撓乘SL(2,Z)上自守尖形式傅里葉系數的指數和估計.pdf

1、設{an｝是階為1的算數序列.考慮如下形式的指數和:S(α，X)=∑n≤Xane（αn）.這個問題最早由Hardy和Littlewood在1914年提出.S（α，X）關于α的平凡估計是O(X1+ε)，最好的一致估計是O(X1/2+ε).
　　 當an取SL(2，(Z))上模形式或自守形式f的標準化傅里葉系數λf(n)時，許多人研究了這一問題.令f是SL(2，(Z))上權為k的全純尖形式.λf(n)表示f的標準化傅里葉系數:f(z

2、)=∞∑n=1λf(n)n(k-1)/2e(nz)， Imz＞0.Wilton在1929年證明了∑n≤Xλf(n)e(αn)(《)εX1/2+(ε)關于α一致成立.這是最好的一致估計結果.如果考慮非一致估計，則對某些α可以得到很大的改進.
　　 類似形式的指數和估計與解析數論中的很多重要問題都密切相關.例如，利用Wilton的估計，Titchmarsh得到了L-函數L(s)=∑n≥1ann-s的平方均值估計:∫X-X|L(1/2

3、+it)|2dt(《)εX1+ε.
　　 在本文中，我們考慮帶有平滑因子的指數和∑n(φ)（n/X）λf（n）e(αn)的非一致估計.對于一些特殊的α，我們得到了速降的估計，這些結果優(yōu)于O（X1/2+ε）.我們使用的數學工具主要包括Dirichlet有理逼近，Voronoi求和公式和Bessel函數的近似估計.
　　 定理1.1設(φ)(x)∈C∞(0.+∞)是支集為[a,b]的無窮可微函數.令α=a/q+λ，其中（a，

4、q）=1，且|λ|＜1/X，q2＜X1-ε，則∑n＞0λf(n)(φ)（n/X）e(αn)(《)f，H，εX-H對任意H＞0成立.
　　 當α為有理數時，由定理1.1可以立即得到下面的推論.
　　 推論1.2設(φ)(x)∈C∞(0.+∞)是支集為[a,b]的無窮可微函數.設(a,q)=1，且q2＜ X1-ε，則∑n＞0λf(n)(φ)（n/X）e（a/qn）(《)f，H,εX-H對任意H＞0成立.
　　 當q=

5、1時，推論1.2變?yōu)椤苙＞0λf(n)(φ)（n/X）(《)f,HX-H對任意H＞0成立.
　　 對無理數α，若存在最小的(τ)(α)，使得對任意μ＞(τ)（α），|α-a/q|＜q-u只有有限多個解，則(τ)(α)稱為α的逼近指數.當(τ)(α)＞2時，利用定理1.1可得如下結論:
　　 推論1.3對任意固定超越數α，若(τ)(α)＞2，則存在序列Xk→∞，使得∑n＞0λf(n)(φ)（n/Xk）e(αn)(《)f，H