具有給定平均曲率的圓紋曲面.pdf

1、本文主要研究三維歐氏空間中圓紋曲面的幾何性質(zhì)。設(shè)n=n(s)為每個圓紋所在平面的單位法向量，則圓紋曲面S的參數(shù)方程可以表示為：其中a=n(s)，b=n'(s)，c=n(s)^n'(s)，r(s)和p(s)分別為s-圓紋的圓心和半徑，s為佗的弧長參數(shù)，t是s-圓紋的弧度。 選取標架{X；T,N，B}，其中T=a，N=bcost+csint，B=-bsint+ccost。利用這個標架，計算曲面S的第一基本形式的系數(shù)E，F(xiàn),G和第二基

2、本形式的系數(shù)L,M，N。用[,,]表示R3中的混合積，且令W=EG-F2，則圓紋曲面S的平均曲率可以表示為其中H1=G[X8,Xt,X88]-2F[X8，Xt，X8t]+E[X8,XtXtt]。 接下來，研究平均曲率滿足 H/t=0的圓紋曲面。直接計算可見 H/t=0等價于2H1tW-3H1Wt=0，所以只需研究滿足后者的圓紋曲面。把2H1tW-3H1Wt展成關(guān)于t的Fourier展式，有系數(shù)EiEi是關(guān)于s的光滑函數(shù)。故2H1

3、tW-3H1Wt=0當且僅當Eo=Ei=Fi=0，i=1，2，3，4.經(jīng)過研究，我們得到了以下兩個結(jié)論： 命題1 如果圓紋曲面S滿足 H/=0，則S是球面或rank(φ2)=3。 注：φ2的具體表達式見本論文17頁式(3.3.2)。 命題2 如果s是由位于平行平面里的單參數(shù)圓族生成的圓紋曲面，且 H/t=0，則S是旋轉(zhuǎn)曲面或者黎曼極小曲面。 另外，在選取一個合適的標架，給出圓紋曲面的一個參數(shù)表示之后，我們