)的運(yùn)

45、動(dòng)區(qū)間以及所能容許的初始干擾強(qiáng)度和過程狀態(tài)與標(biāo)稱運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的偏差范圍，在具體問題中事先給定。</p><p>　　時(shí)滯線性系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性</p><p><b>　　對(duì)于時(shí)滯線性系統(tǒng)：</b></p><p>　　其中和是連續(xù)矩陣函數(shù)，為常數(shù)。</p><p><b>　　兩種穩(wěn)定性的關(guān)系</b>&

46、lt;/p><p>　　Lyapunov穩(wěn)定是由兩個(gè)相關(guān)指標(biāo)刻畫，定義中的是任意給定的，而只要求存在，不管大小。并且這種穩(wěn)態(tài)是在運(yùn)動(dòng)時(shí)間充分大的時(shí)候才會(huì)呈現(xiàn)的狀態(tài)。而運(yùn)動(dòng)實(shí)用穩(wěn)定性理論的主要任務(wù)則是研究在規(guī)定的時(shí)間區(qū)間，給出初始偏差集合和隨后偏差集合，實(shí)用穩(wěn)定就是說，對(duì)于系統(tǒng)的每一個(gè)從出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，其隨后規(guī)定的時(shí)間范圍內(nèi)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程都不離開集合中，則系統(tǒng)關(guān)于已知的估計(jì)區(qū)域和是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><

47、p>　　實(shí)用穩(wěn)定既不弱于，也不強(qiáng)于Lyapunov穩(wěn)定。實(shí)用穩(wěn)定性概念可以較好地解決Lyapunov穩(wěn)定概念的定性描述與實(shí)際中的定量要求不符合的矛盾。由于“穩(wěn)態(tài)”是在運(yùn)動(dòng)時(shí)間充分大的時(shí)候才表現(xiàn)出的狀態(tài)，這與一些過程短，變化劇烈的系統(tǒng)的情況不符合，即使對(duì)某些“長(zhǎng)期”系統(tǒng)而言，其運(yùn)動(dòng)在“任意接近”穩(wěn)態(tài)之前，仍有可能越出事先指定的“偏差范圍”。何況，要求實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與穩(wěn)態(tài)“任意接近”是不可能的，也沒有必要。</p><

48、;p>　　實(shí)用穩(wěn)定性是近年來剛剛興起的一門科學(xué)，其用處非常廣泛。因?yàn)樵趯?shí)際中同漸近穩(wěn)定相比較，人們更期望的是完全穩(wěn)定性，但是，有時(shí)不穩(wěn)定也是可以接受的。這是因?yàn)樗谕南到y(tǒng)的狀態(tài)在數(shù)學(xué)上可以是不穩(wěn)定的，但是系統(tǒng)可以在充分接近這個(gè)狀態(tài)下完成振動(dòng)，且它所起的作用被認(rèn)為是可以接受的。譬如，火箭筒在數(shù)學(xué)上含有被認(rèn)為是不穩(wěn)定的航行軌線，可是火箭系統(tǒng)在火箭筒中的振動(dòng)效果是可以令人滿意的。事實(shí)上，很多問題都可以做出這種解釋，其中包括兩點(diǎn)間的宇宙

49、裝置的飛行問題與化學(xué)反應(yīng)中在確定范圍內(nèi)的溫度保持問題等。在這些情況中，實(shí)用穩(wěn)定性的概念可以更切合實(shí)際地反映出所研究過程的本質(zhì)。</p><p>　　一類線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)及帶有時(shí)滯情況的魯棒穩(wěn)定性</p><p>　　本章研究主對(duì)角線上不含零點(diǎn)的線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)及此類系統(tǒng)帶有時(shí)滯情況的穩(wěn)定性。通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，得到了主對(duì)角線上不含零點(diǎn)的線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定與不穩(wěn)定的判定定理

50、，以及帶有時(shí)滯的區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒全局穩(wěn)定、魯棒穩(wěn)定、魯棒不變的充分條件，所得結(jié)論只需判斷一個(gè)常數(shù)矩陣是否為必矩陣，比較容易驗(yàn)證。</p><p>　　主對(duì)角線上不含零點(diǎn)線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性</p><p><b>　　對(duì)于線性系統(tǒng)：</b></p><p>　　其中。的元素確切值未知，僅知道的上下界：，。而且為主對(duì)角線上元素不含零點(diǎn)的

