半線性偏微分方程的分支理論及其應(yīng)用.pdf

1、在半線性偏微分方程的研究領(lǐng)域當(dāng)中有一類非常重要的非線性現(xiàn)象，這類非線性現(xiàn)象就是分支現(xiàn)象，它反應(yīng)的是流的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨參數(shù)的變化而引起質(zhì)的變異。分支問題主要包括局部分支問題、半局部分支問題和全局分支問題。偏微分方程分支問題的研究既要用到經(jīng)典的動力系統(tǒng)理論，又要用到拓?fù)洹⒋鷶?shù)、泛函等相關(guān)知識，其研究具有強(qiáng)烈的實際背景和重大的理論意義。
　　本文利用中心流形理論、規(guī)范型方法以及全局穩(wěn)態(tài)分支定理等數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)方法，針對幾類半線性偏微分方程的

2、局部Hopf分支、全局穩(wěn)態(tài)分支以及圖靈分支進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。本文的主要工作如下：
　　1、利用中心流形理論和規(guī)范型方法，給出了一般的半線性偏微分方程的局部Hopf分支定理：給出了判定Hopf分支存在性的條件，以及判定分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的一般的計算公式。這一定理的提出，為半線性偏微分方程局部Hopf分支的研究提供了方法和途徑；結(jié)合一類具有擴(kuò)散項的捕食與被捕食模型和刻劃CIMA化學(xué)反應(yīng)的Lengyel-Epstein系統(tǒng)，我們

3、證明了這兩類半線性偏微分方程，不但具有空間齊次的周期解，而且還具有空間非齊次的周期解；同時，我們證明了，空間的“大小”影響著空間非齊次分支周期解的個數(shù)：當(dāng)空間區(qū)域足夠大時，空間越“大”，空間非齊次分支周期解的個數(shù)越多。
　　2、利用史峻平和王學(xué)峰的推廣的全局穩(wěn)態(tài)分支定理(該定理指出，在適當(dāng)?shù)臈l件下，局部穩(wěn)態(tài)分支和全局穩(wěn)態(tài)分支是等價的)，給出了適用于一般半線性偏微分方程的簡化的全局穩(wěn)態(tài)分支定理。結(jié)合一類具有擴(kuò)散項的捕食與被捕食模型，

4、給出了這類半線性偏微分方程產(chǎn)生全局穩(wěn)態(tài)分支的條件，并證明了在適當(dāng)?shù)臈l件下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分支曲線將形成一個“線圈”，該“線圈”連接系統(tǒng)的兩個不同的穩(wěn)態(tài)分支點。同時，研究了這類半線性偏微分方程中Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分支之間的相互作用與影響。
　　3、利用適用于一般的半線性偏微分方程處理圖靈分支的方法，在一維的有界的空間區(qū)域上，考慮了刻劃CIMA化學(xué)反應(yīng)的Lengyel-Epstein系統(tǒng)的圖靈分支，得到了易于驗證的一般性的判別準(zhǔn)則。同時，