關(guān)于非齊次線性方程組ax=b兩類解法的對比【開題報告+文獻綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　關(guān)于非齊次線性方程組Ax=b兩類解法的對比</p><p><b>　　選題的背景與意義</b></p><p><b>　　背景：<

2、/b></p><p>　　廣義逆矩陣是對逆矩陣的推廣。若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩陣A^(-1)滿足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I為單位矩陣)。若A是奇異陣或長方陣，Ax=b可能無解或有很多解。若有解，則解為x=Xb+(I-XA)у，其中у是維數(shù)與A的列數(shù)相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用A^g、A^-

3、或A^(1)等符號表示，有時簡稱廣義逆。</p><p>　　線性方程組的逆矩陣解法一般只適用于一種特殊情況,即適用于系數(shù)矩陣為方陣的時候，用于一般的線性方程組 ,可以應(yīng)用矩陣的廣義逆來研究并表示 它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達形式更簡潔系統(tǒng)本文探討了線性方程組的廣義逆拒陣解法。</p><p><b>　　意義：</b></p><

4、;p>　　對一般的線性方程組 ,可以應(yīng)用矩陣的廣義逆來研究并表示它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達形式更簡潔系統(tǒng)。本文通過運用相關(guān)定理，進行線性方程組的廣義逆矩陣解法和初等矩陣法的對比。這對于我們理解相關(guān)廣義逆矩陣的應(yīng)用會有幫助。</p><p>　　研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p><b>　　論文提綱：</b></p>

5、<p>　　廣義逆矩陣的數(shù)學背景，以及它的一些應(yīng)用。</p><p>　　對于一般線性方程組的常規(guī)解法進行歸納總結(jié)。</p><p>　　結(jié)合廣義逆矩陣和一般線性方程組，對于廣義逆矩陣發(fā)在其上面的應(yīng)用，進行舉例說明。</p><p>　　廣義逆矩陣有關(guān)g逆在求解一般線性方程組的解法改進。</p><p>　　對于論文中一些不足與

6、問題作總結(jié)。</p><p>　　三．研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　首先，從廣義逆矩陣和一般線性方程組的數(shù)學背景入手，闡述論文意義。然后，穿插有關(guān)定理，結(jié)合廣義逆矩陣在一般線性方程組已經(jīng)得到的解法應(yīng)用，對兩種解法進行對比，最后進行對比總結(jié)和補充相關(guān)知識。</p><p>　　四．研究的總體安排與進度</p><p>　　2010年

7、12月31日前：在廣泛查閱資料的基礎(chǔ)上，完善課題研究方案，完成外文翻譯、文獻綜述和開題報告等工作</p><p>　　2011年4月1日前：完成論文寫作</p><p>　　2011年5月1日前：對論文進行修改和完善</p><p><b>　　主要參考文獻</b></p><p>　　[1]白素英 關(guān)于非齊次線性方程

8、組 A x=b兩類解法的對比 哈爾濱金融高等專科學校學報 2010年7月 第3期 </p><p>　　[2]侯雙根 廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣 鄭州工學院學報 1992年6月 第l3卷 第2期 </p><p>　　[3]伊崇信 戴洪才 一種求布爾矩陣全體廣義逆的新算法 齊齊哈爾輕工學院學報 1990年6月 第6卷第2期</p><p&

9、gt;　　[4]周立仁 矩陣加權(quán)MoorePenr ose 逆的通式 青海師范大學學報(自然科學版) 2010年第2期 </p><p>　　[5]宋小力 AX = B型矩陣方程解集的結(jié)構(gòu) 曲阜師范大學學報 2010年7月 第36卷 第3期</p><p>　　[6]邵俊倩 關(guān)于Moore-Penrose 逆的若干性質(zhì) 巢湖學院學報 2009年第 11卷第6期

10、總第99期</p><p>　　[7]賀永會 矩陣方程 AiX iBi = C在特定條件下的解 山東輕工業(yè)學院學報 2009年11月</p><p>　　[8]郭玲, 付敏, 向慶 線性方程組AX= B的識別反問題及其應(yīng)用 內(nèi)江師范學院學報 第23卷(增)( 2008)</p><p>　　[9]羅成林 求廣義逆矩陣的方法 高師理科學刊 200

11、7年5月 第27卷 第3期 </p><p>　　[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 關(guān)于柯西托普利茨矩陣和柯西漢克爾矩陣標準形式的界限問題 數(shù)學系，藝術(shù)科學學院，賽爾庫克大學 2002年 第132期 633-642頁</p><p>　　[11] 王俊青，張麗珍 斜域中塊反循環(huán)矩陣及其性質(zhì) 數(shù)學系. 天津理工大學. 天津 &

12、lt;/p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　關(guān)于非齊次線性方程組Ax=b兩類解法的對比</p><p>　　矩陣理論既是學習經(jīng)典數(shù)學的基礎(chǔ)，又是一門最有實用價值的數(shù)學理論。它不僅是數(shù)學的一個重要的分支，而且業(yè)已成為現(xiàn)代

13、各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強有力的工具。特別是計算機的廣泛應(yīng)用，為矩陣論的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。</p><p>　　廣義逆矩陣是對逆矩陣的推廣。若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩陣A^(-1)滿足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I為單位矩陣)。若A是奇異陣或長方陣，Ax=b可能無解或有很多解。若有解，則解為x=Xb+(I-XA)у，其中у是維數(shù)

14、與A的列數(shù)相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用A^g、A^-或A^(1)等符號表示，有時簡稱廣義逆。</p><p>　　線性方程組的逆矩陣解法一般只適用于一種特殊情況,即適用于系數(shù)矩陣為方陣的時候，用于一般的線性方程組 ,可以應(yīng)用矩陣的廣義逆來研究并表示 它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達形式更簡潔系統(tǒng)本文探討了線性方程組的廣義逆矩陣解法。</p>