51、區(qū)間矩陣。鑒于這類特殊區(qū)間矩陣的特點(diǎn)．可以令，這里是的一個(gè)排列；。</p><p>　　定理 如果矩陣 是一個(gè)矩陣，這里</p><p><b>　　。</b></p><p>　　則當(dāng)即，蘊(yùn)含；即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當(dāng)即存在著某些。即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　

52、　證明 因?yàn)槭且粋€(gè)矩陣，所以也是矩陣，由等價(jià)條件得。即為非負(fù)矩陣，所以對(duì)即。</p><p>　　令對(duì)，考慮線性動(dòng)力系統(tǒng)：</p><p>　　構(gòu)造Lyapunov函數(shù)</p><p>　　顯然，當(dāng)有是正定的，當(dāng)是負(fù)定的或變號(hào)的，對(duì)于沿方程解的Dini導(dǎo)數(shù)：</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)。</b></p>

53、;<p>　　由的任意性，可以知道： </p><p>　　當(dāng)時(shí)，，從而，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，，從而，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　定理 若存在常數(shù)，使得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這里是

54、的一個(gè)排列，</b></p><p>　　構(gòu)成的矩陣是正定的，那么</p><p>　　當(dāng)即，蘊(yùn)含，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當(dāng)即存在著某些，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　證明 令對(duì)，考慮線性動(dòng)力系統(tǒng)：</p><p>　　構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：</p>&l

55、t;p>　　顯然，當(dāng)有是正定的，當(dāng)是負(fù)定的或變號(hào)的，對(duì)于沿方程解的Dini導(dǎo)數(shù)：</p><p>　　由的任意性，可以知道： </p><p>　　當(dāng)時(shí)，，從而，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，，從而，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。證畢。</p><p><b>　　實(shí)例驗(yàn)證</b></p>

56、<p>　　例 討論下列線性區(qū)間動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性</p><p>　　解 因?yàn)?</p><p>　　是一個(gè)矩陣。根據(jù)定理有，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p><b>　　例 討論系統(tǒng)</b></p><p><b>　　的穩(wěn)定性。</b></p>&

57、lt;p>　　解 因?yàn)?</p><p>　　是一個(gè)矩陣。根據(jù)定理有，即系統(tǒng)不是魯棒穩(wěn)定的。 </p><p><b>　　例 討論系統(tǒng)</b></p><p><b>　　的穩(wěn)定性。</b></p><p><b>　　解 我們可以取</b>&

58、lt;/p><p>　　容易驗(yàn)證是對(duì)稱正定的，根據(jù)定理可以知道有，即系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。</p><p>　　由上述例子可以知道，即使區(qū)間矩陣不是對(duì)角占優(yōu)區(qū)間矩陣，而僅是對(duì)角線上的元素不含零點(diǎn)的這類矩陣，我們依然可以通過本章中的定理和定理來判斷它的穩(wěn)定性。</p><p>　　線性系統(tǒng)及帶有時(shí)滯情況的實(shí)用穩(wěn)定</p><p>　　本章利用函數(shù)方法，

59、不等式性質(zhì)及單調(diào)性準(zhǔn)則分析了線性微分方程和線性時(shí)滯微分方程的實(shí)用穩(wěn)定性，得到簡(jiǎn)便的實(shí)用穩(wěn)定性條件，這些條件僅與系統(tǒng)的系數(shù)有關(guān)，易于直接驗(yàn)證。在本章中僅以二階微分方程為例討論，階數(shù)大于2的情況類似。</p><p>　　除此之外，本文中假設(shè)初始偏差集合為；容許過程偏差集合為：。</p><p>　　線性微分方程的實(shí)用穩(wěn)定性</p><p>　　對(duì)于微分方程系統(tǒng)： &l

60、t;/p><p><b>　　其中為常數(shù)矩陣。</b></p><p>　　命題 記，假定隨后的偏差區(qū)域滿足性質(zhì)：對(duì)于連續(xù)的，如果有某使得，那么或者對(duì)所有的，恒有，或者存在使得且當(dāng)?shù)臅r(shí)候，。</p><p>　　定理 如果對(duì)給定的，滿足不等式</p><p>　　那么系統(tǒng)關(guān)于實(shí)用穩(wěn)定。</p><

