畢業(yè)論文--均勻分布的應(yīng)用及推廣

1、<p>　本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）</p><p>　均勻分布的應(yīng)用及推廣</p><p>　二級學(xué)院：</p><p>　專 業(yè)：</p><p>　年 級：</p><p>　學(xué) 號：</p><p>　作者姓名：</p><p>　指導(dǎo)教師

2、：</p><p>　完成日期：2013年5月6日</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　引言：2</b></p><p><b>　　1 均勻分布3</b></p><p>　　1.1 一元均勻分布3</p

3、><p>　　１.2 二元均勻分布3</p><p>　　2 均勻分布的推廣6</p><p>　　3 均勻分布的運(yùn)用7</p><p>　　3.1 在舍入誤差中的應(yīng)用7</p><p>　　3.2 蒙特卡羅方法的依據(jù)7</p><p>　　3.3 均勻分布負(fù)荷在供電計(jì)算中的運(yùn)用

4、7</p><p>　　3.31 使用原理8</p><p>　　3.4均勻分布運(yùn)用于橢圓形區(qū)域隨機(jī)點(diǎn)生成8</p><p>　　3.5均勻分布運(yùn)用于長方體區(qū)域上隨機(jī)點(diǎn)生成9</p><p><b>　　結(jié)語：10</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：11</b

5、></p><p>　　均勻分布的運(yùn)用及推廣</p><p>　　摘 要：本文研究了一維和二維均勻分布, 并以此為依據(jù)將均勻分布推廣到維,還介紹了均勻分布在現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)中的應(yīng)用．用均勻隨機(jī)數(shù)生成其它隨機(jī)數(shù)，分別建立并證明了橢圓區(qū)域和長方體區(qū)域上均勻分布隨機(jī)點(diǎn)生成的定理，除此之外，還應(yīng)用均勻分布負(fù)荷進(jìn)行供電系統(tǒng)計(jì)算．</p><p>　　關(guān)鍵詞：均勻分布；隨機(jī)數(shù)

6、；運(yùn)用；推廣</p><p>　　Application and promotion of the uniform distribution</p><p>　　Abstract:In this paper we study one-dimensional and two-dimensional uniform distribution ,and dimensional is promot

7、ed based on it, and we also introduce applications of the uniform distribution in modern computing technology ,generates other random numbers with uniform random number. The related theorem on the generation of sto

8、chastic points uniformly distributed on the elliptic region and the cuboid region is presented and proved respectively . Besides, it makes the calculation of powe</p><p>　　Key words:uniform distribution;

9、random number ;application ;promotion</p><p><b>　　引言：</b></p><p>　　在一般的概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中, 都會涉及到均勻分布．遺憾的是, 多數(shù)教材對該知識點(diǎn)的探討都點(diǎn)到為止．同時(shí), 教材中所涉及到的應(yīng)用又都過于單調(diào)．據(jù)此, 本文擬對由均勻分布得到的結(jié)論作更深入的探討，隨著社會的飛速發(fā)展，利用數(shù)學(xué)方法，定

10、量的對問題進(jìn)行相關(guān)分析已經(jīng)成為趨勢，這樣使其結(jié)論更具有可信度，因此，均勻分布的應(yīng)用及其推廣在其中就顯示出了極其重要的作用，是必不可少的一個(gè)分析與計(jì)算方法．本文詳細(xì)介紹了均勻分布的推廣及其在現(xiàn)代科技、橢圓形區(qū)域和長方形區(qū)域隨機(jī)點(diǎn)生成以及在供電計(jì)算中的運(yùn)用，可以看到均勻分布在解決實(shí)際問題時(shí)給我們帶來很大的方便,而均勻分布的推廣形式也進(jìn)一步拓展它的使用范圍, 成為我們解決更為復(fù)雜問題的有效工具．</p><p><

11、;b>　　1 均勻分布</b></p><p>　　1.1 一元均勻分布</p><p>　　若連續(xù)性隨機(jī)變量具有概率密度</p><p>　　…………………(1)</p><p>　　則稱在區(qū)間上服從均勻分布，記為，易知，且</p><p><b>　　由(1)可得</b>&

12、lt;/p><p><b>　　若，則</b></p><p>　　１.2 二元均勻分布</p><p>　　設(shè)的面積滿足,二維隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為</p><p>　　則稱遵從上均勻分布,記為．</p><p>　　定理1 若隨機(jī)變量服從 上的均勻分布, 則隨機(jī)變量 仍服從均勻分布．<

13、/p><p>　　定理2 二維隨機(jī)變量服從 上的均勻分布的充要條件是服從 上的均勻分布, 服從 上的均勻分布,并且與 獨(dú)立． </p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　充分性證明：</b></p><p>　　因?yàn)楣实煤偷拿芏群瘮?shù)分別為</p><p&