15、;<p>　　對一般的線性方程組 ,可以應(yīng)用矩陣的廣義逆來研究并表示它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達形式更簡潔系統(tǒng)。本文通過運用相關(guān)定理，進行線性方程組的廣義逆矩陣解法和初等矩陣法的對比。這對于我們理解相關(guān)廣義逆矩陣的應(yīng)用會有幫助。</p><p>　　白素英（2010）在《關(guān)于非齊次線性方程組 A x=b兩類解法的對比》一文中給出相容的非齊次線性方程組的兩種不同的解法，即矩陣的初等變

16、換法及廣義逆矩陣法，并證明了兩種方法通解的等價性，通過實例給出了惟一的極小范數(shù)解。對于不相客的非齊次線性方程組，用廣義逆矩陣法由實例給出了惟一的極小范數(shù)最小二乘解。</p><p>　　侯雙根（1992）在《廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣》一文中對廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣給出了一個運算規(guī)則，并且利用它可以簡化求廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣。</p><p>　　伊崇信，戴洪才（1990）

17、在《一種求布爾矩陣全體廣義逆的新算法》一文從布爾矩陣廣義逆的定義出發(fā)，給出一個通過較少運算步驟就能判定一個布爾矩陣是否有廣義逆，以及當有廣義逆時，快速求出其全部廣義逆的算法。</p><p>　　肖桂榮（2002）在《任意矩陣的逆矩陣的刻劃定理及其應(yīng)用》一文中針對矩陣在實際問題中的應(yīng)用，認為它一般不是方陣或不是可逆矩陣的情況，給出并證明了常用的一類廣義逆矩陣---A{1}的刻劃定理及其應(yīng)用。</p>

18、<p>　　周立仁（2010）在《矩陣加權(quán)Moore􀀂Penr ose 逆的通式》一文中討論了矩陣的15 種Moore- Penrose 逆的通式, 同時矩陣的15 種Moore- Pen rose 廣義逆作為其特殊情形而導出。指出在一些科學研究領(lǐng)域, 矩陣廣義逆更是不可缺少的研究工具， 一個矩陣的Penro se 型廣義逆有15 種類。</p><p>　　宋小力（2010）在《A

19、X = B型矩陣方程解集的結(jié)構(gòu)》一文中指出線性矩陣方程是矩陣論中的重要研究方向之一, 其作為處理工具在系統(tǒng)控制等工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用. 給出了AX = B 型矩陣方程有解的另一些充分必要條件, 討論了AX = 0型和AX = B 型矩陣方程解集的結(jié)構(gòu), 并利用矩陣的初等變換給出了AX = B 型矩陣方程通解的具體求解方法.</p><p>　　邵俊倩（2009）在《關(guān)于Moore-Penrose 逆的若干性質(zhì)

20、》一文中給出了Moore-Penrose 逆的定義及Moore-Penrose 逆的幾個特殊性質(zhì)，認為Moore矩陣當中一類更為特殊的廣義逆，也就是Moore- Penrose 逆，不僅在應(yīng)用上特別重要，而且有很多有趣的性質(zhì)。</p><p>　　羅成林（2007）在《求廣義逆矩陣的方法》一文中認為廣義逆矩陣的理論是代數(shù)學中的一個重要方面．在測量學、統(tǒng)計學、經(jīng)濟學以及線性規(guī)劃等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用．為此，本文

21、從廣義逆矩陣的常規(guī)的求法中，總結(jié)出一個簡單易行的求廣義逆矩陣的方法．</p><p>　　賀永會（2009）在《矩陣方程在特定條件下的解》一文中矩陣方程是線性代數(shù)的核心組成部分, 其在各個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。他對這一類矩陣方程進行了研究, 區(qū)別于通常的解法, 利用矩陣的廣義逆矩陣和分塊矩陣對這一類方程進行了簡化計算, 通過對AXB =C進行求解得出了其解存在條件及在特定條件下的解, 并對其進行了推廣, 使其能更廣泛

22、的利用。</p><p>　　王俊青，張麗珍在《斜域中塊反循環(huán)矩陣及其性質(zhì)》一文中進行了關(guān)于矩陣在斜域上的研究,在非交換代數(shù)理論中是一個基本的方面，分塊反循環(huán)矩陣理論被廣泛的應(yīng)用于編碼理論、數(shù)理統(tǒng)計等。分塊反循環(huán)矩陣的概念已經(jīng)被推廣到斜域中去。她們研究了分塊反循環(huán)矩陣及其特性。</p><p>　　Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt（2002）在《關(guān)于柯西托普利茨

23、矩陣和柯西漢克爾矩陣標準形式的界限問題》一文中建立起對于一般的柯西托普利茨矩陣的特殊形式的下限和上限，這兒g=1/k并且h=1.此外他們已經(jīng)得知對于柯西漢克爾矩陣的特殊形式，這兒有g(shù)=1/k并且有h=1.另外，他們已經(jīng)建立了對于阿達瑪?shù)淖髌房挛魍衅绽木仃嚭涂挛鳚h克爾矩陣的歐幾里得形式的上下限。</p><p>　　總結(jié)以上的參考文獻，可以看出國內(nèi)外對于廣義逆矩陣的研究都很是重視，主要由于廣義逆矩陣的作用廣泛。本

24、文將首先從廣義逆矩陣和一般線性方程組的數(shù)學背景入手，闡述論文意義。然后，穿插有關(guān)定理，結(jié)合廣義逆矩陣在矛盾線性方程組的求解方法。然后進行非齊次線性方程組的兩種解法對比，最后補充相關(guān)知識。</p><p><b>　　主要參考文獻：</b></p><p>　　[1]白素英 關(guān)于非齊次線性方程組 A x=b兩類解法的對比 哈爾濱金融高等?？茖W校學報 2010年7月