61、p>　　證明 假設(shè)結(jié)果不成立，由命題可以知道：必定有和，使得。而且</p><p>　　。 </p><p>　　然而，取向量函數(shù)，則此函數(shù)沿方程的Dini導(dǎo)數(shù)為</p><p><b>　　由己知條件得</b></p><p>　　又由于

62、 </p><p><b>　　由式、、可以得到。</b></p><p>　　如若不然，可以由式子及連續(xù)性可以知道存在，使得在上有，由此可以知道</p><p>　　同時(shí)由條件、可以得到</p><p><b>　　與式矛盾。</b><

63、;/p><p><b>　　所以有成立。</b></p><p>　　，這與式矛盾，證畢。</p><p>　　線性時(shí)滯系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性 </p><p>　　對(duì)于帶有時(shí)滯的微分方程組</p><p>　　其中和是連續(xù)矩陣函數(shù)。</p><p>　　定理 如

64、果對(duì)于給定的，及所有的，滿足</p><p>　　那么系統(tǒng)關(guān)于是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　證明 假設(shè)結(jié)果不成立，由命題可以知道：必有和，使得而且</p><p>　　然麗，取向量函數(shù)，則此函數(shù)沿系統(tǒng)的Dini導(dǎo)數(shù)為</p><p><b>　　由已知條件得</b></p><p><

65、;b>　　，</b></p><p><b>　　又由于</b></p><p><b>　　由式子、、可以得到</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　如若不然，必存在</b></p>

66、<p>　　，使得，那么對(duì)于，有，即對(duì)，有。</p><p><b>　　實(shí)例驗(yàn)證</b></p><p>　　例 考慮下列系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性</p><p>　　其中，并且取估計(jì)區(qū)域?yàn)椤?lt;/p><p>　　解 由于，故對(duì)于，由定理可以知道系統(tǒng)是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　例

67、 考慮下列系統(tǒng)的實(shí)用穩(wěn)定性</p><p>　　其中，并且取估計(jì)區(qū)域?yàn)椤?lt;/p><p><b>　　解 由于，而，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，可以得到，由定理可以知道系統(tǒng)是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　電力市場(chǎng)穩(wěn)定性研究中的應(yīng)用</p><p>　　電力市場(chǎng)穩(wěn)定性的理論與發(fā)展過程

68、</p><p>　　電力市場(chǎng)穩(wěn)定是電力市場(chǎng)機(jī)制設(shè)計(jì)和監(jiān)管領(lǐng)域的重要課題之一。傳統(tǒng)的市場(chǎng)穩(wěn)定性理論是建立在普通商品市場(chǎng)的基礎(chǔ)之上的，但是電力系統(tǒng)有其特殊性，如電力供需同時(shí)進(jìn)行，電力需求在一定程度上具有周期性的特性，以及電力報(bào)價(jià)交易分時(shí)開展等。這些因素是關(guān)系電力市場(chǎng)穩(wěn)定的重要因素。</p><p>　　電力市場(chǎng)利用市場(chǎng)機(jī)制的手段合理分配電力系統(tǒng)資源，其穩(wěn)定性研究對(duì)于調(diào)節(jié)市場(chǎng)供需狀況具有十分重

69、要的意義。Alvarado結(jié)合市場(chǎng)動(dòng)態(tài)建立了電力市場(chǎng)動(dòng)態(tài)模型，在此之后與Meng，Mota等人合作，在動(dòng)態(tài)市場(chǎng)模型中考慮電能不平衡因素以及電力系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)因素得到新的市場(chǎng)模型。對(duì)于上述市場(chǎng)動(dòng)態(tài)模型，Alvarado等人均利用數(shù)值的特征值方法研究電力市場(chǎng)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)結(jié)合Alvarado提出的動(dòng)態(tài)市場(chǎng)模型，在Lyapunov穩(wěn)定意義下，從理論上討論了電力市場(chǎng)的穩(wěn)定性，并且給出了一系列充分條件來判斷電力市場(chǎng)的穩(wěn)定性。</p>

