畢業(yè)論文--時(shí)滯項(xiàng)可微系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　題 目：時(shí)滯項(xiàng)可微系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件</p><p>　　學(xué) 院： 自動(dòng)化工程學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： 自動(dòng)化 </p><p>　　姓

2、 名： XXX </p><p>　　指導(dǎo)教師： XXX </p><p>　　2013年 6 月 1 日</p><p>　　Delay-dependent Stability Criteria for Systems with Dif

3、ferentiable Time Delays</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文研究了帶有可微時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)使用時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的信息，本文給出了時(shí)滯系統(tǒng)的改進(jìn)的漸近穩(wěn)定性。與以前的研究方法不同的是，本文考慮了時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上界，即使這種時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上界大于等于1。可以證明取得的結(jié)果要比現(xiàn)有結(jié)論保守性更低。同時(shí)，因?yàn)樯婕拜^少

4、的決策變量，本文所展示穩(wěn)定判據(jù)的計(jì)算復(fù)雜程度大大降低。用MATLAB證實(shí)了所得穩(wěn)定條件的有效性和更低的保守性。</p><p>　　關(guān)鍵字 時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件 線性矩陣不等式（LMI） 時(shí)滯系統(tǒng)</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　This paper studies the problem of stabi

5、lity for continuous-time systems with differentiable time-varying delays. By using the information of delay derivative, improved asymptotic stability conditions for time-delay systems are presented. Unlike the previous m

6、ethods, the upper bound of the delay derivative is taken into consideration even if this upper bound is larger than or equal to 1. It is proved that the obtained results are less conservative than the existing ones. Mean

7、while, the computatio</p><p>　　Keywords Delay-dependent stability condition linear matrix inequality (LMI) time-delay systems</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前

8、 言2</b></p><p>　　第1章 緒 論4</p><p>　　1.1 時(shí)滯系統(tǒng)的相關(guān)介紹4</p><p>　　1.2 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析基本方法4</p><p>　　1.3 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題與展望5</p><p>　　1.4 SCHUR補(bǔ)的相關(guān)知識(shí)補(bǔ)充5</

9、p><p>　　1.4.1 Schur補(bǔ)的定義5</p><p>　　1.4.2 Schur引理5</p><p>　　1.5 本文的主要研究工作5</p><p>　　1.6 文中的符號(hào)說(shuō)明6</p><p>　　1.7 小 結(jié)6</p><p>　　第2章 LMI工具箱介紹

10、7</p><p>　　2.1 線性矩陣不等式及相關(guān)術(shù)語(yǔ)7</p><p>　　2.2 線性矩陣不等式的確定9</p><p>　　2.3 線性矩陣不等式求解器16</p><p>　　第3章 時(shí)滯項(xiàng)可微系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件21</p><p>　　3.1 主要結(jié)果21</p>&

11、lt;p>　　3.2 與現(xiàn)有結(jié)果的聯(lián)系27</p><p>　　3.3數(shù)值算例34</p><p><b>　　3.4 結(jié)論35</b></p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)36</b></p><p><b>　　謝 辭37</b></p>&l

12、t;p><b>　　參考文獻(xiàn)38</b></p><p>　　附錄 仿真程序40</p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　從系統(tǒng)理論的觀點(diǎn)看，任何實(shí)際系統(tǒng)的過(guò)去狀態(tài)不可避免地要對(duì)當(dāng)前的狀態(tài)產(chǎn)生影響，即系統(tǒng)的演化趨勢(shì)不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，也依賴于過(guò)去某一時(shí)刻或若干時(shí)刻的狀態(tài)，這類系統(tǒng)

13、稱為時(shí)滯系統(tǒng)。時(shí)滯產(chǎn)生的原因有很多，如：系統(tǒng)變量的測(cè)量(復(fù)雜的在線分析儀)、長(zhǎng)管道進(jìn)料或皮帶傳輸、緩慢的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等都會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯。時(shí)滯常見(jiàn)于電路、光學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境及醫(yī)學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)、機(jī)械等領(lǐng)域，由于應(yīng)用背景廣泛，受到很多學(xué)者的關(guān)注。從理論分析的角度來(lái)看，在連續(xù)域中，時(shí)滯系統(tǒng)是一個(gè)無(wú)窮維的系統(tǒng)，特征方程是超越方程，有無(wú)窮多個(gè)特征根，而在離散域中，時(shí)滯系統(tǒng)的維數(shù)隨時(shí)滯的增加按幾何規(guī)律增長(zhǎng)，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大的

14、困難。因此，對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的控制問(wèn)題，無(wú)論在理論還是在工程實(shí)踐方面都具有極大的挑戰(zhàn)性。</p><p>　　常見(jiàn)的時(shí)滯系統(tǒng)包括奇異時(shí)滯微分系統(tǒng)、脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng)、Lurie時(shí)滯系統(tǒng)、中立型時(shí)滯系統(tǒng)和隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)等。</p><p>　　系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題是控制理論界的重要課題。若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過(guò)渡過(guò)程（輸出）隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的

15、能力，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定。鎮(zhèn)定問(wèn)題源于穩(wěn)定性問(wèn)題，當(dāng)受控系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋(或者輸出反饋),使的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,這樣的問(wèn)題稱為鎮(zhèn)定問(wèn)題。</p><p>　　早在 20 世紀(jì) 50 年代，就有很多學(xué)者開(kāi)始研究時(shí)滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性問(wèn)題和控制問(wèn)題，其研究方法大致可分為頻域方法和時(shí)域方法。在早期主要是頻域方法，通過(guò)分析其特征方程根的分布以及Lyapunov矩陣函數(shù)的解，給出時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計(jì)的相應(yīng)準(zhǔn)則。頻域方法

16、在單輸入輸出的定常時(shí)滯系統(tǒng)方面已經(jīng)取的了一些很好的結(jié)果。但是，對(duì)于多輸入輸出的時(shí)滯系統(tǒng)和時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，用頻域方法就很難得到結(jié)論。因此，相應(yīng)的時(shí)域方法就得到發(fā)展，主要有Lyapunov－Krasovskii泛函方法和Razumikhin函數(shù)方法。這兩種方法的基本思想都是構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii泛函或Lyapunov函數(shù)，然后對(duì)其求導(dǎo)，使其導(dǎo)數(shù)小于零，得到穩(wěn)定性判據(jù)和控制器設(shè)計(jì)基本準(zhǔn)則。這是由Krasovskii和Razu

17、mikhin所分別創(chuàng)造的，現(xiàn)已成為分析時(shí)滯系統(tǒng)鎮(zhèn)定性和控制器設(shè)計(jì)的主要方法。尤其是在 20 世紀(jì) 90 年代，隨著Riccati方程和Matlab中LMI( 線性矩陣不等式)的發(fā)展，更使這兩種方法得到了廣泛的應(yīng)用，這其中，有兩類成果備受關(guān)注: 一類是時(shí)滯無(wú)關(guān)條件，一類是時(shí)滯相關(guān)條件。在 90 年代初</p><p>　　本文提出了消除時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上界限制的新方法，同時(shí)給出了時(shí)滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。可以證明，新結(jié)果比現(xiàn)