25、 第3期 </p><p>　　[2]侯雙根 廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣 鄭州工學院學報 1992年6月 第l3卷 第2期 </p><p>　　[3]伊崇信 戴洪才 一種求布爾矩陣全體廣義逆的新算法 齊齊哈爾輕工學院學報 1990年6月 第6卷第2期</p><p>　　[4]周立仁 矩陣加權(quán)MoorePenr ose 逆的通式 青

26、海師范大學學報(自然科學版) 2010年第2期 </p><p>　　[5]宋小力 AX = B型矩陣方程解集的結(jié)構(gòu) 曲阜師范大學學報 2010年7月 第36卷 第3期</p><p>　　[6]邵俊倩 關(guān)于Moore-Penrose 逆的若干性質(zhì) 巢湖學院學報 2009年第 11卷第6期 總第99期</p><p>　　[7]賀永會 矩陣

27、方程 AiX iBi = C在特定條件下的解 山東輕工業(yè)學院學報 2009年11月</p><p>　　[8]郭玲, 付敏, 向慶 線性方程組AX= B的識別反問題及其應(yīng)用 內(nèi)江師范學院學報 第23卷(增)( 2008)</p><p>　　[9]羅成林 求廣義逆矩陣的方法 高師理科學刊 2007年5月 第27卷 第3期 </p><p>　　

28、[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 關(guān)于柯西托普利茨矩陣和柯西漢克爾矩陣標準形式的界限問題 數(shù)學系，藝術(shù)科學學院，賽爾庫克大學 2002年 第132期 633-642頁</p><p>　　[11] 王俊青，張麗珍 斜域中塊反循環(huán)矩陣及其性質(zhì) 數(shù)學系. 天津理工大學. 天津 </p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)

29、計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　關(guān)于非齊次線性方程組Ax=b兩類解法的對比</p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　【摘要】矩陣理論是數(shù)學理論中重要的一環(huán)，它在很多理論與實際運用中都有著廣泛的應(yīng)用。但是任何數(shù)學理

30、論都有自己的適用范圍，超過一定范圍，她它便不再適用。矩陣理論也不例外，傳統(tǒng)的矩陣理論在解決一些問題時不再適用，所以需要提出一些矩陣的新理論。廣義逆矩陣就是對矩陣的補充，我們在解決線性方程組時，可以用廣義逆矩陣法去解決常規(guī)方法所不能解決的問題，這樣，我們能夠解決的問題范圍就能被拓寬。本文對兩種方法進行一些簡單的比較，進行一些簡單的總結(jié)</p><p>　　【關(guān)鍵詞】矩陣理論；線性方程組；廣義逆矩陣</p>

31、;<p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Matrix theory is an important mathematical theory of link, its theoretical and practical application in a lot in a wide range of applications. But

32、 any mathematical theory has its own applicable scope, exceed a certain range, she it ceases to apply. Matrix theory is not exceptional also, traditional matrix theory in solving some problems no longer apply, so need to

33、 put some matrix new theory. The generalized inverse matrix of matrix is in solving equations, we added, can use the general</p><p>　　【KEYWORDS】Matrix theory; Linear equations; Generalized inverse matrix<

34、/p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要8</b></p><p>　　Abstract9</p><p><b>　　目　錄10</b></p><p><b>　　1 引言11</b>&l

35、t;/p><p>　　2 廣義逆矩陣的相關(guān)說明11</p><p>　　2.1 （1）g—逆：11</p><p>　　2.2 M-P逆矩陣的性質(zhì)及其證明14</p><p>　　3 齊次線性方程組Ax=0的矩陣變換法求解16</p><p>　　4 非齊次線性方程組Ax=b的矩陣變換法16</p>

36、<p>　　4.1 Kronecker定理(線性方程組有解判別定理)16</p><p>　　4.2 Kronecker定理的證明17</p><p>　　4.3 Kronecker定理的應(yīng)用18</p><p>　　5 非齊次線性方程組的廣義逆矩陣法21</p><p>　　5.1 Penrose定理21</p&

37、gt;<p>　　5.2 廣義逆與最小二乘解21</p><p>　　5.3 Penrose定理的應(yīng)用22</p><p>　　6 兩種解法的比較24</p><p>　　6.1 相容性線性方程組24</p><p>　　6.1.1 用初等行變換解相容性線性方程組24</p><p>　　6.1

38、.2 用廣義逆矩陣法解相容性線性方程組24</p><p>　　6.2 矛盾線性方程組26</p><p>　　6.2.1 用初等行變換解矛盾線性方程組26</p><p>　　6.2.2 用廣義逆矩陣法解矛盾線性方程組26</p><p><b>　　6.3 小結(jié)27</b></p><p

39、><b>　　7 補充28</b></p><p>　　7.1 廣義逆矩陣的相關(guān)求法28</p><p>　　7.2 布爾矩陣的廣義逆矩陣的計算30</p><p><b>　　7.3 態(tài)射30</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p&g

40、t;　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　矩陣在數(shù)學理論與應(yīng)用中占有重要地位。在數(shù)學上，矩陣是縱橫排列的數(shù)據(jù)表格，最早來自于方程組的系數(shù)或相關(guān)常數(shù)所構(gòu)成的方陣。矩陣這一概念最初是由19世紀英國數(shù)學家凱利提出。矩陣概念在生產(chǎn)實踐中有很多應(yīng)用，比如矩陣圖法以及計算機存儲系統(tǒng)中的矩陣卡系統(tǒng)等等。隨著計算機的日益普及，對運

