中心仿射曲面和余二維中心仿射浸入.pdf

1、在1872年的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”中F.Klein把幾何歸結(jié)到可遞變換群的幾何不變量理論中，進(jìn)而加以分類。這樣，對每一個可遞變換群，都可以定義一個隸屬于這個可遞變換群的幾何。仿射空間Rn中的一個向量v經(jīng)過變換之后變成向量(v)，如果它們之間的關(guān)系滿足(v)=Av，A是一個n×n階的非退化矩陣，則變換的全體就構(gòu)成一個可遞變換群，稱為中心仿射變換群。仿射空間Rn中的中心仿射幾何是隸屬于Rn中的中心仿射變換群的幾何，它研究的是圖形在中心仿射變換下

2、的不變性質(zhì)。本文主要討論了子流形在Rn+1（或Rn+2）中的中心仿射變換群G下的不變量和不變性質(zhì)。
　　如果浸入x:M→ Rn+1（或x:M→Rn+2）始終保持位置向量x截于切平面x*（TM），則在切叢TM上存在一個關(guān)于中心仿射變換群G不變的對稱的2-形式g，g此時被稱為x的中心仿射度量。對中心仿射浸入x:M→ Rn+1，王長平計算了中心仿射超曲面的關(guān)于中心仿射度量g的第一和第二變分公式，得到一個新的中心仿射不變量-Tchebyc

3、hev算子。劉會立和王長平進(jìn)一步討論了這個Tchebychev算子，得到了中心仿射Tchebychev曲面(Tchebychev超曲面)的分類。對中心仿射超曲面分類的工作一直是研究中心仿射浸入x:M→ Rn+1的重要工作之一，而分類的方法主要是基于中心仿射不變量和這些不變量之間的關(guān)系。中心仿射浸入的環(huán)繞空間Rn+1中沒有定義度量、中心仿射不變量之間的關(guān)系復(fù)雜以及中心仿射超曲面的范圍廣泛，這些都增加了中心仿射超曲面分類工作的難度。針對這種

4、情況，本篇論文提出了一個解決方法，即先對所有的中心仿射超曲面分成一些大類，然后再考慮這些大類中的小類。本論文主要考慮了中心仿射超曲面中兩大類——中心仿射平移曲面和中心仿射直紋曲面。在論文的第三章中，首先計算了中心仿射平移超曲面的基本結(jié)構(gòu)方程和中心仿射不變量，根據(jù)這些公式和解相關(guān)的偏微分方程，得到了3維仿射空間中的數(shù)量曲率x為常數(shù)的中心仿射平移曲面，Pick不變量J為常數(shù)的中心仿射平移曲面和‖T‖2為常數(shù)的中心仿射平移曲面，其中T是中心仿

5、射Tchebychev向量場。對于中心仿射直紋超曲面，經(jīng)過計算可以得到它的基本結(jié)構(gòu)方程和一些不變量之間的關(guān)系。在3維仿射空間中，經(jīng)過計算得到了中心仿射曲面的Pick不變量J、高斯曲率K、‖T‖2和中心仿射平均曲率H之間的關(guān)系，通過解相關(guān)的偏微分方程給出了3維仿射空間中的線性Weingarten中心仿射直紋曲面的詳細(xì)分類。
　　對余二維中心仿射浸入x:Mn→Rn+2，一直存在兩種不同的研究方式。一方面，Nomizu和Sasaki運用

6、條件trh{T(X，Y)+h（SX，Y）}=0定義了一個預(yù)法化的Blaschke向量場ξ作為第二截向量場，其中h是中心仿射基本形式，S是Weingarten算子，T是一個2形式。另一方面，劉會立在研究余二維的中心仿射浸入時用一種新的方式定義了中心仿射度量g，然后選用△gx作為第二截向量場，其中△g表示度量g的拉普拉斯算子。這樣在研究余二維的中心仿射浸入時，預(yù)法化的Blaschke向量場ξ和向量場△gx都可以作為第二截向量場，它們之間的聯(lián)

7、系和區(qū)別一直以來是大家所關(guān)注的問題。在論文的第四章中，首先運用活動標(biāo)架法計算出余二維的中心仿射浸入x的基本公式和中心仿射不變量，根據(jù)這些公式和不變量，得到了這兩個第二截向量場之間的關(guān)系即ξ=1/n△gx-H/2x，其中H是中心仿射平均曲率，這樣就統(tǒng)一了這兩個第二截向量場，也就是統(tǒng)一了余二維中心仿射浸入的兩種不同結(jié)構(gòu)。接下來使用△gx作為第二截向量場，計算出了余二維的中心仿射浸入第一、第二變分公式，從而定義了余二維的極小中心仿射浸入。可以

8、證明這樣定義的余二維的極小中心仿射浸入也是預(yù)法化的Blaschke向量場ξ作為第二截向量場的極小中心仿射浸入。作為例子，在論文中驗證了R4中Pick不變量恒為零的中心仿射齊性曲面是中心仿射極小的。
　　本文共分為四個部分:第一部分介紹了仿射微分幾何和中心仿射幾何的發(fā)展歷程。第二部分列出了中心仿射微分幾何的預(yù)備知識。第三部分是中心仿射超曲面，主要是關(guān)于R3中中心仿射平移曲面和中心仿射直紋面的一些結(jié)果。第四部分是關(guān)于余二維的中心仿射子