關(guān)于Weidmann猜想及具有轉(zhuǎn)移條件微分算子的研究.pdf

1、本文圍繞微分算子領(lǐng)域中的三個(gè)重要問題，即自共軛域、譜分析和具有轉(zhuǎn)移條件的微分算子開展研究．由于自共軛算子的譜是實(shí)的，為了研究與譜分析相關(guān)的算子的零空間和值域，由實(shí)參數(shù)解構(gòu)造的自共軛域的刻畫則顯得尤為重要，同時(shí)我們注意到：微分算子譜的離散性、虧指數(shù)以及微分方程Tu=λu(λ∈R)的實(shí)參數(shù)L<'2>-解空間的維數(shù)都僅僅是由微分算式的系數(shù)決定的，這三者之間應(yīng)有相當(dāng)緊密的聯(lián)系．1987年，Weidmann在其專著“Spectral theor

2、y of ordinary differential operators”[93]中就此提出了著名的猜想：“若對(duì)任意入∈(μ<,1>，μ<,2>)cR，方程(T-λ)u=0有‘充分多’的屬于L<'2>(a，6)的解，則(μ<,1>，μ<,2>)中沒有本質(zhì)譜”．本文在中間虧指數(shù)情形下研究了這些在微分算子領(lǐng)域中十分重要的問題，給出了由實(shí)參數(shù)L<'2>-解對(duì)自共軛域的完全刻畫，包括用實(shí)參數(shù)L<'2>-解構(gòu)造了分離的自共軛邊界條件．特別是當(dāng)λ不

3、是特征值時(shí)，確定了Tu=λu的屬于L<'2>空間的實(shí)參數(shù)解初始條件所應(yīng)具有的“標(biāo)準(zhǔn)”形態(tài)，據(jù)此構(gòu)造了具有分離邊界條件的自共軛算子A<,t>；并運(yùn)用不等式估計(jì)和算子的強(qiáng)預(yù)解逼近證明了：若對(duì)任何λ∈(μ<,1>，μ<,2>)，方程Tu=λu的實(shí)參數(shù)L<'2>-解空間的維數(shù)等于虧指數(shù)時(shí)，最小算子To的任何自共軛擴(kuò)張A在區(qū)間(μ<,1>，μ<,2>)中沒有連續(xù)譜；同時(shí)，通過對(duì)由兩組不同實(shí)參數(shù)解刻畫的自共軛域的結(jié)構(gòu)分析，證明了A的特征值在區(qū)間(μ

4、<,1>，μ<,2>)中是無(wú)處稠密的．本文的結(jié)果對(duì)Weidmann關(guān)于譜分布的猜想給出了一個(gè)很好的解答，揭示了實(shí)參數(shù)解的個(gè)數(shù)與連續(xù)譜存在性的內(nèi)在聯(lián)系。 文章還研究了一類為很多數(shù)學(xué)、物理工作者所關(guān)注的具有某種“不連續(xù)性”的微分算子，即內(nèi)部點(diǎn)處具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問題，包括它們的自共軛性、特征值以及特征函數(shù)系的完備性．我們用自共軛算子的定義直接證明了具有分離邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算

5、子是自共軛的；對(duì)于具有耦合邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子，我們將其放在一個(gè)與轉(zhuǎn)移條件相關(guān)的Hilbert空間中加以處理，引入了新的概念，即與轉(zhuǎn)移條件相關(guān)的最大、最小算子，并證明了它們是相互共軛的．運(yùn)用微分算子的一般理論，給出了這類算子為自共軛的充要條件，構(gòu)造了確定特征值的整函數(shù)及其Green函數(shù)，證明了其特征函數(shù)系是完備的．應(yīng)注意的是：本文給出的自共軛性判別準(zhǔn)則，并不要求轉(zhuǎn)移條件本身是自共軛的，只要求轉(zhuǎn)移條件的系

6、數(shù)矩陣行列式為正數(shù)；進(jìn)一步地，對(duì)于一類邊界條件中帶有特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的S—L算子，通過給出一個(gè)與問題相關(guān)的新的算子，在一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g中證明它是自共軛的，并研究了其特征值與特征函數(shù)的性質(zhì)；最后我們把具有轉(zhuǎn)移條件的問題，抽象為一般的兩區(qū)間上定義的S—L問題，在一個(gè)新的帶有適當(dāng)乘數(shù)參數(shù)的Hilbert空間框架下研究了定義在兩個(gè)區(qū)間上的S—L問題，給出了所有自共軛擴(kuò)張的描述，且其關(guān)聯(lián)邊界條件的實(shí)耦合系數(shù)矩陣K的行列式可為任意正數(shù)。