41、算能力的要求越來越高，這些都離不開矩陣理論的發(fā)展。</p><p>　　我們從解決非齊次線性方程組的問題入手，我們都知道解非齊次線性方程組有矩陣變換法，可是當我們面對的是無解的方程組時，傳統(tǒng)矩陣理論走進了死胡同，這就需要引入新的矩陣理論。廣義逆矩陣概念的引出就水到渠成。由于在實際應(yīng)用中，我們不可能遇到無解的方程組就不去解決，而廣義逆矩陣法可以求出方程組的最小二乘解，把誤差在一定的范圍內(nèi)相對最小化，這在實際應(yīng)用中是

42、很重要的。正如我們都知道對于實數(shù)的平方都大于等于零，但是對于有些實際遇到的一元二次方程組在實數(shù)域中是無解的，所以需要創(chuàng)立復數(shù)理論一樣。廣義逆矩陣理論是對矩陣理論的有效補充，它有著自己的定義方式、相關(guān)性質(zhì)定理及其一些應(yīng)用。本文就是從這一角度去對廣義逆矩陣理論作一番梳理，形成系統(tǒng)的認識。 </p><p>　　廣義逆矩陣是對逆矩陣的推廣。若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為，其中A的逆矩陣滿足(為單位矩陣

43、)。若A是奇異陣或長方陣，Ax=b可能無解或有很多解。若有解，則解為，其中是維數(shù)與A的列數(shù)相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用、或等符號表示，有時簡稱廣義逆。</p><p>　　線性方程組的逆矩陣解法一般只適用于一種特殊情況,即適用于系數(shù)矩陣為方陣的時候，用于一般的線性方程組 ,可以應(yīng)用矩陣的廣義逆來研究并表示 它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達形式更簡潔系

44、統(tǒng)。</p><p>　　廣義逆矩陣的相關(guān)說明</p><p><b>　　（1）g—逆：</b></p><p>　　對于每一個非異的n階矩陣A，必存在逆矩陣，并且它們之間有如下關(guān)系：，逆矩陣是唯一的。n個未知數(shù)n個方程的非齊次線性方程組Ax=b，當A非異時，其唯一解可由逆矩陣表示為。</p><p>　　當系數(shù)矩陣A

45、為任意矩陣時，非齊次線性方程組Ax=b的解是否也可以通過一個與A以某種恰當?shù)年P(guān)系相伴的矩陣表示出來呢？下面有定理1肯定地回答了這個問題。</p><p>　　定理1 設(shè)，Ax=b是相容的（即該方程組有解），那么，x=Xb是Ax=b的一個解的充要條件是其中的X使得AXA=A成立。</p><p>　　證：令為A的任一列，當然是相容的。如果就是的一個解，則。讓j跑遍1,2...，n，即得AX

46、A=A。反之，Ax=b相容，必存在，使得。因AXA=A，故，也就是b=A(Xb)?？梢?，x=Xb是Ax=b的一個解。</p><p>　　那么對于一般線性方程組Ax=b來說，滿足矩陣方程AXA=A的矩陣，正起著A非異時所能起到的類似的作用。因此，這個矩陣方程的解叫做A的“廣義逆”,記為</p><p>　　定義1 對任意矩陣A而言，凡滿足矩陣方程AXA=A的矩陣X，都稱為A的廣義逆，記為或

47、，簡稱g-逆。</p><p>　　定義 設(shè)，矩陣A的一個廣義逆是滿足以下條件的矩陣X：對于任何使Ax=b相容的b而言總是Ax=b的一個解。</p><p>　　Ax=b是相容的（即非齊次線性方程組有解）充要條件是對某個有成立，其一般解為，其中y為任意n維列向量。這里的逆叫做Cayley逆。</p><p>　　現(xiàn)在，給出任意矩陣的g—逆的具體結(jié)構(gòu)。</p&g

48、t;<p>　　先看一個特殊情形，若，且形如下形式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則只要取矩陣S有下式成立</p><p>　　，其中是任意的，就有RSR=R。</p><p>　　而任意一個秩為r的矩陣，都可通過適當?shù)某醯刃凶儞Q和列的置換化為行階梯型：

49、 </p><p>　　這就是說，存在適當?shù)某醯染仃嘐和置換矩陣P，會使下式成立：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　因而有下式成立：</b></p><p><b>　　，</b></p><p&g

50、t;　　將A進行分解以后，容易得到下式成立：</p><p>　　這樣它就滿足AXA=A，其中L是任意一個矩陣。</p><p>　　有以上的推理知，任意矩陣A的g—逆都存在，而且一般不是唯一的。當且僅當A非異時，g—逆才是唯一的，就是Cayley逆。由于P和E均是非異的，因此有下式成立：</p><p><b>　　。</b></p&g

51、t;<p>　　Moore—Penrose逆</p><p>　　E.H.Moore和R.Penrose先后證明了對于每個有限維的矩陣A，存在滿足如下四個方程的一個相伴陣：</p><p><b>　　(1)AXA=A;</b></p><p><b>　　(2)XAX=X;</b></p>&

52、lt;p>　　(3)(AX)*=AX;</p><p>　　(4)(XA)*=XA</p><p>　　以這樣的更多的聯(lián)系與A相伴的X，其條件是比一般g-逆更強的一種廣義逆，成為Moore—Penrose逆，記為或，它是的特殊情況。</p><p>　　在一般的非齊次線性方程組的求解時，只要用到g—逆就可以了，但是任何數(shù)學理論都有其局限性，對于另外的目的，單靠

53、AXA=A往往并不足以揭露問題的實質(zhì)，這與我們的初衷相悖，所以需要補加更多的關(guān)系。這時候前面的Moore—Penrose逆就是必要的了。</p><p>　　對于Moore—Penrose逆來說，有如下定理成立：</p><p>　　定理2 設(shè)A=FG滿秩分解（即F和G與矩陣A有相同的秩），則（廣義逆的求法）</p><p>　　證：因，而秩=秩F=r，秩=秩G=