14、gt;　　又因?yàn)榕c相互獨(dú)立，故得和的聯(lián)合密度為</p><p>　　所以服從 上的均勻分布．</p><p><b>　　必要性證明：</b></p><p>　　服從矩形區(qū)域內(nèi)均勻分布，則關(guān)于和的邊緣密度分別為和，</p><p>　　可見．所以和相互獨(dú)立，且</p><p><b>

15、　　證明完畢．</b></p><p>　　例1：在[0,1]中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，其積不小于3/16，其和不大于1 的概率．</p><p>　　解：設(shè)所取的兩個(gè)數(shù)分別是隨機(jī)變量X,Y ，對于二維均勻分布的隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為</p><p>　　設(shè)事件A={兩個(gè)數(shù)其積不小于3/16，其和不大于1}，如圖1</p><p&

16、gt;<b>　　圖1</b></p><p>　　注：有些題目可以用二維均勻分布，也可用幾何概型來求概率，但是相比之下，利用二維均勻分布來思考和計(jì)算就顯得簡單多了．</p><p>　　定理3 若隨機(jī)變量服從上的均勻分布, 隨機(jī)變量服從上的均勻分布,則不服從均勻分布．</p><p>　　例2 如圖1, 在區(qū)間中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù), 求兩數(shù)之和

17、小于的概率．</p><p>　　解法1（錯(cuò)誤解法）: 設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，事件兩數(shù)之和小于</p><p><b>　　則</b></p><p>　　解法2：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，事件兩數(shù)之和小于</p><p>　　事件A對應(yīng)的區(qū)域?yàn)椋?lt;/p><p><b>　　所以</b><

18、;/p><p>　　注: 根據(jù)定理3, 雖然均服從均勻分布, 但不服從均勻分布, “等可能性”不滿足, 因此, 解法1是錯(cuò)誤的； 根據(jù)定理2, 二維隨機(jī)變量 服從 均勻分布, 所以解法2是正確的．</p><p>　　2 均勻分布的推廣——多維區(qū)域上的均勻分布</p><p>　　對維歐氏空間，設(shè)是可測集合，且是維測度，是維隨機(jī)點(diǎn)，如果對任意可測集合，滿足 </

19、p><p>　　則稱服從上的均勻分布，記作.</p><p>　　設(shè)是的真子集，且，對于可測集合，總有</p><p><b>　　………………(2)</b></p><p>　　則(2)式表明：給定條件下，條件分布是上的均勻分布．因此，可得產(chǎn)生上均勻分布生成的算法：</p><p>　　1) 生成上

20、均勻分布隨機(jī)點(diǎn)；</p><p>　　2) 若，則令，輸出，結(jié)束；</p><p><b>　　3) 轉(zhuǎn)1) ．</b></p><p>　　這樣產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn) 就是上的均勻分布．因此產(chǎn)生上均勻分布生成的隨機(jī)點(diǎn)就要求容易產(chǎn)生上均勻分布生成的隨機(jī)點(diǎn)．</p><p><b>　　3 均勻分布的運(yùn)用</b>

21、;</p><p>　　3.1 在舍入誤差中的應(yīng)用</p><p>　　因?yàn)閿?shù)字計(jì)算機(jī)字長有限，舍入誤差的分析在用計(jì)算機(jī)解題時(shí)是很有必要的，而在計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算中，定點(diǎn)計(jì)算的舍入誤差，可以作為均勻分布的隨機(jī)變量．</p><p>　　3.2 均勻分布是蒙特卡羅方法的依據(jù)</p><p>　　蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)，是一種隨機(jī)

22、模擬方法，以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方法．將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似解．</p><p>　　蒙特卡羅方法是計(jì)算機(jī)計(jì)算中的一個(gè)重要方法，其理論依據(jù)是均勻分布的以下性質(zhì)．</p><p>　　定理4：隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加，則</p>

23、;<p>　?。?）隨機(jī)變量在上服從均勻分布．</p><p>　?。?）若隨機(jī)變量在上服從均勻分布，對于任意的分布函數(shù)，定義隨機(jī)變量，則的分布函數(shù)是．</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　（1）因?yàn)槭欠植己瘮?shù)，故在上取值，設(shè)的分布函數(shù)為，則有</p><p>　　所以隨機(jī)變量在

24、上服從均勻分布．</p><p>　?。?）若隨機(jī)變量在上服從均勻分布，對于任意的分布函數(shù) ，由得</p><p>　　因此的分布函數(shù)是 ．</p><p>　　蒙特卡羅方法的關(guān)鍵步驟是產(chǎn)生分布函數(shù) 的隨機(jī)數(shù)，通常的做法是利用數(shù)學(xué)或物理方法，產(chǎn)生上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，再利用 得到任意分布的隨機(jī)數(shù)．</p><p>　　3.3 均勻分布負(fù)荷在供電

25、計(jì)算中的運(yùn)用</p><p><b>　　3.31 使用原理</b></p><p>　　均勻分布負(fù)荷是電力系統(tǒng)研究中經(jīng)常采用的分析方法，在電氣化鐵道牽引供電系統(tǒng)中，其工作原理是：在供電臂上用一個(gè)均勻分布的負(fù)荷（單位長度功率，kW/km 或單位長度電流，A/km）來代替時(shí)間與位置都不斷變化的負(fù)荷．</p><p>　　例3：牽引網(wǎng)電壓降計(jì)算：假

