Maxwell-Bloch方程的分叉與混沌研究.pdf

1、本文運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的方法研究了一類三維Maxwell-Bloch系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，包括平衡點(diǎn)的分叉及其穩(wěn)定性分析、Hopf分叉分析，用廣義Hamilton擾動(dòng)系統(tǒng)理論研究了周期軌道和同宿軌道的存在性，用Lyapunov指數(shù)討論了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)等情況.Maxwell-Bloch系統(tǒng)是一類重要的非線性動(dòng)力系統(tǒng).近年來(lái)對(duì)于Maxwell-Bloch系統(tǒng)已經(jīng)有了很多數(shù)值研究成果.此類系統(tǒng)在機(jī)械工程、光學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)等許多領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用.此系

2、統(tǒng)由如下方程組給出:｛(E)=-kE+gP(P)=-r⊥P+gE△(1)(△)=-r‖(△-△0)-4gPE
　　 為了方便分析，本文主要研究將其簡(jiǎn)化后得到的三維模型.｛(x)=-η1x+y(y)=-η2y+xz(2)(z)=-(z－η3)－xy本文先求出當(dāng)η3＞η1η2時(shí)，系統(tǒng)(2)有三個(gè)平衡點(diǎn):分別為A(0，0，η3)，B（√η3－η1η2/η1，η1√η3－η1η2/η1，η1η2），C（-√η3－η1η2/η1，-η1√

3、η3－η1η2/η1，η1η2），并且平衡點(diǎn)B，C是對(duì)稱的.當(dāng)η3≤η1η2時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)A平衡點(diǎn).對(duì)于平衡點(diǎn)A，通過(guò)理論分析和證明可知，當(dāng)η3≤η1η2時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的;當(dāng)η3＞η1η2時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.而對(duì)于B、C平衡點(diǎn)，對(duì)于任意的η1＞0,η2＞0，η3＞η1η2，i）平衡點(diǎn)B、C是漸近穩(wěn)定的充要條件為η1≤1+η2或η1＞1+η2且η3＜η21(1+η1+3η2)/η1－η2－1.ii）當(dāng)η1＞1+η2，η3＞η21(1

4、+η1+3η2)/η1－η2－1平衡點(diǎn)B、C是不穩(wěn)定的.然后根據(jù)Hopf分叉理論通過(guò)理論分析證明了當(dāng)給定相同參數(shù)條件下，B、C平衡點(diǎn)同時(shí)會(huì)發(fā)生亞臨界的Hopf分叉.為了說(shuō)明理論分析的可靠性，本文在取定參數(shù)η1=4，η2=1，η3作為自由參數(shù)情況下，當(dāng)η3=(η)3=64時(shí)，得到了平衡點(diǎn)B、C會(huì)同時(shí)發(fā)生亞臨界的Hopf分叉現(xiàn)象，并且用Matcont軟件畫出了相應(yīng)的分叉圖.
　　 本文還將Maxwell-Bloch方程通過(guò)適當(dāng)?shù)某叨?/p>