54、r，所以都是滿秩的。因而非異。容易驗證滿足方程（1）—（4）。</p><p>　　由上述證明得知，除r=0外，任意都有Moore—Penrose逆存在，這對于我們的問題解決是有很大好處的。不僅如此，隨著實際問題和理論研究上的需要，人們還突破（1）—（4）這幾個方程的局限，補加或提出一些別的關(guān)系，建立了更多種類型的廣義逆，例如，若人們關(guān)心的是譜的性質(zhì)，即關(guān)于矩陣特殊值和特殊向量的那些性質(zhì)，那么，我們只需要考察方陣

55、即可。</p><p>　　可見，與非奇異情形不同，無論如何都只有一種逆矩陣，而且是唯一的。在廣義逆的意義下，由于不同的目的，我們可有不同類型的逆矩陣。它們與A以各種不同的方式聯(lián)系著。這種種聯(lián)系，就形成了對于形形色色的廣義逆的研究，就形成了“廣義逆矩陣”這樣一個內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛的新科目。</p><p>　　M-P逆矩陣的性質(zhì)及其證明</p><p>　　性質(zhì)1

56、 任何秩為r的矩陣A，它的M-P廣義逆矩陣存在且唯一。</p><p>　　證明：若R（A）=0，則A為零矩陣，顯然，這個零矩陣滿足M-P廣義逆矩陣定義中的所有四個條件。</p><p>　　若，對A做滿秩的分解：A=GH，其中G與H分別是數(shù)域F上的，并且秩為R的和矩陣，容易得出與均是R階非奇異方陣，且和分別是G和H的M-P廣義逆。令，經(jīng)過計算可以證明，B是滿足廣義逆矩陣的定義所有四個條

57、件的。所以B是A的M-P廣義逆矩陣。</p><p>　　接下去我們需要證明唯一性：不妨設(shè)C是A的另一個M-P廣義逆矩陣，由于B是廣義逆矩陣，</p><p><b>　　所以有上式成立。</b></p><p>　　由此得知，B=C，從而M-P廣義逆的唯一性得證。</p><p>　　性質(zhì)2 對于任意的秩為R的矩陣A

58、，都有以下結(jié)論成立：</p><p>　　如果A為可逆矩陣，則有</p><p>　　證明：根據(jù)A的M-P廣義逆矩陣定義都：成立，上述結(jié)論的成立可以根據(jù)相關(guān)定義容易推證。</p><p>　　齊次線性方程組Ax=0的矩陣變換法求解</p><p>　　前面我們對矩陣的相關(guān)理論進行了簡單的介紹，我們也都知道了矩陣在很多方面都有較為廣泛的應(yīng)用。我

59、們在這兒從齊次線性方程組Ax=0的求解問題入手，從而加深對于問題實質(zhì)的理解，了解下矩陣理論在求解方程的獨特作用。我們知道線性方程組在很多領(lǐng)域都有用處，與理論研究和生產(chǎn)實踐都有很大關(guān)聯(lián)。我們先舉個例子來說明矩陣在求解齊次線性方程組的作用。</p><p>　　例 求齊次線性方程組</p><p><b>　　的所有解。</b></p><p>

60、　　解：我們在這兒令該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，則接下去我們用矩陣的行變換法進行求解，我們有下面推理：該齊次方程組的系數(shù)矩陣</p><p>　　根據(jù)線性代數(shù)知識，我們知道矩陣A的秩等于2，所以該線性方程組的基礎(chǔ)解系有2個自由向量。不妨取兩個向量作為自由向量，所以我們得知它的基礎(chǔ)解系為</p><p><b>　　。</b></p><p>

61、;　　因為對于該齊次線性方程組而言，它的所有解為</p><p>　　小結(jié)：從上述例中，我們可以看出矩陣初等變換法在求解齊次線性方程組時較為簡便，形式簡單易懂，是一種應(yīng)用廣泛的求解方法。</p><p>　　非齊次線性方程組Ax=b的矩陣變換法</p><p>　　Kronecker定理(線性方程組有解判別定理)</p><p>　　設(shè)非齊次

62、線性方程組Ax=b為</p><p><b>　　引入向量</b></p><p><b>　　，，.....，</b></p><p>　　于是線性方程組可以改寫成向量方程。</p><p>　　顯然，線性方程組有解的充分必要條件為向量可以表成向量組的線性組合。用秩的概念，方程組有解的條件可以敘述

63、如下：它的系數(shù)矩陣</p><p><b>　　與增廣矩陣</b></p><p><b>　　有相同的秩。</b></p><p>　　Kronecker定理的證明</p><p>　　證明：先證必要性，設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，就是說，可以通過向量組線性表出。由此立即推出，向量組與向量組等

64、價，由于兩向量組等價的充要條件是兩者有相同的秩，所以上述兩向量組有相同的秩。這兩個向量組分別是矩陣A與的列向量組。因此，矩陣A與有相同的秩。</p><p>　　再證充分性。設(shè)矩陣A與有相同的秩，就是說，它們的列向量組與有相同的秩，令它們的秩為r，中的極大線性無關(guān)組是由r個向量組成，無妨設(shè)是它的一個極大線性無關(guān)組。顯然也是向量組的一個極大線性無關(guān)組，因此向量可以通過線性表出。既然可以經(jīng)線性表出，當然它可以經(jīng)線性表

65、出。因此，非齊次方程組Ax=b有解。 </p><p>　　Kronecker定理的應(yīng)用</p><p>　　Kronecker定理為我們求解非齊次線性方程組Ax=b提供了一種方法，用該定理能夠迅速地判定一個方程組是否有解。如下面幾個例子：</p><p>　　例1 求解非齊次線性方程組</p><p>　　解：對該方程組對應(yīng)的齊次方程組進