70、<p><b>　　電力市場(chǎng)模型</b></p><p>　　假設(shè)發(fā)電機(jī)成本函數(shù)和消費(fèi)者效用函數(shù)為二次函數(shù)。當(dāng)供電一方觀察到電力市場(chǎng)價(jià)格高于生產(chǎn)成本價(jià)格，則供應(yīng)方會(huì)擴(kuò)大生產(chǎn)直到生產(chǎn)成本等于價(jià)格，擴(kuò)大的比率與觀察到的市場(chǎng)價(jià)格和實(shí)際生產(chǎn)成本之差成比例。假設(shè)供應(yīng)方的電能輸出為，其對(duì)于市場(chǎng)價(jià)格的響應(yīng)速度是獨(dú)立的，用事件常數(shù)表示。在上述假設(shè)下，Alvarado導(dǎo)出如下描述電力市場(chǎng)動(dòng)力學(xué)行為的

71、模型：</p><p>　　式中為電能供應(yīng)量；為電力輸出的響應(yīng)速度；為任意給定時(shí)刻的電力價(jià)格；為供應(yīng)方的邊際成本；為需求彈性；為供應(yīng)方的線性成本系數(shù)，。</p><p>　　至于消費(fèi)者，其刻劃模型為：</p><p>　　式中為電能需求量；為電力輸出的膨脹速度；為供應(yīng)方的邊際收益；為需求彈性；為消費(fèi)方的線性成本系數(shù)，。另外和還滿足：</p><p

72、>　　考慮到電力市場(chǎng)的阻塞，利用潮流分布因子，單一阻塞條件可以表示為</p><p>　　對(duì)于一股的情況，具有個(gè)阻塞條件，個(gè)供應(yīng)方個(gè)消費(fèi)方的完整模型為： </p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中表示阻塞限制的Lagrang

73、e乘子，。</p><p>　　利用線性代數(shù)的簡(jiǎn)單理論可以推知：電力市場(chǎng)模型穩(wěn)定性在非奇異線性變換作用下保持不變。由計(jì)算可得</p><p><b>　　定理 假設(shè)</b></p><p>　　若是，而且至少有一個(gè)，那么式子不穩(wěn)定，從而不漸近穩(wěn)定。</p><p>　　若是，而且至少有一個(gè)，那么式子不漸近穩(wěn)定。<

74、/p><p>　　若是，而且至少有一個(gè)，那么式子不穩(wěn)定，從而不漸近穩(wěn)定。</p><p><b>　　蛛網(wǎng)模型</b></p><p>　　對(duì)于市場(chǎng)穩(wěn)定或市場(chǎng)動(dòng)態(tài)的文獻(xiàn)可以在經(jīng)濟(jì)學(xué)著作中找到，研究供給和需求動(dòng)態(tài)變化的蛛網(wǎng)模型以及其～系列改進(jìn)模型是經(jīng)典模型中的一類。蛛網(wǎng)模型最先由Ezekieln提出，它描述了在沒有庫(kù)存的市場(chǎng)中均衡價(jià)格的波動(dòng)。這個(gè)模型

75、假設(shè)市場(chǎng)中每個(gè)參與者都是價(jià)格接受者，市場(chǎng)依時(shí)間段進(jìn)行生產(chǎn)銷售。于是市場(chǎng)中的生產(chǎn)者必須在上一時(shí)間段生成對(duì)接下來時(shí)間市場(chǎng)價(jià)格的估計(jì)，并依據(jù)這個(gè)價(jià)格預(yù)測(cè)提出自己的報(bào)價(jià)曲線；當(dāng)現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格被觀察到后，生產(chǎn)者又會(huì)繼續(xù)估計(jì)下一個(gè)時(shí)間段的價(jià)格，對(duì)于生產(chǎn)者，這一過程往復(fù)循環(huán)。對(duì)于消費(fèi)者，需求曲線根據(jù)需求效用得出，并由當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格形成需求量。</p><p>　　以下將建立一組描述市場(chǎng)的模型，包括自治、非自治的線性周期系統(tǒng)以及