18、有結(jié)果具有更低的保守性。同時(shí)，得到的穩(wěn)定判據(jù)有更少的決策變量，所以在數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)便，并且計(jì)算上更有效。在結(jié)果保守性不變的條件下，本文也給出了簡(jiǎn)化由加權(quán)矩陣和廣義系統(tǒng)方法得到的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件的方法。</p><p><b>　　第1章 緒 論</b></p><p>　　1.1 時(shí)滯系統(tǒng)的相關(guān)介紹</p><p>　　從系統(tǒng)理論的觀點(diǎn)看，任何實(shí)

19、際系統(tǒng)的過(guò)去狀態(tài)不可避免地要對(duì)當(dāng)前的狀態(tài)產(chǎn)生影響，即系統(tǒng)的演化趨勢(shì)不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，也依賴于過(guò)去某一時(shí)刻或若干時(shí)刻的狀態(tài)，這類系統(tǒng)稱為時(shí)滯系統(tǒng)。時(shí)滯產(chǎn)生的原因有很多，如：系統(tǒng)變量的測(cè)量(復(fù)雜的在線分析儀)、長(zhǎng)管道進(jìn)料或皮帶傳輸、緩慢的化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等都會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯。時(shí)滯常見(jiàn)于電路、光學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境及醫(yī)學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)、機(jī)械等領(lǐng)域，由于應(yīng)用背景廣泛，受到很多學(xué)者的關(guān)注。從理論分析的角度來(lái)看，在連續(xù)域中，時(shí)滯系統(tǒng)是一個(gè)無(wú)窮維的系統(tǒng)，

20、特征方程是超越方程，有無(wú)窮多個(gè)特征根，而在離散域中，時(shí)滯系統(tǒng)的維數(shù)隨時(shí)滯的增加按幾何規(guī)律增長(zhǎng)，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)了很大的困難。因此，對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的控制問(wèn)題，無(wú)論在理論還是在工程實(shí)踐方面都具有極大的挑戰(zhàn)性。</p><p>　　常見(jiàn)的時(shí)滯系統(tǒng)包括奇異時(shí)滯微分系統(tǒng)、脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng)、Lurie時(shí)滯系統(tǒng)、中立型時(shí)滯系統(tǒng)和隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)等。</p><p>　　1.2 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)

21、定性的分析基本方法</p><p>　　縱觀時(shí)滯系統(tǒng)的研究和發(fā)展，有兩條主要研究途徑，即時(shí)域方法和頻域方法兩大類。頻域分析方法利用Smith預(yù)估、變結(jié)構(gòu)控制等方法設(shè)計(jì)控制器，并利用Nyquist圖等頻域分析手段判斷系統(tǒng)參數(shù)在一定范圍攝動(dòng)條件下閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。這一類設(shè)計(jì)只適用于定常不確定系統(tǒng)或慢時(shí)變系統(tǒng)。時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)域分析方法越來(lái)越成為時(shí)滯系統(tǒng)尤其是不確定時(shí)滯系統(tǒng)（包括系統(tǒng)矩陣的參數(shù)不確定性以及時(shí)滯本身的不確定性）

22、穩(wěn)定性分析以及控制器綜合的主要方法。時(shí)域分析方法克服了頻域分析不能處理時(shí)變和參數(shù)攝動(dòng)的不足，而且具有方法簡(jiǎn)單、易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，使其在實(shí)際工程應(yīng)用中更加具有優(yōu)勢(shì)。近年來(lái)有關(guān)不確定時(shí)滯系統(tǒng)的結(jié)論基本上都是用時(shí)域的分析方法取得的。時(shí)域方法用得最多的是Lyapunov直接設(shè)計(jì)方法。利用Lyapunov第二方法對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究主要是通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)來(lái)求解時(shí)滯系統(tǒng)的無(wú)記憶反饋控制律，這是設(shè)計(jì)時(shí)變及不確定時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制器的有效途徑

23、?；贚yapunov方法的無(wú)記憶反饋控制器不但設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便，在線計(jì)算量少，因而近年來(lái)受到很多學(xué)者重視。利用Lyapunov方法對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的研究結(jié)果可以分為兩大類：時(shí)滯無(wú)關(guān)結(jié)果和時(shí)滯相關(guān)結(jié)</p><p>　　1.3 時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題與展望</p><p>　　1)目前有關(guān)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析結(jié)果很多，但是進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，只在個(gè)別情況下才會(huì)得到線性矩陣不等式(LMI)，多數(shù)情況下得到的是

24、多項(xiàng)式矩陣不等式(PMI)或雙線性矩陣不等式(BMI)。如何將多項(xiàng)式矩陣不等式轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI，或者在無(wú)法轉(zhuǎn)化成LMI時(shí)，如何對(duì)其利用優(yōu)化方法進(jìn)行求解，是今后繼續(xù)努力的方向．目前發(fā)展起來(lái)的多項(xiàng)式優(yōu)化理論有望為這一問(wèn)題提供系統(tǒng)化方法。</p><p>　　2)如何得到計(jì)算復(fù)雜性低，同時(shí)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則是未來(lái)的努力方向。其中Lyapunov－Krasovskii泛函的適當(dāng)選取，尤其是參數(shù)依賴的Lyapunov泛函的

25、選取，將對(duì)結(jié)果的保守性產(chǎn)生積極影響，這方面還有大量的工作有待進(jìn)行。</p><p>　　3)基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性準(zhǔn)則在保守性方面難于比較，至少看起來(lái)不直觀．原因是線性矩陣不等式在矩陣維數(shù)、變量及變量個(gè)數(shù)方面有所不同。如何進(jìn)一步尋求系統(tǒng)化方法進(jìn)行相關(guān)分析，這方面的工作很有意義。</p><p>　　4)近年有關(guān)時(shí)滯的討論多數(shù)集中在線性系統(tǒng)，有關(guān)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的討論則較少(當(dāng)然也有例外)

26、，而實(shí)際系統(tǒng)往往是非線性的，這也是進(jìn)一步努力的方向之一。</p><p>　　5)近年來(lái)對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、無(wú)線通訊網(wǎng)絡(luò)、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的研究蓬勃興起，因網(wǎng)絡(luò)中的信息必須通過(guò)通信網(wǎng)絡(luò)分時(shí)傳送，不可避免地在控制環(huán)路中引入了通訊延遲(時(shí)滯)，消除時(shí)滯對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響是備受關(guān)注的問(wèn)題，是推動(dòng)時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)一步研究發(fā)展的動(dòng)力。</p><p>　　1.4 Schur補(bǔ)的相關(guān)知識(shí)補(bǔ)充</p>