66、行初等行變換，即</p><p>　　所以得到R（A）=2</p><p>　　對增廣矩陣B施行初等行變換，</p><p>　　所以得到R(B)=3</p><p>　　因為，所以根據(jù)Kronecker定理，該非齊次線性方程組無解。</p><p><b>　　例2</b></p>

67、<p>　　設(shè)一個非齊次線性方程組有如下形式：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　求該線性方程組系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B的秩，并求增廣矩陣B的一個最高階非零子式。</p><p>　　解：先求系數(shù)矩陣A的秩，為此對A作初等行變換變成行階梯型矩陣：</p><p>　　因為行階梯型矩陣有

68、3個非零行，所以R(A)=3</p><p>　　再求增廣矩陣B的秩，為此對B作出等行變換成行階梯型矩陣：</p><p>　　因為行階梯型矩陣有3個非零行，所以R(B)=3。由于R(A)=R(B)=3，所以該非齊次線性方程組有解。</p><p>　　再求增廣矩陣B的一個最高階非零子式，因為R(B)=3，知B的最高階非零子式為3階。B的3階子式共有個，要從40個子

69、式中找出一個非零子式，是比較麻煩的?？疾霣的行階梯型矩陣，記，則矩陣的行階梯型矩陣為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由上面知R()=3，故中必有3階非零子式。的3階子式有4個，在的4個3階子式中找一個非零子式比在B中找非零子式較方便。今計算的前三行構(gòu)成的子式。</p><p>　　因此這個子式便是B的一個最高階非零

70、子式。</p><p>　　例3 求解下列方程組</p><p>　　解：對于該線性方程組進行初等行變換，對增廣矩陣B進行初等行變換： </p><p>　　可以看出R(A)=R(B)=2，所以根據(jù)上述Kronecker定理，知該方程組有解，其中A是方程組的系數(shù)矩陣。</p><p><b>　　接下去我們還能得到</b&g

71、t;</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取則有 。</b></p><p>　　所以就能得到方程組的一個解 </p><p><b>　　。</b></p><p>　　在對應(yīng)的齊次線性方程組</p>&l

72、t;p><b>　　中，</b></p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則可以得出 </b></p><p><b>　　。</b></p>

73、<p>　　即得所對應(yīng)的其次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 </p><p>　　接下去我們可以得到通解為 </p><p>　　小結(jié)：在我們?nèi)粘W習中，遇到最多的是線性方程組，包括齊次線性和非齊次線性兩種，上述的矩陣變換法是一種通法。對于非齊次線性方程組而言，在求解過程中只需對系數(shù)矩陣和增廣矩陣進行初等行變換和列變換，然后根據(jù) Kronecker定理比較兩者的秩，如果相等，則方程組

74、有解；如果不相等，則方程組無解。 </p><p>　　非齊次線性方程組的廣義逆矩陣法</p><p><b>　　Penrose定理</b></p><p&

75、gt;　　非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為，這里表示矩陣A的Moore—Penrose廣義逆。</p><p><b>　　廣義逆與最小二乘解</b></p><p>　　現(xiàn)在，為了下文的容易闡述，這兒說明一下廣義逆表出的最小二乘解。</p><p>　　設(shè)，很多時候，線性方程組Ax=b是無解的，換句話說，對一切，殘差向量r=b—A

76、x都是非零的，這時，我們需要努力地尋求Ax=b的某種近似解，即尋求一個x，它能夠使殘差向量在一定情況下“最接近于”零。最常用的近似解是使該殘差向量的歐幾里得范數(shù)最小，即所謂的最小二乘解。</p><p>　　定義：若向量，使得取最小值，則稱x為Ax=b的最小二乘解。</p><p>　　定理：設(shè)，則為Ax=b的一個最小二乘解，這里為A的任意一個{1,3}—逆。</p><

77、;p>　　Penrose定理的應(yīng)用</p><p>　　例：求解下列線性方程組</p><p>　　解：下面我們用廣義逆矩陣法進行求解，對于該方程組的系數(shù)矩陣，我們可以得到</p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　接下去我們可以得到</b></p>

78、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　根據(jù)Penrose定理我們就可以知道，這個方程組無解，是矛盾方程組。</p><p>　　小結(jié)：畢竟特殊情況是少數(shù)，在日常應(yīng)用中，我們更多的時候遇到的是非齊次線性方程組無解時的狀況，這時候矩陣變換法不再適用，所以我們需要

79、創(chuàng)立新的數(shù)學理論以解決這一問題。無解的時候我們需要進行近似計算，以獲得最小二乘解，這樣的話，就能使誤差盡可能地小。廣義逆矩陣和最小二乘解是對矩陣理論的進一步補充，讓我們在面對新的問題時多了一個有力的數(shù)學工具。</p><p><b>　　兩種解法的比較</b></p><p>　　每一個非齊次線性方程組Ax=b（），由前面的Kronecker定理知：該線性方程組有解的

80、充分必要條件是它的系數(shù)矩陣和對應(yīng)的增廣矩陣有相同的秩，這兒的秩可以通過初等行變換或列變換得出，如果它有解，則稱之為相容線性方程組：反之，則稱之為不相容線性方程組或矛盾線性方程組。對于前者，我們主要有兩種有效的方法進行求解，即矩陣的初等變換法和廣義逆矩陣法，雖然具體形式不太一樣，但是實質(zhì)和最終結(jié)果是等價的，有著異曲同工之妙。而對于矛盾線性方程組第一種方法無能為力，但是廣義逆矩陣法卻有巨大的作用。</p><p>&

81、lt;b>　　相容性線性方程組</b></p><p>　　對于任意一個非齊次線性方程組，如果它有解，則稱它為相容性線性方程組。即對于Ax=b，有</p><p>　　用初等行變換解相容性線性方程組</p><p>　　例：求解下列非齊次線性方程組</p><p><b>　　。</b></p&g

