KAM理論及其應(yīng)用.pdf

1、本文主要包含兩部分內(nèi)容.其一，利用KAM理論研究了一類次線性反轉(zhuǎn)系統(tǒng)的Lagrange穩(wěn)定性，即所有解是有界的;其二，利用KAM方法研究了一類退化的斜積系統(tǒng)（包含連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)）的可約化性.自A.N.Kolmogorov[29]，V.I.Arnold[1]及J.K.Moser[48]建立KAM理論以來(lái)，該理論作為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一，在天體力學(xué)和量子力學(xué)中發(fā)揮著重要的作用.動(dòng)力系統(tǒng)理論主要研究物體隨著時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.通常

2、分為兩類:由微分方程描述的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)和由映射迭代描述的離散動(dòng)力系統(tǒng).我們也可認(rèn)為動(dòng)力系統(tǒng)的兩類基本研究對(duì)象分別為微分方程和映射.作為動(dòng)力系統(tǒng)理論研究的重要主題，微分方程和映射有著廣泛的應(yīng)用.例如，物理，特別是力學(xué)，天文學(xué)中許多數(shù)學(xué)模型都是用連續(xù)或離散動(dòng)力系統(tǒng)描述的.
　　眾所周知，Duffing方程在很多的學(xué)科中有重要的應(yīng)用，Littlewood[40]提出研究Duffing方程解的有界性.許多學(xué)者利用KAM理論中的Moser扭

3、轉(zhuǎn)定理研究了Hamilton系統(tǒng)解的有界性，見(jiàn)[10，11，17，18，20，34，36，47，51，72，69，76].由于反轉(zhuǎn)系統(tǒng)和Hamilton系統(tǒng)的某種相似性，很多Hamilton系統(tǒng)的結(jié)果可以推廣到反轉(zhuǎn)系統(tǒng)，見(jiàn)[32，37，70，60].與Hamilton系統(tǒng)情形類似，反轉(zhuǎn)系統(tǒng)研究中最難的也是次線性情形.這方面的結(jié)果也是很少的.
　　黎雄[37]研究了次線性反轉(zhuǎn)系統(tǒng):(x)+f(x)(x)+|x|α-1x=e（t）(0

4、.0.1)解的有界性.最近，王新平[60]考慮了更一般的情形(x)+f(x)g((x)）+γ|x|α-1x=p(t)，(0.0.2)其中0＜α＜1，γ≠0.同時(shí)，假設(shè)下列條件成立:
　　i)f(x)，g(x)∈C4(R），p(t)∈C4(T)，f(x)，p(t)為奇函數(shù)，p(t)為1-周期函數(shù).
　　ii)存在正常數(shù)μ使得，若|x|≥μ，則|xi+1f(i)|≤C|x|α/2-β,|yjg(j)|≤C|j|(Τ)，其中β＞1

5、/2[1+(1+α)(Τ)]，(Τ)＞0.
　　則系統(tǒng)(0.0.2)所有解有界當(dāng)且僅當(dāng)γ＞0.無(wú)論是[37]還是[60]，方程中位勢(shì)函數(shù)均不依賴于時(shí)間t.本文中，作者考慮一類具有周期驅(qū)動(dòng)的次線性反轉(zhuǎn)系統(tǒng)(x)+f(x)(x)+（B+εe（t)）|x|α-1x=p(t)，(0.0.3)其中B≠0，0＜α＜1.
　　假設(shè)該系統(tǒng)滿足下列條件:
　　(A1)f(x)∈C4(R），p(t)∈C3(T)及e(t)∈C3(T)，f(

6、x)和p(t)是奇函數(shù)，e(t)是偶函數(shù)，并且e(t)，p(t)均為以1為周期的周期函數(shù)，其中T=R/Z;
　　(A2)存在正常數(shù)μ使得不等式|xi+1f(i)(x)|≤C|x|α/2-β對(duì)所有的0≤i≤4及|x|≥μ成立，其中0＜β＜α/2，C為大于或等于1的常數(shù).
　　則存在ε**＞0，使得對(duì)任意的0＜ε＜ε**，系統(tǒng)(0.0.3)所有解有界當(dāng)且僅當(dāng)B＞0.此外還證明了系統(tǒng)(0.0.3) Mather型解的存在性.

7、>　　上述問(wèn)題的主要研究思路是通過(guò)利用KAM定理（Moser扭轉(zhuǎn)定理）來(lái)研究相應(yīng)于微分方程的Poincaré映射來(lái)得到方程的Lagrange穩(wěn)定性.
　　本文的另一個(gè)工作是利用KAM理論研究一類微分方程和斜積映射的可約化性.許多學(xué)者廣泛的應(yīng)用KAM理論來(lái)研究微分方程的可約化性問(wèn)題.(A).Jorba[24，25]和徐君祥[67，68，66]分別研究了橢圓和半雙曲退化等情形.
　　本文中，作者考慮更一般的退化情況{(x)=ym

8、+∈(f)1(x，y，t)+h1(x，y，t)，(0.0.4)(y)=xn+∈f2(x，y，t)+(h)2(x，y，t)，其中mn＞1，n≥m.考慮對(duì)應(yīng)的Poincaré映射{(x)=x+ym+∈f1(x,y,θ,∈)+h1(x,y,θ,∈),(y)=y+ xn+∈f2(x，y，θ，∈）+h2(x，y，θ，∈)，(0.0.5)(θ)=θ+ω，以及{(x)=x+y+xn+∈f1(x，y，θ，∈)+h1（x，y，θ，∈），(y)=y+ xn