27、;<p>　　1.4.1 Schur補(bǔ)的定義  分塊矩陣M表示為。 如果A可逆，則M的Schur補(bǔ)定義為； 如果D可逆，則M的Schur補(bǔ)定義為。 </p><p>　　1.4.2 Schur引理  分塊矩陣M表示為。 a. 如果A可逆，則M>0等價(jià)為A>0且M的Schur補(bǔ)為正定； 

28、b. 如果D可逆，則M>0等價(jià)位D>0且M的Schur補(bǔ)為正定。 </p><p>　　1.5 本文的主要研究工作</p><p>　　本文提出了消除時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上界限制的新方法，同時(shí)給出了時(shí)滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件?？梢宰C明，新結(jié)果比現(xiàn)有結(jié)果具有更低的保守性。同時(shí)，得到的穩(wěn)定判據(jù)有更少的決策變量，所以在數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)便，并且計(jì)算上更有效。在結(jié)果保守性不變的條件下 ，本文也給

29、出了簡(jiǎn)化由加權(quán)矩陣和廣義系統(tǒng)方法得到的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件的方法。</p><p>　　1.6 文中的符號(hào)說(shuō)明</p><p><b>　　維實(shí)向量空間；</b></p><p><b>　　維實(shí)矩陣空間；</b></p><p><b>　　矩陣的轉(zhuǎn)置；</b></p&g

30、t;<p>　　矩陣的歐氏范數(shù)，即；</p><p><b>　　為正定對(duì)稱矩陣；</b></p><p><b>　　為半正定對(duì)稱矩陣；</b></p><p>　　具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣；</p><p><b>　　矩陣中的對(duì)稱部分。</b></p&g

31、t;<p><b>　　1.7 小 結(jié)</b></p><p>　　在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程和自然科學(xué)過(guò)程中，時(shí)滯現(xiàn)象的存在是不可避免的。特別是電力系統(tǒng)、機(jī)械傳輸系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)以及城市交通管理系統(tǒng)中，時(shí)滯現(xiàn)象的存在對(duì)系統(tǒng)造成的影響是不可忽略的。所以在分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及跟蹤控制問(wèn)題時(shí)，考慮時(shí)間延遲對(duì)系統(tǒng)的影響是非常重要的。</p><p>　　第2章

32、LMI工具箱介紹</p><p>　　線性矩陣不等式(LMI)工具箱是求解一般線性矩陣不等式問(wèn)題的一個(gè)高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式，使的各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個(gè)線性矩陣不等式問(wèn)題一旦確定，就可以通過(guò)調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來(lái)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解。</p><p>　　LMI工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具

33、，它們主要用于：</p><p>　　● 以自然塊矩陣形式來(lái)直接描述線性矩陣不等式；</p><p>　　● 獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息；</p><p>　　● 修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；</p><p>　　● 求解三個(gè)一般的線性矩陣不等式問(wèn)題；</p><p><b>　　● 驗(yàn)證結(jié)果。

34、</b></p><p>　　本章將詳細(xì)介紹LMI工具箱提供的用于解決以上各個(gè)問(wèn)題的相關(guān)函數(shù)和命令。</p><p>　　2.1 線性矩陣不等式及相關(guān)術(shù)語(yǔ)</p><p>　　一個(gè)線性矩陣不等式就是具有以下一般形式的一個(gè)矩陣不等式：</p><p><b>　　(2-1)</b></p>&l

35、t;p>　　其中：，，是給定的對(duì)稱常數(shù)矩陣，是未知變量，稱為決策變量，是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量。</p><p>　　盡管表達(dá)式(1)是線性矩陣不等式的一個(gè)一般形式，但在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，線性矩陣不等式常常不是以一般表示式(1)的形式出現(xiàn)，而是具有以下形式：</p><p>　　其中的和是矩陣變量的仿射函數(shù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算，上式可以寫成線性矩陣不等式的一般表示式(1)

36、的形式。例如，在系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題中經(jīng)常遇到的Lyapunov矩陣不等式</p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　　也是一個(gè)線性矩陣不等式，其中的是一個(gè)矩陣變量。我們以一個(gè)二階矩陣為例，將矩陣不等式(2)寫成一般表示式(1)的形式。針對(duì)二階矩陣不等式(2)，對(duì)應(yīng)的矩陣變量是一個(gè)二階的對(duì)稱矩陣，，不等式(2)中的決策變量是矩陣中的獨(dú)立元。根據(jù)對(duì)策性

37、，矩陣變量可以寫成</p><p>　　將矩陣和上式代入矩陣不等式(2)，經(jīng)整理，可得</p><p><b>　　(2-3)</b></p><p>　　這樣就將矩陣不等式(2)寫成了線性矩陣不等式的表示式(1)。顯然，與Lyapunov矩陣不等式(2)相比，表示式(3)缺少了許多控制中的直觀意義。另外，(3)式涉及到的矩陣也比(2)式中的多

38、。如果矩陣是n階的，則(3)式中的系數(shù)矩陣一般有n(n+1)/2個(gè)。因此，這樣的表達(dá)式在計(jì)算機(jī)中將占用更多的存儲(chǔ)空間。由于這樣的一些原因，LMI工具箱中的函數(shù)采用線性矩陣不等式的結(jié)構(gòu)表示。例如，Lyapunov矩陣不等式(2)就以矩陣變量的不等式來(lái)表示，而不是用其一般形式(3)來(lái)表示。</p><p>　　一般的，一個(gè)線性矩陣不等式具有塊矩陣的形式，其中每一個(gè)塊都是矩陣變量的仿射函數(shù)。以下通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明有關(guān)描

39、述一個(gè)線性矩陣不等式的術(shù)語(yǔ)。</p><p>　　考慮控制中的一個(gè)線性矩陣不等式：</p><p>　　其中：、、、、是給定的矩陣，和是問(wèn)題的變量。</p><p>　　● 稱為外因子，塊矩陣</p><p>　　稱為內(nèi)因子。外因子可以不是一個(gè)正方矩陣，它在許多問(wèn)題中常常不出現(xiàn)。</p><p>　　● 和是問(wèn)題的矩陣

40、變量。注意標(biāo)量也可以看成是一個(gè)維的矩陣。</p><p>　　● 內(nèi)因子是一個(gè)對(duì)稱塊矩陣。根據(jù)對(duì)稱性，可以由對(duì)角線及其上方的塊矩陣完全確定。</p><p>　　● 中的每一塊都是矩陣變量和的仿射函數(shù)。這一函數(shù)由常數(shù)項(xiàng)和變量項(xiàng)這兩類基本項(xiàng)組成，其中常數(shù)項(xiàng)就是常數(shù)矩陣或以一些常數(shù)矩陣組成的算術(shù)表達(dá)式，例如中的B和D；變量項(xiàng)是包含一個(gè)矩陣變量的項(xiàng)，例如等。</p><p&g