82、t;<p>　　解：由于該非齊次線性方程組是否有解無法直接判斷，所以先用矩陣的初等行變換法來判斷。它的增廣矩陣為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由Kronecker定理知，該方程組的系數(shù)矩陣和對應(yīng)的增廣矩陣的秩相等，所以該線性方程組為相容線性方程組，可以得出上述非齊次線性方程組的通解為（其中為任意常數(shù)）</p>

83、<p>　　用廣義逆矩陣法解相容性線性方程組</p><p>　　同樣是上面的例子：求解非齊次線性方程組</p><p>　　下面我們用廣義逆矩陣法進行求解，雖然方法相對繁瑣些，但只是為了進行簡單的比較，所以只能這樣。</p><p>　　解：對于這個線性方程組，它的系數(shù)矩陣為</p><p>　　很容易就可以看出，它的秩等于2，

84、所以A是行滿秩矩陣，通過簡單的計算就可以得到它的廣義逆矩陣</p><p><b>　　由于，</b></p><p>　　可以看出Ax=b為相容性線性方程組。它的通解為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由前面的廣義逆矩陣和最小二乘解的相關(guān)知識可以知道：最小范數(shù)解的歐幾里

85、得范數(shù)，顯然這是它的最小二乘解。</p><p>　　定理3：對于相容性線性方程組Ax=b，矩陣的初等變換法（行變換或列變換）所求的通解與廣義逆矩陣所求的通解是等價的。</p><p>　　證明：因為，所以由線性代數(shù)相關(guān)知識可以知道，矩陣的列向量是齊次線性方程組Ax=0的解。</p><p>　　另外因為，由Sylvester不等式我們知道，又因為矩陣的秩加上矩陣的

86、秩大于等于矩陣的秩（n）。所以有。因為，所以。</p><p>　　這說明矩陣的列向量與Ax=0基礎(chǔ)解系等價，從而可以看出矩陣的初等變換法所求的通解與廣義逆矩陣求的通解是等價的。</p><p><b>　　矛盾線性方程組</b></p><p>　　對于任意一個非齊次線性方程組，如果它無解，則稱它為矛盾線性方程組。即對于Ax=b，有</

87、p><p>　　用初等行變換解矛盾線性方程組</p><p>　　在這里，我們?nèi)匀徊捎门e例的方法進行說明。</p><p>　　例：求解下列非齊次線性方程組</p><p>　　解：我們先用初等行變換進行求解，對該非齊次線性方程組而言，有系數(shù)矩陣A的秩等于1，而它的增廣矩陣等于2。根據(jù)Kronecker定理，由于兩者不相等，所以該線性方程組為矛盾

88、方程組，而用傳統(tǒng)的初等行變換無法求解。</p><p>　　用廣義逆矩陣法解矛盾線性方程組</p><p>　　同樣是上面的例子：求解非齊次線性方程組</p><p>　　解：下面我們用廣義逆矩陣法進行求解，對于該方程組的系數(shù)矩陣，我們可以得到</p><p><b>　　所以有</b></p><p

89、><b>　　接下去我們可以得到</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　這樣我們就可以知道，這個方程組是矛盾方程組，只能求出其最小二乘解。最小二乘解的通式為</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　其中

90、，</b></p><p>　　為該矛盾線性方程組唯一的最小二乘解，它的范數(shù)值是極小的。</p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　任何數(shù)學理論都有自己的使用范圍，都有著自己的局限性，對于我們經(jīng)常使用矩陣理論也不會例外。對于非齊次線性方程組而言，常規(guī)的矩陣初等變換法在有解的時候是有效的，可是到了無解的情況時就無能

91、為力了。所以廣義逆矩陣法應(yīng)允而生，相比較而言，廣義逆矩陣法要比初等變換法更深刻，特別是對于矛盾線性方程組Ax=b，無效的后果根是無法與前者相比。</p><p><b>　　補充</b></p><p>　　廣義逆矩陣的相關(guān)求法</p><p>　　廣義逆矩陣概念是傳統(tǒng)的數(shù)學教科書上沒有涉及的新內(nèi)容，廣義逆矩陣在很多領(lǐng)域中有著重要的作用，例如在

92、測量學、統(tǒng)計學、經(jīng)濟學及線性規(guī)劃等領(lǐng)域就有較為廣泛的應(yīng)用。對與廣義逆矩陣而言，其基本理論還在不斷優(yōu)化中，以后的應(yīng)用必將越來越廣。為此，我們需要簡單補充說明廣義逆矩陣的簡易求法。</p><p>　　廣義逆矩陣的計算方法一般有初等變換法和滿秩分解法。下面給出具體的行和列的初等變換求廣義逆矩陣的方法。</p><p>　　設(shè)矩陣A是矩陣，它的秩等于r且等于m，但同時也小于n（這時候稱A為行滿秩

93、），對A進行行和列的初等變換總可以將A變?yōu)槿缦路謮K矩陣。</p><p>　　當它的秩等于r且等于n小于m（這時候稱A為列滿秩），對A進行行和列的初等變換總可以將A變成如下的分塊矩陣</p><p>　　如果有該矩陣的秩等于r且小于m和n中較小的一個（這時候稱A為虧秩矩陣）時，對A進行行和列的初等變換總可以將A變成如下的分塊形式</p><p>　　其中是階滿秩矩陣

94、，，是具有適當階數(shù)的矩陣，并且它們滿足，即有下式成立：。這里P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積。所以我們可以得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而矩陣就是的廣義逆矩陣。</p><p>　　如果我們設(shè)矩陣是對矩陣A進行的一系列的行初等變換；是對矩陣A進行的一系列的列初等變換。則接下去我們可以得到