9、+∈f2(x，y，θ，∈)+h2（x，y，θ，∈），(0.0.6)(θ)=θ+ω.其中ω=(ω1，ω2，…，ωd）∈Rd.并且，fi和hi有形式f1（x，y，θ，∈）=Σ0≤i+j≤nf1ij(θ，∈)xiyj,h1(x，y，θ，∈)=Σi+j≥n+1 h1ij（θ，∈）xiyi，(0.0.7)f2（x，y，θ，∈）=Σ0≤i+j≤n f2ij(θ，∈)xiyj, h2(x，y，θ，∈)=Σi+j≥n+1h2ij（θ，∈）xiyj，(0

10、.0.8)且f(0，0，θ，∈)≠0，h(0，0，θ，∈)=0，記f=(f1，f2)T，h=(h1，h2)T.當(dāng)∈=0時(shí)，u（θ）=0為一雙曲不變環(huán).這里稱f為低階項(xiàng)，h為高階項(xiàng).不失一般性，我們假設(shè)n≥m.如果n≤m，可得類似的結(jié)果.
　　記(c，γ)類型的Diophantine向量的集合為DC(c，γ)，即若ω∈DC(c，γ)，有|（k，ω）-l|≥c|k|γ，(V)k∈Z\{0}， l∈Z，其中|k|=|k1|+…+|kd|

11、，c＞0，γ＞d-1.記[f]為函數(shù)f(θ)關(guān)于θ的平均.
　　令c＞0，γ＞d-1≥0，r＞0，ρ＞0.假設(shè)ω∈DC(c，γ)，hi，fi關(guān)于x，y，∈在原點(diǎn)的一個(gè)開集上實(shí)解析，關(guān)于θ在一帶狀鄰域上解析，且hi，fi分別形如(0.0.7)和(0.0.8)，其中i=1，2.同時(shí)，設(shè)[f100]{＜0當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，≠0當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，和[f200]{＜0當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，≠0當(dāng)n是奇數(shù)時(shí).則存在足夠小的∈0＞0，使得當(dāng)∈＜∈0時(shí)，映射(0

12、.0.5)至少有一個(gè)解析的弱雙曲不變環(huán).
　　類似的，對(duì)于映射(0.0.6)，得到如下結(jié)果:令c＞0，γ＞d-1≥0，r＞0，ρ＞0.假設(shè)ω∈DC(c，γ)，hi，fi關(guān)于x，y，∈在原點(diǎn)的一個(gè)開集上實(shí)解析，關(guān)于θ在一帶狀鄰域上解析，且hi，fi分別形如(0.0.7)和(0.0.8)，其中i=1，2.同時(shí)，設(shè)[f200]{＜0當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，≠0當(dāng)n是奇數(shù)時(shí).則存在足夠小的∈0＞0，使得當(dāng)∈＜∈0時(shí)，映射(0.0.6)至少有一個(gè)解析

13、的弱雙曲不變環(huán).
　　上述結(jié)果除了其本身所具有的意義之外，還解決了相應(yīng)的具有半退化或完全退化平衡點(diǎn)的微分方程(0.0.4)的可約化性問(wèn)題.
　　本文共分為四章，具體安排如下:
　　第一章，介紹了經(jīng)典KAM理論及反轉(zhuǎn)系統(tǒng)和可約化性的相關(guān)理論以及研究現(xiàn)狀.同時(shí)還給出了本文的主要結(jié)果以及問(wèn)題的難點(diǎn).
　　第二章，考慮了反轉(zhuǎn)系統(tǒng)(x)+ f(x)(x)+(B+εe(t))|x|α-1x=p(t)解的有界性.給出了一個(gè)充分

14、必要條件.同時(shí)，證明了Mather型解的存在性.
　　第三章，考慮了一類退化系統(tǒng){(x)=x+ym+∈f1(x，y，θ，∈)+h1(x，y，θ，∈），(y)=y+ xn+∈f2(x，y，θ，∈）+h2(x，y，θ，∈），(θ)=θ+ω,其中mn＞1，n≥m，f為關(guān)于x，y低于階n+1的低階項(xiàng)，h為關(guān)于x，y高于階n+1的高階項(xiàng)，并且ω=(ω1，ω2，…，ωd)∈Rd為有理無(wú)關(guān)的頻率向量.則如果ω是Diophantine的，且∈＞0

15、足夠小，該映射至少有一個(gè)弱雙曲不變環(huán)，其中弱的意思為相應(yīng)的特征值接近于1.同時(shí)可得相應(yīng)的微分方程有擬周期解.
　　第四章，我們考慮光滑映射{(z)=Az+∈f（z，θ）+h(z，θ)，(θ)=θ+ω,其中z∈Rn，n≥1，f=(f1，f2)T，h=(h1，h2)T，f，h∈Ckr,ρ(Rn×Td，Rn)，k∈{1，2,…，∞，ω}，即函數(shù)f，h可以是任意階光滑或解析的，A為n×n階矩陣，且具有n個(gè)異于1的實(shí)特征值，即設(shè)A的特征值為