41、t;　　一個(gè)線性矩陣不等式不論多么復(fù)雜，都可以通過(guò)描述其中每一塊的各項(xiàng)內(nèi)容來(lái)確定這個(gè)線性矩陣不等式。</p><p>　　2.2 線性矩陣不等式的確定</p><p>　　LMI工具可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式：</p><p>　　其中：是具有一定結(jié)構(gòu)的矩陣變量，左、右外因子和是具有相同維數(shù)的給定矩陣，左、右內(nèi)因子和是具有相同塊結(jié)構(gòu)的對(duì)稱塊矩陣。&l

42、t;/p><p>　　注意在線性矩陣不等式的描述中，左邊總是指不等式較小的一邊，例如對(duì)線性矩陣不等式>0，稱為是不等式的右邊，0稱為是不等式的左邊，常表示成0<。</p><p>　　要確定一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)，需要做以下兩步：</p><p>　　給出每個(gè)矩陣變量的維數(shù)和結(jié)構(gòu)；</p><p>　　描述每一個(gè)線性矩陣不等式中各個(gè)項(xiàng)

43、的內(nèi)容。</p><p>　　這個(gè)過(guò)程產(chǎn)生所描述線性矩陣不等式系統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)部表示，它以一個(gè)單一向量的形式儲(chǔ)存在計(jì)算機(jī)內(nèi)，通常用一個(gè)名字，例如lmisys來(lái)表示。該內(nèi)部表示lmisys可以在后面處理這個(gè)線性矩陣不等式時(shí)調(diào)用。</p><p>　　下面將通過(guò)LMI工具箱中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明線性矩陣不等式系統(tǒng)的確定。運(yùn)行l(wèi)midem可以看到這個(gè)例子的完整描述。</p><p&g

44、t;　　例1：考慮一個(gè)具有4個(gè)輸入、4個(gè)輸出和6個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)定傳遞函數(shù)</p><p><b>　　(2-4)</b></p><p>　　和一組具有以下塊對(duì)角結(jié)構(gòu)的輸入/輸出尺度矩陣：</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>　　則在具有時(shí)變不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析中提出

45、了以下問(wèn)題：</p><p>　　尋找一個(gè)具有結(jié)構(gòu)(5)的尺度矩陣，使的。</p><p>　　可以證明：這樣一個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問(wèn)題，既尋找兩個(gè)對(duì)稱矩陣和，使的</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p><b>　　(2-7)</b></p&

46、gt;<p><b>　　(2-8)</b></p><p>　　用命令lmivar和lmiterm給出線性矩陣不等式系統(tǒng)(6)~(8)的內(nèi)部描述如下：</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　x=lmivar(1,[6 1])</p><p>　　s=lmivar(1,[2 0;

47、2 1])</p><p>　　% 1st LMI </p><p>　　lmiterm([1 1 1 x],1,A,'s')</p><p>　　lmiterm([1 1 1 s],c',c)</p><p>　　lmiterm(1 1 2 x],1,B)</p><p>　　lmiterm

48、(1 2 2 s],-1,1) </p><p>　　% 2nd LMI </p><p>　　lmiterm([-2 1 1 x],1,1)</p><p><b>　　% 3rd LMI</b></p><p>　　lmiterm([-3 1 1 s],1,1)</p><p>　　lmit

49、erm([3 1 1 0],1)</p><p>　　lmisys=getlmis </p><p>　　其中：函數(shù)lmirar定義了兩個(gè)矩陣變量和，lmiterm則描述了每一個(gè)線性矩陣不等式中各項(xiàng)的內(nèi)容。getlmis回到了這個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys，lmisys也稱為是儲(chǔ)存在機(jī)器內(nèi)部的線性矩陣不等式系統(tǒng)的名稱。以下將詳細(xì)介紹這幾個(gè)函數(shù)的功能和用法。</p>

50、<p>　　setlmis和getlmis</p><p>　　一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述以setlmis開(kāi)始，以getlmis結(jié)束。當(dāng)要確定一個(gè)新的系統(tǒng)時(shí)，輸入：</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　如果需要將一個(gè)線性矩陣不等式添加到一個(gè)名為lmiso的現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)中，則輸入：</p><

51、p>　　setlmis(lmiso)</p><p>　　當(dāng)線性矩陣不等式系統(tǒng)被完全確定好后，輸入：</p><p>　　lmisys=getlmis</p><p>　　該命令返回這個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys。</p><p><b>　　lmivar</b></p><p&g

52、t;　　函數(shù)lmivar用來(lái)描述出現(xiàn)在線性矩陣不等式系統(tǒng)中的矩陣變量，每一次只能描述一個(gè)矩陣變量。矩陣變量的描述包括該矩陣變量的結(jié)構(gòu)。該函數(shù)的一般表達(dá)式是：</p><p>　　x=lmivar(type,struct)</p><p>　　這一函數(shù)定義了一個(gè)新的矩陣變量，是該矩陣變量的變量名。函數(shù)中的第一個(gè)輸入量type確定了矩陣變量的類型，第二個(gè)輸入量struct進(jìn)一步根據(jù)變量的類型給

53、出該變量的結(jié)構(gòu)。變量的類型分成三類：</p><p>　　Type=1：對(duì)稱塊對(duì)角結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于具有以下形式的矩陣變量：</p><p>　　其中對(duì)角線上的每一個(gè)矩陣塊是方陣，它可以是零矩陣、對(duì)稱矩陣或者數(shù)量矩陣。這種結(jié)構(gòu)也包含了通常意義的對(duì)稱矩陣和數(shù)量矩陣（分別相當(dāng)于只有一塊）。此時(shí)，struct是一個(gè)維的矩陣。如果該矩陣的第i行是(m，n)，則其中的m表示對(duì)稱矩陣塊的階數(shù)，而n只

54、能取1、0或者-1，其中n=1表示是一個(gè)滿的對(duì)稱矩陣（或者無(wú)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱矩陣），n=0表示是一個(gè)數(shù)量矩陣，n=-1表示是一個(gè)零矩陣。</p><p>　　Type=2：長(zhǎng)方形結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于任意的長(zhǎng)方矩陣。此時(shí)，srtuct=(m，n)表示矩陣的維數(shù)。</p><p>　　Type=3：其他結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)用來(lái)描述更加復(fù)雜的矩陣，也可以用于描述矩陣變量之間的一些關(guān)聯(lián)。的每一個(gè)元或者是0，或

55、者是，其中是第n個(gè)據(jù)側(cè)變量。相應(yīng)的，struct是一個(gè)和變量有相同維數(shù)的矩陣，其中的每一個(gè)元取值如下：</p><p>　　例2：考慮具有三個(gè)矩陣變量、和的線性矩陣不等式系統(tǒng)，其中</p><p>　　● 是一個(gè)33維的對(duì)稱矩陣；</p><p>　　● 是一個(gè)24維 的長(zhǎng)方矩陣；</p><p>　　● 其中是55維的對(duì)稱矩陣，和是兩個(gè)標(biāo)量