95、：</p><p>　　很顯然，，，這就是把同樣的行初等變換施加于E的結(jié)果是P，把同樣的列出等變換施加于E的結(jié)果便是Q。其中，是階滿秩矩陣，，是具有適當階數(shù)的矩陣且滿足，所以我們有，仍然和上面一樣，P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積。</p><p>　　當矩陣A為滿秩矩陣是有成立的，即它的廣義逆矩陣就是普通的逆矩陣。下面舉一個例子進行說明：</p>&l

96、t;p><b>　　例：設(shè)</b></p><p><b>　　，求A的廣義逆矩陣</b></p><p>　　解：容易求出該矩陣的秩等于2</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　從而我們可以得出矩陣A的某一個廣義逆矩陣為</p>&

97、lt;p>　　在這兒需要指出的是，上述方法對于求長方形虧秩矩陣的廣義逆矩陣非常方便，實際計算時，有些矩陣只需要進行行初等變換或列初等變換就可以將其變成滿秩矩陣，這使得運算更為簡便。</p><p>　　布爾矩陣的廣義逆矩陣的計算</p><p>　　隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，二進制已經(jīng)被大家普遍接受了，二進制中只有0和1兩個元素。布爾矩陣應(yīng)運而生，布爾矩陣就是一個矩陣中只有0和1兩個

98、元素。對于這類矩陣，我們這兒簡單說明下計算它們的廣義逆矩陣時所需要的知識。</p><p>　　首先，設(shè)，如果存在一個矩陣，使得下式成立：ABA=A，則稱為A是正則的，同時稱矩陣B是矩陣A的一個廣義逆矩陣。</p><p>　　然后，設(shè)，矩陣G是矩陣A的一個廣義逆矩陣，如果對于矩陣A的任意廣義逆矩陣B，均滿足，則稱矩陣G是矩陣A的最大廣義逆矩陣。</p><p>　

99、　這兒補充一個定理：設(shè)，矩陣A為正則矩陣的充分必要條件是，這時候，矩陣是矩陣A的最大廣義逆矩陣。證明較為繁瑣，這兒略去。</p><p><b>　　態(tài)射</b></p><p>　　我們都知道，在歐幾里得空間中矩陣的變換是一種關(guān)系變換，矩陣的變換可以使事物之間發(fā)生聯(lián)系。我們在這兒補充一下有關(guān)態(tài)射的知識。在數(shù)學理論上，一個態(tài)射是兩個數(shù)學結(jié)構(gòu)之間保持結(jié)構(gòu)的過程的一種抽象

100、。最常見的這種態(tài)射過程的例子是在某種意義上保持結(jié)構(gòu)的函數(shù)或映射。在集合論知識中，例如，態(tài)射就是函數(shù)；在群輪中，它們就是群同態(tài)；而在拓撲學上，它們是連續(xù)函數(shù)；在泛代數(shù)的范圍內(nèi)，態(tài)射通常就是同態(tài)。態(tài)射的引申會對我們理解矩陣結(jié)構(gòu)關(guān)系有幫助，近世代數(shù)中群的知識就讓我們對同態(tài)加深了印象。對于態(tài)射和它們定義于其間的結(jié)構(gòu)（或?qū)ο螅┑某橄蟮难芯烤蜆?gòu)成了范疇論的一部分。在范疇論中，態(tài)射不必是函數(shù)，而通常被視為兩個對象間的箭頭，有時候這兩個對象不必是集合。

101、不像映射一個集合的元素到另外一個集合，態(tài)射只是用來表示域和陪域間的某種關(guān)系。這樣的話，態(tài)射就比通過矩陣變換聯(lián)系起來的關(guān)系更為廣泛和一般了。盡管態(tài)射的本質(zhì)看起來很抽象，多數(shù)人無法正確理解，理解基本都是通過具體范疇的例子。不過這些并不會影響態(tài)射的應(yīng)用。</p><p>　　這兒補充態(tài)射的一些最基本知識，只是因為它與廣義逆矩陣有些聯(lián)系，能夠更為深入了解廣義逆矩陣而已，并沒有刻意而為。</p><p&

102、gt;<b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]白素英 關(guān)于非齊次線性方程組 Ax=b兩類解法的對比 哈爾濱金融高等?？茖W校學報 2010年7月 第3期 </p><p>　　[2]侯雙根 廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣 鄭州工學院學報 1992年6月 第l3卷 第2期 </p><p>　　[3]伊崇信 戴洪才

103、 一種求布爾矩陣全體廣義逆的新算法 齊齊哈爾輕工學院學報 1990年6月 第6卷第2期</p><p>　　[4]周立仁 矩陣加權(quán)Moore--Penrose 逆的通式 青海師范大學學報(自然科學版) 2010年第2期 </p><p>　　[5]宋小力 AX = B型矩陣方程解集的結(jié)構(gòu) 曲阜師范大學學報 2010年7月 第36卷 第3期</p>

104、<p>　　[6]邵俊倩 關(guān)于Moore-Penrose 逆的若干性質(zhì) 巢湖學院學報 2009年第 11卷第6期 總第99期</p><p>　　[7]賀永會 矩陣方程 AiXiBi = C在特定條件下的解 山東輕工業(yè)學院學報 2009年11月</p><p>　　[8]郭玲 付敏 向慶 線性方程組AX= B的識別反問題及其應(yīng)用 內(nèi)江師范學院學報 第23

105、卷(增)(2008)</p><p>　　[9]羅成林 求廣義逆矩陣的方法 高師理科學刊 2007年5月 第27卷 第3期 </p><p>　　[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 關(guān)于柯西托普利茨矩陣和柯西漢克爾矩陣標準形式的界限問題 數(shù)學系，藝術(shù)科學學院，賽爾庫克大學 2002年 第132期 </p><p