22213.孤子方程的達布變換及精確解

1、校學校代碼：10385分類號:研究生學號：1200213004密級:孤子方程的達布變換及精確解孤子方程的達布變換及精確解Darbouxtransfmationexplicitsolutionsofsolitonequations作者姓名作者姓名：黃麗麗黃麗麗指導(dǎo)教師：指導(dǎo)教師：張金順張金順教授教授學科：科：基礎(chǔ)數(shù)學基礎(chǔ)數(shù)學研究方向：研究方向：孤子理論與可積系統(tǒng)孤子理論與可積系統(tǒng)所在學院：所在學院：數(shù)學科學學院數(shù)學科學學院論文提交日期：二

2、零一五年論文提交日期：二零一五年六月六日摘要I摘要Darboux變換是非線性方程的譜問題的規(guī)范變換，是得到孤子方程解的非常有效的方法之一。利用Darboux變換可以得到孤子方程的1孤子解、2孤子解及多孤子解。在構(gòu)造Darboux變換時選擇合適的參數(shù)，從而減少求解時的運算量，得到很多有價值的解。再結(jié)合經(jīng)典的孤子理論，將Darboux變換和非線性系統(tǒng)的Lax對聯(lián)系起來，利用Crum定理可以直接地顯示得到二次和三次Darboux變換等，()(

3、)()uuu???????????，從一個孤子解得到n孤子解。求解Darboux變換的方法有很多種，具體到某個孤子方程，用哪種方法對此方程進行變換，這就要根據(jù)方程的具體形式來判定。對于具有高階Lax矩陣的孤子方程的Darboux變換的研究還比較少，主要因為它的復(fù)雜性。在做此類方程的變換的過程中，需要多嘗試幾次。本文考慮三類重要的孤子方程：第一部分介紹了達布變換的基本理論并給出了最原始的達布變換，以此為基礎(chǔ)構(gòu)造三個非線性方程的達布變換。第

4、二部分考慮柱kdv方程，首先由方程所滿足的譜問題導(dǎo)出其Darboux變換，再利用常數(shù)變易法得到單孤子解。以已知解為種子，利用Darboux定理及Crum定理求出其雙孤子解并推廣到n孤子解。第三部分考慮孤子方程組BoussinesqBurgers系統(tǒng)，首先由零曲率方程推導(dǎo)出此系統(tǒng)，再由系統(tǒng)所滿足的譜問題，導(dǎo)出其Darboux變換，并給出此變換與兩種基本達布變換之間的關(guān)系，進而以01??vu作為種子解，利用常數(shù)變易法得到單孤子解及雙孤子解。