56、，</p><p>　　表示22維的單位矩陣。</p><p>　　可以應(yīng)用lmivar來(lái)定義這些矩陣變量。</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　x1=lmivar(1,[3 1])</p><p>　　x2=lmivar(2,[2 4])</p><p>　　x3=

57、lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])</p><p><b>　　lmiterm</b></p><p>　　在確定了矩陣變量之后，還需要確定每一個(gè)線性矩陣不等式中各項(xiàng)的內(nèi)容。線性矩陣不等式的項(xiàng)指構(gòu)成這個(gè)線性矩陣不等式的塊矩陣中的加項(xiàng)。這些項(xiàng)可以分成三類：</p><p><b>　　常數(shù)項(xiàng)；</b></p

58、><p>　　變量項(xiàng)，即包含了矩陣變量的項(xiàng)，例如(3)式中的和。一般的變量項(xiàng)具有形式，其中的是一個(gè)變量，和是給定的矩陣，分別稱為該變量項(xiàng)的左系數(shù)和右系數(shù)；</p><p><b>　　外因子。</b></p><p>　　在描述一個(gè)具有多個(gè)塊的線性矩陣不等式時(shí)，LMI工具箱提供了這樣的功能，即只需要確定對(duì)角線上和對(duì)角線上方的項(xiàng)的內(nèi)容，或者只描述對(duì)角

59、線上和對(duì)角線下方的項(xiàng)的內(nèi)容，其他部分項(xiàng)的內(nèi)容可以根據(jù)線性矩陣不等式的對(duì)稱性得到。</p><p>　　用命令lmiterm每次可以確定線性矩陣不等式的一個(gè)項(xiàng)的內(nèi)容。例如，對(duì)稱性矩陣不等式</p><p>　　可以用一下一組命令來(lái)描述：</p><p>　　lmiterm([1 1 1 x],1,A,'s')</p><p>　

60、　lmiterm([1 1 1 s],c',c)</p><p>　　lmiterm([1 1 2 x],1,B)</p><p>　　lmiterm([1 2 2 s],-1,1)</p><p>　　這些命令一次描述了項(xiàng)、、和。在每一條命令中，第1項(xiàng)是一個(gè)四元向量，它刻畫了所描述的項(xiàng)所在的位置和特征；</p><p>　　● 第1

61、個(gè)元表示所描述的項(xiàng)屬于哪一個(gè)線性矩陣不等式。值m表示第m個(gè)</p><p>　　不等式的左邊，-m表示第m個(gè)不等式的右邊。</p><p>　　● 第2和3個(gè)元表示所描述的項(xiàng)所在塊的位置。例如，向量[1 1 2 1]表示所</p><p>　　描述的項(xiàng)位于第一個(gè)線性矩陣不等式左邊內(nèi)因子的塊(1,2)中。第2和第</p><p>　　3個(gè)元均取

62、零表示所描述的項(xiàng)在外因子中。</p><p>　　● 最后一個(gè)元表明了所描述的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)還是變量項(xiàng)。如果是變量項(xiàng)，則</p><p>　　進(jìn)一步說(shuō)明涉及哪一個(gè)變量。0表示常數(shù)項(xiàng)，k表示所描述的項(xiàng)包含第k</p><p>　　個(gè)矩陣變量，-k則表示包含矩陣變量的轉(zhuǎn)置（在例1中，</p><p>　　是第1個(gè)變量，s是第2個(gè)變量，它們按確定的先后

63、順序排列）。</p><p>　　lmiterm的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)包含了數(shù)據(jù)（常數(shù)項(xiàng)的值，外因子，變量項(xiàng)或者中的左、右系數(shù)）。第4項(xiàng)是可選擇的，且只能是's'。</p><p>　　在描述項(xiàng)的內(nèi)容里，有一些簡(jiǎn)化的方法。</p><p><b>　　零塊可以省略描述；</b></p><p>　　可以通過(guò)在命

64、令lmiterm中外加一個(gè)分量's'，使的可以只用一個(gè)命令lmiterm就能描述一個(gè)變量項(xiàng)與該變量項(xiàng)的轉(zhuǎn)置的和。例如，上面的第一個(gè)命令描述了。</p><p>　　可以用一個(gè)標(biāo)量值來(lái)表示一個(gè)數(shù)量矩陣，即用表示數(shù)量矩陣，其中是一個(gè)標(biāo)量。如例1中的第3個(gè)不等式被描述成</p><p>　　lmiterm([-3 1 1 s],1,1)</p><p>　

65、　lmiterm([3 1 1 0],1)</p><p>　　為了便于閱讀，也可以用線性矩陣不等式和矩陣變量的名稱來(lái)表示對(duì)應(yīng)的線性矩陣不等式和矩陣變量。矩陣變量的變量名可以用命令lmivar來(lái)賦值，線性矩陣不等式的名稱則可以用函數(shù)newlmi來(lái)確定。這些標(biāo)識(shí)符可以用在命令lmiterm中以表示相應(yīng)的線性矩陣不等式或者矩陣變量。對(duì)例1中的線性矩陣不等式系統(tǒng)，采用名稱的相應(yīng)描述如下：</p><

66、p>　　setlmis([])</p><p>　　x=lmivar(1,[6 1])</p><p>　　s=lmivar(1,[2 0;2 1])</p><p>　　BRL=newlmi</p><p>　　lmiterm([BRL 1 1 x],1,A,'s')</p><p>　　lmi

67、term([BRL 1 1 s],c',c)</p><p>　　lmiterm([BRL 1 2 x],1,B)</p><p>　　lmiterm([BRL 2 2 s],-1,1)</p><p>　　Xpos=newlmi</p><p>　　lmiterm([-Xpos 1 1 x],1,1)</p><

68、p>　　slmi=newlmi</p><p>　　lmiterm(-Slmi 1 1 s],1,1)</p><p>　　lmiterm(Slmi 1 1 0],1)</p><p>　　lmisys=getlmis</p><p>　　其中：X和S分別表示變量和，而BRL、Xpos和Slmi則分別表示第1、第2和第3個(gè)線性矩陣不等式

69、。-Xpos指的是第2個(gè)線性矩陣不等式的右邊，-X表示變量的轉(zhuǎn)置。</p><p><b>　　lmiedit</b></p><p>　　線性矩陣不等式編輯器lmiedit是一個(gè)圖形用戶界面，它可以按符號(hào)方式直接確定線性矩陣不等式系統(tǒng)。輸入</p><p><b>　　lmiedit</b></p><

70、;p>　　出現(xiàn)一個(gè)具有一些可編輯文本區(qū)域和各種按鈕的窗戶。按以下步驟來(lái)確定一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)：</p><p>　　1. 在文本區(qū)域的上半部分給出每一個(gè)矩陣變量的描述（名字和結(jié)構(gòu)），其機(jī)構(gòu)是通過(guò)類型（S表示對(duì)稱塊矩陣，R表示無(wú)結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)方矩陣，G表示其他機(jī)構(gòu)矩陣）和一個(gè)“附加”的結(jié)構(gòu)矩陣（類似于lmivar中的struct）來(lái)刻畫的。在文本編輯區(qū)，使用一行描述一個(gè)變量。</p><p&

