脊波、曲線波和偏微分方程在圖像處理中的算法研究.pdf

1、尋求客觀事物的“稀疏”表示方法，是計算機視覺、數(shù)學(xué)、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域的專家學(xué)者們致力于的目標(biāo)。小波分析之所以成功，一個重要的原因是其對范圍廣泛的函數(shù)類的“稀疏”表示能力，尤其表現(xiàn)為對“點奇異”的最優(yōu)非線性逼近能力。然而，對于含線奇異、面奇異的二維或高維函數(shù)，小波的非線性逼近能力卻不盡如人意，事實上，此時M項非線性逼近誤差εn(M)=|∫M-∫|2的衰減速度只能達到D(M-1)。小波分析的不足，促使人們開始從不同角度試圖尋找比小波更好的“稀

2、疏”表示工具。脊波理論由Emmanuel J.Candes在1998年提出，脊波變換對含直線奇異的多變量函數(shù)具有最優(yōu)非線性逼近性能。后來，(Candes又提出了曲線波的概念，曲線波變換對含有曲線奇異的多變量函數(shù)具有最優(yōu)的非線性逼近階。由于脊波、曲線波的這種能力，這使得它們在圖像處理中比起小波具有一定的優(yōu)勢，更能保持圖像的邊緣，所以它們越來越受到廣大研究者的重視。在數(shù)學(xué)圖像處理中，相對于計算調(diào)和分析方法，另外一種方法就是偏微分方程方法。自

3、從Perona和Malik在1990年引入了各向異性擴散的概念，人們提出了無數(shù)的各向異性擴散模型。這些模型在圖像去噪、圖像增強、邊緣檢測等方面具有很好的效果。時至今日，偏微分方程方法仍然是圖像處理中的一個重要方法，是近年來圖像處理的熱點。本文將對脊波、曲線波和偏微分方程中有關(guān)領(lǐng)域的若干算法進行探討，得到了一些新的有意義的算法。 (1)有限脊波變換方法是脊波變換的一種數(shù)字化實現(xiàn)方法，其核心是有限Radon變換的實現(xiàn)。本文針對有限R

4、adon變換中每一斜率投影的排序問題，利用Besov空間光滑模理論，在時域構(gòu)造了一種光滑性判別函數(shù)，以判別函數(shù)值最小的序作為最優(yōu)序，從而給出了一種新的自適應(yīng)排序算法。用該算法對圖像進行壓縮和去噪，得到了很好的效果。 (2)基于真脊函數(shù)的數(shù)字脊波變換是另一種脊波變換的數(shù)字化實現(xiàn)方法。比起有限脊波，它克服了環(huán)繞噪聲，但是它不具有正交性，而是構(gòu)成一個緊框架。這樣，在對圖像做稀疏逼近時并不是最優(yōu)的。本文給出了數(shù)字脊波重構(gòu)算法的全局對偶框

5、架(GDF)表示，提出了局部對偶框架(LDF)的新概念，并討論了LDF的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上給出了一種基于(LDF)的新的數(shù)字脊波重構(gòu)算法。該算法減少了脊波重構(gòu)的冗余，保持了快速計算的特點，提高了逼近的效果。用該算法對圖像進行壓縮和去噪，得到了很好的結(jié)果。 (3)曲線波變換是脊波變換的衍生物，它是由多尺度脊波變換合并帶通濾波器得到的，它對具有曲線奇異的圖像具有很好的逼近效果。因而對于含有邊緣的圖像，小波不能很好的探測出線奇異并且會讓

6、去噪后的圖像邊緣變的模糊，然而曲線波能很好的保持圖像的邊緣，獲得很好的去噪效果。本文基于曲線波變換的思想，提出了一種新的數(shù)字曲線波變換的重構(gòu)算法。我們的算法具有更稀疏的表示并且計算量較小。我們用提出的算法對圖像進行去噪，得到了比原始算法好得多的結(jié)果。 (4)相對于各向同性擴散，各向異性擴散引入了一個關(guān)于圖像梯度的空間變化的擴散系數(shù)。在圖象梯度大的地方做弱的擴散，在圖象梯度小的地方做強的擴散，因而在去噪的同時很好的保留了圖像的邊緣

7、，而且不會產(chǎn)生像小波、曲線波引起的Gibbs震蕩，是一種很好的圖像處理方法。本文提出了一種新的各向異性分?jǐn)?shù)擴散模型，這些方程是圖像灰度值函數(shù)的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的絕對值的一個增函數(shù)的歐拉.拉格朗日方程，所以該模型可以被看成二階和四階各向異性擴散模型的推廣。我們用離散傅立葉變換計算分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)并且得到了一個在頻域的迭代算法。這個算法導(dǎo)致輸入圖像被看成一個周期圖像。為了克服這個問題，我們將圖像關(guān)于它的邊緣對稱的延拓(折疊算法)。最后，我們給出了在去噪實

8、際的圖像上的數(shù)值結(jié)果，實驗結(jié)果表明提出的分?jǐn)?shù)階各向異性擴散模型產(chǎn)生了很好的視覺效果和信噪比。 (5)將圖像分解為卡通部分(有界變差部分)和震蕩部分(紋理部分)是近年來圖像處理的一個重要問題。圖像的卡通部分是由一個有界變差(BV)函數(shù)來刻畫，相應(yīng)的將BV罰項合并到變分泛函中需要解偏微分方程。DaubechJes用Besov罰項代替BV罰項并且用小波解變分問題。 按照這種思想，我們通過設(shè)計一種數(shù)字曲線波算法和一種依賴于尺度的