76、非自治線性周期系統(tǒng)。這些模型建立在以下基本假設(shè)基礎(chǔ)之上：</p><p>　　在某二給定時(shí)刻，所有的市場(chǎng)交易以唯一的價(jià)格成交；</p><p>　　市場(chǎng)中沒有能量存儲(chǔ)，即所有的生產(chǎn)和銷售同時(shí)進(jìn)行；</p><p>　　在現(xiàn)貨市場(chǎng)中，市場(chǎng)需求是價(jià)格預(yù)測(cè)的單調(diào)減函數(shù)；</p><p>　　在現(xiàn)貨市場(chǎng)中，市場(chǎng)供給是現(xiàn)貨價(jià)格的單調(diào)增函數(shù)。</p

77、><p>　　顯然：以上假設(shè)符合經(jīng)濟(jì)學(xué)和電力市場(chǎng)的一般原理。且市場(chǎng)消費(fèi)由消費(fèi)者對(duì)時(shí)刻的價(jià)格預(yù)測(cè)決定，市場(chǎng)供應(yīng)的價(jià)格由現(xiàn)貨市場(chǎng)的交易量決定。一個(gè)簡(jiǎn)單的定常線性系統(tǒng)模型表示為：</p><p>　　式中：是時(shí)刻的需求；是時(shí)刻的供給；是時(shí)刻現(xiàn)貨市場(chǎng)的供給；是用戶對(duì)于時(shí)刻價(jià)格的預(yù)測(cè)。和都是常數(shù)。同時(shí)假設(shè)市場(chǎng)具有正常意義下的供給和需求，即參數(shù)滿足，。</p><p><b&

78、gt;　　導(dǎo)出的差分模型有：</b></p><p><b>　　一階自治差分模型：</b></p><p><b>　　二階自治差分模型：</b></p><p>　　一階非自治差分模型：</p><p>　　二階非自治差分模型： </p><p>　　電力

79、市場(chǎng)的穩(wěn)定性一般都是在Lyapunov穩(wěn)定意義下進(jìn)行的，在本節(jié)中，我們研究的電力市場(chǎng)穩(wěn)定性是在實(shí)用穩(wěn)定的意義考慮的。</p><p>　　由于方程通過平移可以將常數(shù)項(xiàng)去掉，故下列結(jié)論是針對(duì)于不帶常數(shù)項(xiàng)的。而且在2維空間上考慮的。</p><p>　　一階自治微分模型： </p><p>　　結(jié)論 如果對(duì)給定的，滿足不等式：</p><p>

80、　　那么系統(tǒng)關(guān)于是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　一階非自治時(shí)滯微分模型：</p><p>　　結(jié)論 如果對(duì)給定的，及所有的，滿足不等式：</p><p>　　那么系統(tǒng)關(guān)于是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　一階非自治微分模型：</p><p>　　結(jié)論 如果對(duì)給定的，而且，滿足不等式：</p>&

81、lt;p>　　，其中取 ，</p><p>　　中的任意一個(gè)，那么上述系統(tǒng)關(guān)于是實(shí)用穩(wěn)定的。</p><p>　　二階非自治微分模型：</p><p>　　結(jié)論 如果對(duì)給定的，而且，滿足不等式：</p><p>　　，其中取 ， 中的任意一個(gè)，取，中的任意一個(gè)，那么上述系統(tǒng)關(guān)于是實(shí)用穩(wěn)定的。</p>&

82、lt;p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　白二十世紀(jì)五十年代以來，離散控制系統(tǒng)的理論研究與實(shí)際應(yīng)用工作，逐漸受到控制理論界的廣泛重視，取得了很大成就，使離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)成為控制理論的一個(gè)重要組成部分。描述離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為差分方程，差分方程(組)是學(xué)習(xí)微分方程(組)、微分一差分方程(組)以及泛函微分方程(組)的理論基礎(chǔ)。但差分方程(組)并不是微分方程(組)的

83、特例，它具有自身的特殊性。近年來，對(duì)差分方程的穩(wěn)定性也取得了巨大成果，，其中有很多也是應(yīng)用Lyapunov函數(shù)進(jìn)行研究的。系統(tǒng)穩(wěn)定性有非常重要的意義，小到一個(gè)具體的控制系統(tǒng)，大至一個(gè)社會(huì)系統(tǒng)、金融系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)，總是在各種偶然的或持續(xù)的干擾下運(yùn)行的，承受這種干擾之后，能否保持預(yù)定的運(yùn)行或工作狀態(tài)，而不至于失控，搖擺不定，至關(guān)重要。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p&g

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