71、gt;　　2. 在文本區(qū)的下半部分，按MATLAB的表示方式給出要描述的線性矩陣不等式。例如，線性矩陣不等式</p><p><b>　　可以通過(guò)輸入</b></p><p>　　來(lái)描述。其中X是文本區(qū)上半部分描述矩陣變量的變量名。一個(gè)線性矩陣不等式的描述可能需要幾行，但一行中最多只能描述一個(gè)線性矩陣不等式。</p><p>　　完成了線性矩陣

72、不等式系統(tǒng)的描述后，可以通過(guò)按相應(yīng)的按鈕來(lái)完成以下的任務(wù)：</p><p>　　● 顯示用于描述線性矩陣不等式的lmivar/lmiterm命令串（按鈕view commands）；反之，通過(guò)單擊按鈕describe...可以將用一串lmivar/lmiterm</p><p>　　命令定義的線性矩陣不等式系統(tǒng)按MATLAB表示式顯示。 </p><p>　　● 將

73、線性矩陣不等式的符號(hào)描述存為一個(gè)MATLAB語(yǔ)句串（按鈕save）。以后可以通過(guò)按鈕load重新顯示這種描述。</p><p>　　● 可以從一個(gè)文件讀一串lmivar/lmiterm命令（按鈕read），然后通過(guò)單擊 “describe the matrix variables”或者“describe the LMIs...”顯示出由這些命令確定的線性矩陣不等式系統(tǒng)的符號(hào)表示。</p><p

74、>　　● 寫一串用于描述一個(gè)特殊線性矩陣不等式系統(tǒng)的lmivar/lmiterm命令（按鈕write）。</p><p>　　● 通過(guò)按鈕creat產(chǎn)生線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示，結(jié)果用一個(gè)線性矩陣不等式命名的MATLAB變量記錄（如果線性矩陣不等式系統(tǒng)名字是mylmi，則其內(nèi)部表示用MATLAB變量mylmi記錄）。內(nèi)部表示mylmi可以被線性矩陣不等式求解器或者任何其他的線性矩陣不等式函數(shù)調(diào)用。<

75、;/p><p>　　如同命令lmiterm一樣，可以應(yīng)用簡(jiǎn)捷的方法來(lái)輸入線性矩陣不等式的表示式。例如零塊可以簡(jiǎn)單地輸入0，而不必定義其維數(shù)，類似地，單位矩陣只需輸入字符1等。</p><p>　　lmiedit盡管很一般，但是它沒(méi)有l(wèi)miterm靈活。以下是lmiedit的一些局限性：</p><p>　　● 在矩陣變量的兩邊不能使用括號(hào)。例如當(dāng)X是一個(gè)變量名時(shí)， (A

76、*X+B)'*C+C'*(A*C+B)是不允許的，而(A+B)'*X+X'*(A+B)則是可以的。</p><p>　　● 不允許出現(xiàn)循環(huán)和條件語(yǔ)句。</p><p>　　● 當(dāng)把lmiterm命令轉(zhuǎn)換成一個(gè)線性矩陣不等式的符號(hào)描述時(shí)，如果lmiterm的第1個(gè)分量不能確認(rèn)就將出錯(cuò)。使用由newlmi和lmivar提供的線性矩陣不等式和變量標(biāo)識(shí)符可以避免這樣

77、的問(wèn)題。</p><p>　　圖2.1給出了用lmiedit描述例1中的線性矩陣不等式系統(tǒng)的窗口。</p><p>　　圖2.1 lmiedit的圖形界面</p><p>　　2.3 線性矩陣不等式求解器</p><p>　　LMI工具箱提供了用于求解以下三個(gè)問(wèn)題的線性矩陣不等式求解器(其中表示決策變量向量，即矩陣變量中的獨(dú)立變?cè)獦?gòu)成的向量

78、)。</p><p><b>　　● 可行性問(wèn)題：</b></p><p>　　尋找一個(gè)xrnn(或者等價(jià)的：具有給定結(jié)構(gòu)的矩陣)，使?jié)M足線性矩陣的不等式系統(tǒng)</p><p>　　相應(yīng)的求解器是feasp。</p><p>　　● 具有線性矩陣不等式約束的一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問(wèn)題：</p><p&

79、gt;<b>　　s.t. </b></p><p>　　相應(yīng)的求解器是mincx。</p><p>　　● 廣義特征值的最小化問(wèn)題：</p><p><b>　　s.t.</b></p><p>　　相應(yīng)的求解器是gevp。</p><p>　　以下詳細(xì)介紹feasp求解器

80、的功能和使用方法。</p><p><b>　　feasp</b></p><p>　　求解器feasp的一般表達(dá)式如下：</p><p>　　[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)</p><p>　　求解器feasp是通過(guò)求解如下的一個(gè)輔助凸優(yōu)化問(wèn)題</p>

81、<p><b>　　min</b></p><p><b>　　s.t.</b></p><p>　　來(lái)求解該線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys的可行性問(wèn)題。</p><p>　　這個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)值用tmin表示，作為求解器feasp輸出的第一個(gè)分量。如果tmin<0，則系統(tǒng)lmisys是可行的。當(dāng)系統(tǒng)

82、lmisys為可行時(shí)，求解器feasp輸出的第二個(gè)分量xfeas給出了線性矩陣不等式系統(tǒng)決策變量的一個(gè)可行解。進(jìn)而，應(yīng)用dec2mat可以得到系統(tǒng)lmisys矩陣變量的一個(gè)可行解。</p><p>　　求解器feasp的輸入變量target為min設(shè)置了目標(biāo)值，使的只要tmin<target，則優(yōu)化迭代過(guò)程就結(jié)束。Target=0是feasp的默認(rèn)值。</p><p>　　可選擇的輸

83、入量options是一個(gè)5維向量，它用來(lái)描述優(yōu)化迭代過(guò)程中的一些控制參數(shù)：</p><p>　　●options(1)：該分量不用。</p><p>　　●options(2)：該參數(shù)設(shè)定優(yōu)化迭代工程中允許的最大迭代次數(shù)(該參數(shù)的默認(rèn)值是100)。</p><p>　　●options(3)：該參數(shù)設(shè)定了可行域的半徑。options(3)=R>0表示限制決策變

84、量在球體</p><p>　　中，或者說(shuō)向量xfeas的歐式范數(shù)不超過(guò)。該參數(shù)的默認(rèn)值是。</p><p>　　可行域半徑的設(shè)定可以避免產(chǎn)生具有很大數(shù)值的解x，同時(shí)也可以加快計(jì)算過(guò)程，改進(jìn)數(shù)值穩(wěn)定性。</p><p>　　●options(4)：該參數(shù)用于加快迭代過(guò)程的結(jié)束，它提供了反映優(yōu)化過(guò)程中迭代速度和解的精度之間的一個(gè)折中指標(biāo)。當(dāng)該參數(shù)取值為一個(gè)正整數(shù)時(shí)，表示

