自守L-函數(shù)的均值估計(jì).pdf

1、在解析數(shù)論中,關(guān)于黎曼ζ-函數(shù)和L-函數(shù)的均值估計(jì)是非常重要的問題,相關(guān)結(jié)論在數(shù)論中有非常重要的應(yīng)用.本文,我們將研究自守L-函數(shù)的均值估計(jì).
　　 設(shè)κ是一個(gè)正偶數(shù),f(z)是定義在全模群Γ=SL2(z)上權(quán)為к的全純尖形式,假設(shè)f(z)是標(biāo)準(zhǔn)化了的全體Hecke算子的特征函數(shù),則f(z)在其尖點(diǎn)∞處的傅立葉展式為
　　 這樣的f(z)被稱為全純的Hecke特征形.對(duì)于Hecke特征形f,存在L-函數(shù)
　　 其

2、中Res>1.我們稱其為Hecke L-函數(shù).
　　 在本文的前兩章,我們主要考慮L(f,s)的積分均值問題,即估計(jì)
　　 其中κ是大于0的實(shí)數(shù).對(duì)黎曼ζ-函數(shù)而言,很多作者(見[1],[3],[15]等)考慮了積分均值
　　 并猜想Mκ(Т)滿足漸近公式Mκ(Т)~Cκ(Т)(logТ)к2,其中Ск是正常數(shù).但至今只有在к=1(Hardy和Littlewood,見[30])和к=2(Ingham,見[30])

3、時(shí)被證明成立.不過當(dāng)к為其他值時(shí),很多人考慮了Mк(Т)的上界和下界,尤其是下界在很多情況下被證明滿足猜想下界,即Mк(Т)》Т(logТ)к2.例如Heath-Brown在[8]中證明了當(dāng)к為正有理數(shù)時(shí),Mк(Т)》Т(logТ)к2;；當(dāng)к=1/n>0,n為正整數(shù)時(shí),Mк(Т)《Т(logТ)к2.
　　 利用Heath-Brown的方法,A.Laurin(c)ikas和J.Steuding[17]研究了Mκ(f,Т)的上界

4、和下界,證明了當(dāng)κ=1/n時(shí),
　　 在廣義黎曼猜想下,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
　　 在第一章中,我們將進(jìn)一步利用Heath-Brown的方法,并結(jié)合L(f,s)κ的Fourier系數(shù)的均值估計(jì)來改進(jìn)[17]的結(jié)果.結(jié)論如下:
　　 定理1.1.設(shè)κ∈Q,κ>0,則當(dāng)Т→∞時(shí),
　　 假設(shè)關(guān)于L(s,f)的廣義黎曼猜想成立,則上式對(duì)任意的實(shí)數(shù)κ>0成立,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)0<κ<1,
　　 可以看出當(dāng)κ大時(shí),要

5、得到Mκ(Т)和Mκ(f,Т)的猜想上界是很困難的.最近,Soundararajan[29]用另一種方法研究了Mκ(Т)的上界,證明了在黎曼猜想下對(duì)任意的正實(shí)數(shù)κ和任意的∈>0,
　　 雖然此上界比猜想上界差一點(diǎn),但κ的范圍能取到全體正實(shí)數(shù).利用Soundararajan的方法,Ivi(c)[10]得到了一個(gè)小區(qū)間結(jié)果,在黎曼猜想下對(duì)任意的正實(shí)數(shù)κ,其中Н=Тθ,0<θ≤1.
　　 在第二章,我們將利用[29]中的方法結(jié)

6、合L(f,s)的相關(guān)結(jié)論來研究Mκ(f,Т)的上界,得到下面的結(jié)論.
　　 定理2.1.假設(shè)L(f,s)的廣義黎曼猜想成立,設(shè)λο是滿足eλο=λο+λ2o/2的唯一解.則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)κ>2e-λo/2,我們有
　　 定理2.2.假設(shè)L(f,s)的廣義黎曼猜想成立,設(shè)λο是滿足eλο=λο+λ2o/2的唯一解.則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)κ>2e-λo/2,我們有
　　 其中
　　 很多作者也考慮過離散均值問題,例

7、如在[25],[26],[28]等文章中,作者考慮了幾類L-函數(shù)的離散均值問題.近來,扭曲L-函數(shù)的均值問題也引起了很多的關(guān)注.在
　　 [28]中Soundararajan和Young考慮了扭曲L-函數(shù)L(s,f()xd)的二次均值,給出了下界估計(jì).在第三章中,我們將研究另一種扭曲L-函數(shù)的均值,即
　　 其中L(s,f()x)是由尖形式f結(jié)合Dirichelt特征x所形成的自守形式對(duì)應(yīng)的L-函數(shù),定義如下:
　

8、　 我們將分別用Heath-Brown[9]及Rudnick和Soundararajan[25]的方法來估計(jì)Mκ(q,f)的上界和下界.在[9]和[25]中作者分別考慮了如下Dirichlet L-函數(shù)離散均值的下界和上界,
　　 其中q是自然數(shù),x是模q的Dirichlet特征.
　　 利用[9]的方法,我們將得到Mκ(q,f)的上界,定理如下:
　　 定理3.1.假設(shè)L(s,f()x)的廣義黎曼猜想成立,則