26、若供電方式為帶回流線直接供電，供電臂長度為，總的電流為，單位阻抗為，單位長度電流為．</p><p>　　圖2 電氣化鐵道單位長度功率指導(dǎo)圖</p><p>　　解：若是單邊供電：供電臂上距離變電所處的瞬時(shí)電流為</p><p>　　， 處的瞬時(shí)電壓降為</p><p>　　若是雙邊供電，供電臂上距離變電所 處的瞬時(shí)電流為</p>

27、<p><b>　　處的瞬時(shí)電壓降為：</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　3.4均勻分布運(yùn)用于橢圓形區(qū)域隨機(jī)點(diǎn)生成</p><p>　　定理5：若的密度函數(shù)分別為：和</p><p>　　且相互獨(dú)立，其中通過公式變換成且,則服從橢圓形區(qū)域內(nèi)均勻分布．&

28、lt;/p><p>　　證明：設(shè)，因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故得的聯(lián)合密度為</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　平面上的閉區(qū)域?qū)?yīng)平面上的閉區(qū)域，</p><p><b>　　為，于是有</b></

29、p><p>　　其中表示的面積，上式表明隨機(jī)向量落在區(qū)域上的概率與的面積成正比，而與在橢圓形區(qū)域中位置和形狀無關(guān)．由此可見，的聯(lián)合密度函數(shù)為</p><p>　　所以二維隨機(jī)向量在橢圓形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，證畢．</p><p>　　3.5均勻分布運(yùn)用于長方體區(qū)域上隨機(jī)點(diǎn)生成</p><p>　　定理6：服從長方體區(qū)域上均勻分布充要條件是： ,且

30、相互獨(dú)立．</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　充分性的證明</b></p><p>　　因?yàn)?故得的密度函數(shù)分別為</p><p>　　……………………………… (3)</p><p>　　………………………………….(4)</p

31、><p>　　………………………………(5)</p><p>　　又因?yàn)橄嗷オ?dú)立，故得的聯(lián)合密度為</p><p><b>　　當(dāng)，，時(shí)</b></p><p>　　………………………… (6). </p><p>　　否則，所以服從長方體區(qū)域上均勻分布．</p>

32、<p><b>　　必要性的證明</b></p><p>　　服從長方體區(qū)域上均勻分布，則關(guān)于的邊緣分布密度為（3）（4）（5）式，可見．</p><p>　　所以相互獨(dú)立，且，定理證畢．</p><p><b>　　結(jié)語：</b></p><p>　　本文將均勻分布由一維推廣到維，并運(yùn)

33、用均勻分布進(jìn)行供電計(jì)算，采用均勻分布負(fù)荷對牽引負(fù)荷進(jìn)行研究，可以大大簡化計(jì)算和分析，也能較為準(zhǔn)確地反映負(fù)荷的動態(tài)過程．另外，還列出了二維區(qū)域上均勻分布的隨機(jī)點(diǎn)生成的新算法，類似地也列出三維區(qū)域上均勻分布的隨機(jī)點(diǎn)生成的算法．給出了橢圓形區(qū)域和長方體區(qū)域上均勻分布隨機(jī)點(diǎn)生成的定理，并加以證明．這些定理既精確又實(shí)用，具有很重要的價(jià)值，給工程、信息安全和無線網(wǎng)絡(luò)的仿真提供了理論和技術(shù)支撐．所得到的隨機(jī)節(jié)點(diǎn)定理，為以后研究多維均勻分布隨機(jī)節(jié)點(diǎn)的相

34、關(guān)問題奠定了基礎(chǔ)．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 宗序平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002:39-40,55-57,60-63.</p><p>　　[2] 盛驟, 謝式千. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用[M] . 北京: 高等教育出版社, 2010:49-51,63-65.<

35、/p><p>　　[3] 高惠璇．統(tǒng)計(jì)計(jì)算[M]．北京：北京大學(xué)出版社，1995:80-89.</p><p>　　[4] 毛綱源. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解題方法技巧歸納[M]. 武漢:華中理工大學(xué)出版社,1999:264-273.</p><p>　　[5] 謝興武,李宏偉.概率統(tǒng)計(jì)釋難解疑[M].北京:科學(xué)出版社, 2007:130.</p><p&

36、gt;　　[6] 李旭東，趙雪嬌．長方體區(qū)域上均勻分布隨機(jī)點(diǎn)定理及其應(yīng)用[J] .西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，30(5):32-33.</p><p>　　[7] 李旭東,趙雪嬌.矩形和橢圓內(nèi)均勻分布隨機(jī)點(diǎn)定理及應(yīng)用[J]. 成都理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,39(5):556-557.</p><p>　　[8] HUA LOO-KENG , WANG YUAN.On Un