85、在最后的次迭代中，如果每次迭代后的減小幅度不超過(guò)1%，則優(yōu)化迭代過(guò)程就停止。該參數(shù)的默認(rèn)值是10。</p><p>　　●options(5)：options(5)=1表示不顯示迭代過(guò)程中的數(shù)據(jù)，options(5)=0(默認(rèn)值)則相反。</p><p>　　將options(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過(guò)忽略該輸入變量來(lái)接受默認(rèn)值。</p>&l

86、t;p>　　例3：求滿足的矩陣，使的</p><p><b>　　(2-9)</b></p><p><b>　　(2-10)</b></p><p><b>　　(2-11)</b></p><p><b>　　其中：</b></p>

87、<p><b>　　,,</b></p><p>　　為了調(diào)用feasp，我們首先確定線性矩陣不等式系統(tǒng)：</p><p>　　setlmis([])</p><p>　　p=lmivar(1,[2 1])</p><p>　　lmiterm([1 1 1 p],1,A1,’s’) %LMI

88、 #1</p><p>　　lmiterm([2 1 1 p],1,A2,’s’) %LMI#2</p><p>　　lmiterm([3 1 1 p],1,A3,’s’) %LMI#3</p><p>　　lmiterm([-4 1 1p],1,1) %LMI#4:p</p><p&

89、gt;　　lmiterm([4 1 1 0],1) %LMI#4:I</p><p>　　lmis=getlmis</p><p>　　然后調(diào)用feasp來(lái)求該現(xiàn)行矩陣不等式系統(tǒng)的一個(gè)可行決策變量：</p><p>　　[tmin,xfeas]=feasp(lmis)</p><p>　　得到tmin=-3.13

90、63。因此，線性矩陣不等式系統(tǒng)lmis是可行的。應(yīng)用dec2mat</p><p>　　pp=dec2mat(lmis,xfeas,p)</p><p>　　得到問(wèn)題的可行矩陣變量值：</p><p>　　在求解這個(gè)可行性問(wèn)題的過(guò)程中，也可以附加一些約束，例如，要求矩陣的Frobenius范數(shù)不超過(guò)10，且tmin-1。也可以通過(guò)調(diào)用</p><

91、p>　　[tmin,xfeas]=feasp(lmis,[0,0,10,0,0],-1)</p><p>　　來(lái)達(dá)到這些附加要求。相應(yīng)的結(jié)果是tmin=-1.1745，相應(yīng)的矩陣P的最大特征值是。</p><p>　　如何從決策變量到矩陣變量以及從矩陣變量到?jīng)Q策變量</p><p>　　當(dāng)現(xiàn)行矩陣不等式由相應(yīng)的矩陣變量描述時(shí)，線性矩陣不等式求解器涉及的是由這些

92、矩陣變量中的獨(dú)立元所組成的決策向量x。兩個(gè)函數(shù)mat2dec和dec2mat可以實(shí)現(xiàn)這兩種變量之間的轉(zhuǎn)換。</p><p>　　考慮一個(gè)具有三個(gè)矩陣變量、、的線性矩陣不等式系統(tǒng)。給定這些變量的特定值X1、X2、X3，那么由mat2dec可以得到相應(yīng)的決策向量的值：</p><p>　　xdec=mat2dec(lmisys,x1,x2,x3)</p><p>　　如

93、果lmisys后分量的個(gè)數(shù)和線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys中的矩陣變量個(gè)數(shù)不符，則系統(tǒng)會(huì)提示一個(gè)出錯(cuò)信息。</p><p>　　這個(gè)函數(shù)在線性矩陣不等式求解器mincx或gevp的初始化中也是很有用的。例如，給定、、的一個(gè)初始猜測(cè)值，mat2dec就形成了相應(yīng)決策向量的初始值xinit。</p><p>　　反之，給定決策向量的一個(gè)值xdec，那么可以通過(guò)函數(shù)dec2mat給出相應(yīng)的第k個(gè)

94、矩陣的取值。例如，一下的表示式可以給出第2個(gè)矩陣變量的取值：、</p><p>　　x2=dec2mat(lmisys,xdec,2)</p><p>　　函數(shù)dec2mat中的最后一個(gè)分量表明了要求的是第2個(gè)矩陣變量，這里也可以用lmivar定義的相應(yīng)矩陣變量的變量名。</p><p>　　矩陣變量和決策變量的總數(shù)分別由matnbr和decnbr給出。另外，函數(shù)d

95、ecinfo提供了決策變量和矩陣變量之間關(guān)系的一些詳細(xì)信息。</p><p>　　第3章 時(shí)滯項(xiàng)可微系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件</p><p><b>　　3.1 主要結(jié)果</b></p><p>　　在這一節(jié)，分析時(shí)變時(shí)滯連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用時(shí)滯導(dǎo)數(shù)相關(guān)李雅普諾夫函數(shù)得到了一個(gè)充分條件。</p><p><b

96、>　　考慮下面線性系統(tǒng)</b></p><p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　其中，是狀態(tài)變量， 是適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣，時(shí)滯項(xiàng)是時(shí)變連續(xù)函數(shù)并且滿足</p><p><b>　?。?-3）</b&

97、gt;</p><p>　　和 （3-4）</p><p>　　其中是常數(shù)。初始條件()是連續(xù)的向量值函數(shù)。</p><p>　　在之前的文章中，例如[3]和[6]，時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上界應(yīng)該小于1。雖然[7-8]中的結(jié)果可以應(yīng)用到的情況，其穩(wěn)定條件

98、與時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上界無(wú)關(guān)。</p><p>　　對(duì)于(3-1)~( 3-4)所描述的時(shí)滯系統(tǒng)，式</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　?。ㄆ渲?， ）常被作為李雅普諾夫函數(shù)（例如[6-7],[11]）。但是，如果，則這一項(xiàng)就是冗余的，因?yàn)?lt;/p><p><b>　　其中。</b&g

99、t;</p><p>　　這說(shuō)明時(shí)滯項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)沒(méi)有考慮進(jìn)去，這顯然是不合理的。</p><p>　　實(shí)際上，時(shí)滯導(dǎo)數(shù)大于等于1的情況是很普遍的。例如，在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)里，時(shí)滯項(xiàng)表示,其中是采樣時(shí)刻。所以，這一類時(shí)滯幾乎在時(shí)處處滿足。</p><p>　　對(duì)于的情況下，如果選擇了一個(gè)正數(shù)滿足，則有 </p><p><b>　?。?-6

100、）</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　?。?-7） </b></p><p>　　所以此時(shí)，項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)考慮了進(jìn)去。</p><p>　　在此事實(shí)基礎(chǔ)上，可獲得一下定理。 </p><p>　　定理

101、1 對(duì)于給定標(biāo)量（滿足），如果存在矩陣</p><p><b>　　，使</b></p><p><b>　　（3-8）</b></p><p>　　那么，(3-1)~( 3-4)所描述的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。其中，</p><p>　　證明 構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)</p><

102、p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　其中，是需要確定的矩陣。</p><p>　　根據(jù)萊布尼茨-牛頓公式，以下等式對(duì)于任何維數(shù)合適的矩陣和</p><p><b>　　都是成立的： </b></p><p><b>　　（3-10）</b></p

103、><p><b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　（3-12）</b></p><p><b>　?。?-13）</b></p><p><b>　　（3-14）</b></p><p><b>　　其中

104、</b></p><p>　　或者，以下等式正確：</p><p><b>　?。?-15）</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　對(duì)，取沿著（3-1）

105、的軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可得</p><p><b>　　(3-18)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　通過(guò)Schur補(bǔ)可得，不等式</p><p><b>　　與下式等價(jià)</b></p><p><b>　　(

106、3-19)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　所以，如果成立，，則對(duì)于所有, 有成立。</p><p>　　記 ， （3-20）</p><p><b>　　其中<

107、/b></p><p>　　且是非奇異的，所以當(dāng)時(shí)有。</p><p>　　相反地，如果成立，則通過(guò)(20)可以看出也成立如果令</p><p>　　所以，當(dāng)且僅當(dāng)成立時(shí)成立。</p><p>　　注釋1 定理1基于線性矩陣不等式（LMIs）給出了一個(gè)新的穩(wěn)定判據(jù)，而且這個(gè)判據(jù)與已有的用于普通時(shí)滯系統(tǒng)的判據(jù)不同。它的創(chuàng)新性體現(xiàn)在兩個(gè)方面

108、。第一，利用了時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的信息，即使時(shí)滯導(dǎo)數(shù)的上界不滿足小于1的條件。第二，通過(guò)牛頓-萊布尼茨公式引入的加權(quán)矩陣，通過(guò)式(3-20)都在最終的穩(wěn)定判據(jù)中被消除。與現(xiàn)存的結(jié)論相比較，定理1有較少的決策變量，所以在數(shù)學(xué)與計(jì)算方面更簡(jiǎn)便有效。</p><p>　　注釋2 定理1展示了單時(shí)滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。利用定理1中提出的理論，我們也可以得到多時(shí)滯系統(tǒng)的新的穩(wěn)定條件。</p><p>　　對(duì)于

109、的情況，我們可以直接從定理1得到以下推論。</p><p>　　推論1 對(duì)于給定標(biāo)量和（且滿足），如果存在矩陣</p><p><b>　　使</b></p><p><b>　?。?-21）</b></p><p>　　成立，那么，(1)~(4)所描述的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。其中，</p>

110、<p>　　3.2 與現(xiàn)有結(jié)果的聯(lián)系</p><p>　　在上一部分中，提出了系統(tǒng)(3-1)～(3-4)的基于LMI的時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定條件。下面，我們將要證明[3]，[7]和[8]中得到的穩(wěn)定條件比定理1中具有更大的保守性。另外，與[11]相比，[3]中的結(jié)論可以被進(jìn)一步簡(jiǎn)化。</p><p>　　為了便于比較，[8]中的結(jié)論被列為一下幾個(gè)引理：</p><

111、p>　　引理1 對(duì)于給定標(biāo)量和，如果存在矩陣</p><p>　　和，使以下線性矩陣不等式成立，</p><p><b>　　(3-22)</b></p><p>　　那么，線性系統(tǒng)(3-1)~( 3-4)是漸近穩(wěn)定的。其中，</p><p>　　下面，我們將證明定理1比引理1具有更低的保守性。</p>

112、<p>　　定理2 如果不等式(3-22)成立，則不等式(3-8)也是成立的。</p><p>　　證明 如果不等式(3-22)成立，則存在一個(gè)充分小正數(shù)，使</p><p><b>　　(3-23)</b></p><p>　　其中，在(3-22)中已被定義。令(3-19)中的</p><p>　　，

113、且，則根據(jù)Schur補(bǔ)引理（3-19）式與等價(jià)。所以，（3-19）式也成立。因（3-8）式與（3-19）等價(jià)，所以這說(shuō)明（3-8）式也成立。</p><p>　　接下來(lái)，為比較[7]中所述穩(wěn)定性結(jié)果和本文的推論1，需要以下引理。</p><p>　　引理2 如果Z是正定矩陣，是對(duì)稱矩陣，如果都具有合適的維數(shù)，且是正實(shí)數(shù)，則存在一個(gè)對(duì)稱陣,使</p><p><

114、;b>　?。?-24）</b></p><p>　　且 （3-25）</p><p><b>　　成立的充要條件是</b></p><p>　　。 （3-26）</

115、p><p>　　證明（必要性）由式（3-25），我們可以得到</p><p><b>　?。?-27）</b></p><p>　　從（3-24）可以看出，是負(fù)定矩陣，且</p><p><b>　?。?-28）</b></p><p>　　所以，根據(jù)Schur補(bǔ)引理可以得到，式

116、（3-26）成立。</p><p>　　（充分性）如果式（3-26）成立，令并利用Schur補(bǔ)引理，式（3-24）與式（3-26）等價(jià)，且</p><p><b>　?。?-29）</b></p><p>　　所以，式（3-25）成立。</p><p>　　現(xiàn)在，我們把[7]中的定理2重列如下，</p>&

117、lt;p>　　引理3 ，如果存在正定陣，半正定陣，和任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣和，使</p><p><b>　?。?-30）</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　?。?-31）</b></p><p>　　成立，（其中）則系統(tǒng)(3-1)

118、~( 3-4)是漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　下面的定理表明推論1中的穩(wěn)定條件比引理3中的穩(wěn)定條件具有更低的保守性。</p><p>　　定理3 如果不等式（3-30）和（3-31）成立，則不等式（3-21）也成立。</p><p>　　證明 根據(jù)引理2，滿足式（3-31）條件下，不等式（3-30）與下式等價(jià)</p><p><b&

119、gt;　　（3-32）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　與式（3-20）相似，不等式（3-32）與下式等價(jià)</p><p><b>　?。?-33）</b></p><p><b>　　其中。</b></p>&

120、lt;p>　　所以，由式（3-33）可以看出，存在一個(gè)充分小的正數(shù)，使下式成立</p><p><b>　　（3-34）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　令,根據(jù)Schur補(bǔ)引理，可以從式（3-34）看出不等式（3-21）是成立的。</p><p>　　

121、最后，為說(shuō)明[3]和本文推論1中的穩(wěn)定條件的聯(lián)系，我們把[3]中的引理1重列如下。</p><p>　　引理4 給定和，如果存在矩陣和</p><p>　　滿足以下線性矩陣不等式（LMI）:</p><p><b>　　（3-35）</b></p><p>　　且