船舶與海洋工程畢業(yè)設計集裝箱船艙口蓋自由振動分析

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　集裝箱船艙口蓋自由振動分析</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 船舶與海洋工程

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　目錄</b></p&g

3、t;<p><b>　　摘要3</b></p><p>　　[Abstract]4</p><p><b>　　1緒論5</b></p><p>　　1.1論文研究的背景和意義5</p><p>　　1.2船舶振動研究現狀6</p><p>　　1.2

4、1螺旋槳激振6</p><p>　　1.22柴油機主機的激振7</p><p>　　1.23波浪激振7</p><p>　　1.24船舶振動預報7</p><p>　　1.25船舶振動的評價8</p><p>　　1.3船舶自由振動研究方法8</p><p>　　1.4有限元法的基本

5、簡述9</p><p>　　1.5本文的主要研究內容9</p><p><b>　　2船舶振動11</b></p><p><b>　　2.1概述11</b></p><p>　　2.2船舶振動產生的原因11</p><p>　　2.3船舶振動分類12</p

6、><p>　　2.31按振動分布的范圍分類：12</p><p>　　2.32按船體受力情況分類13</p><p>　　2.33按船體振動形態(tài)分類13</p><p>　　2.4振動的危害13</p><p>　　2.5減少振動的措施14</p><p>　　2.51船舶設計方面14&

7、lt;/p><p>　　2.52主機及其減振14</p><p>　　2.53螺旋槳及其減振15</p><p>　　3板殼振動理論16</p><p><b>　　3.1概述16</b></p><p>　　3.2彈性體動力學基本方程16</p><p>　　3.3

8、矩形板的振動18</p><p>　　3.31四邊簡支板18</p><p>　　3.32對邊簡支板20</p><p><b>　　4有限元法24</b></p><p><b>　　4.1概述24</b></p><p>　　4.2有限元解題思路24</

9、p><p>　　4.3有限元法基礎理論25</p><p>　　4.31彈性力學的基本變量25</p><p>　　4.32彈性力學的基本方程26</p><p>　　4.4彈性力學基本原理29</p><p>　　4.41虛位移原理29</p><p>　　4.42最小勢能原理29&l

10、t;/p><p>　　4.5有限元法的應用30</p><p><b>　　4.51概述30</b></p><p>　　4.52有限元在船舶領域的應用30</p><p>　　4.6有限元的建模準則32</p><p>　　4.7有限元模型的性能指標33</p><p&

11、gt;　　4.8有限元法的優(yōu)缺點34</p><p>　　4.81有限元法的優(yōu)點34</p><p>　　4.82有限元法的缺點34</p><p>　　5結構動力學有限元法36</p><p>　　5.1有限元動力方程36</p><p>　　5.2結構的固有振動特性分析36</p><

12、;p>　　6艙口蓋自由振動分析38</p><p><b>　　6.1算例39</b></p><p>　　6.2實際模型的分析47</p><p><b>　　結論59</b></p><p><b>　　致謝60</b></p><p&g

13、t;<b>　　參考文獻61</b></p><p><b>　　外文翻譯63</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　簡要的闡述了船舶振動產生的原因，船舶振動的危害以及相應的應對措施。因為艙口蓋是船舶結構的重要組成部分之一，而集裝箱船在國際航運中占有重要的地位，所以

14、艙口蓋的自由振動分析具有很重要的研究價值和意義。船體結構在有限元中是以板梁結構的有限單元形式存在的。本文運用Patran有限元分析軟件，對集裝箱船的艙口蓋建成由板梁形式組成的有限元模型并進行有限元自由振動分析，得到的結果對于艙口蓋的設計和營運有著重要的指導性意義。</p><p>　　[關鍵詞]船舶振動；板梁結構；彈性體；模型；有限元</p><p>　　Free vibration an

15、alysis for the flap of </p><p>　　container ship </p><p>　　[Abstract] This thesis describes briefly the causes and the disadvantageous results of vibration of the ship as well as the correspondin

16、g measures. Because the ship hatch cover is an important part of the structure, while the container ship in the international shipping occupies an important position, so the hatch cover of the free vibration analysis of

17、a very important research value and significance. Hull structure in finite element are board beam structure finite element forms exist. In this </p><p>　　[Key Words] Ship vibration; plate girder structure; e

18、lastic body; model; finite element</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 論文研究的背景和意義</p><p>　　船舶是一個復雜的水上工程建筑物，具有環(huán)境各種條件特殊、類型多、系統復雜、技術含量高、投資巨大、使用周期長等特點。它航行于江河湖海，擔負著運輸、生產、戰(zhàn)斗及其他各

19、種任務。我國有漫長的海岸線，無數的內河湖泊，還有廣闊富饒的海疆，為此就需要大量的、各種類型的船舶來從事各方面的工作，為社會主義革命和建設服務。</p><p>　　隨著全球經濟一體化的發(fā)展,我國與世界各國的聯系越來越緊密。國際物流業(yè)作為現代服務經濟的重要組成部分，必將成為中國對外貿易的巨大推動力量，也將成為我國新的經濟增長點。而在國際貨物運輸中，海洋運輸占據了舉足輕重的地位，據統計，海洋運輸在國際貨運總量中占80

20、%以上，是國際物流中最主要的運輸方式。</p><p>　　文獻[1]集裝箱船是專門運輸集裝箱的貨船。集裝箱船的突出優(yōu)點是裝卸速度快，可大幅度縮短船舶在碼頭的停泊時間，從而增加航次。普通雜貨船的最大缺點是裝卸效率太低，難以實現裝卸作業(yè)機械化，其停泊港口的時間幾乎占整個營運時間的40%—50%，裝卸費用占營運費用的40%—60%。集裝箱船還由于裝卸人員的減少，理貨手續(xù)的簡化，包括費用節(jié)省，易于實現裝卸作業(yè)的機械化，

21、從而使貨運成本遠遠低于普通雜貨船。</p><p>　　總結集裝箱船運輸的優(yōu)越性主要體現在：1）提高裝卸效率、減輕勞動強度；2）減少貨損貨差、提高貨運質量；3）加快車船周期、提高運輸能力；4）節(jié)省包裝費用、簡化理貨手續(xù)；5） 減少營運費用、降低運輸成本；6）簡化貨運手續(xù)、便于貨物聯運。</p><p>　　同時文獻[2]艙口蓋是船舶上的重要組成部分之一。艙蓋是貨艙甲板開口的關閉裝置，屬于垂

22、向裝卸用的通道設備。艙蓋按照開關方式劃分，艙蓋可分為：翻滾式、折疊式、側移式、吊裝式和卷筒式等。按照驅動方式劃分，又可分為：鏈條式、鉸鏈式、齒條式和拉桿式等。它肩負著密封艙口，保護貨物和部分支撐平臺的作用。艙蓋本體多為大型鋼結構，配備的附屬裝置為機械加工構件，驅動及操控方式多種多樣。艙蓋的強度和密性,，影響到船舶的安全性；艙蓋的開關方式，影響到裝卸貨物的時間；艙蓋本體、附件和驅動設備在船舶造價中占有相當比例，關系到船舶的經濟性。<

23、/p><p>　　船舶結構是由桿、梁、板、殼等構件組成的彈性體，這些結構構件的質量與剛度具有分布的性質，包含了無限個質點。船舶受波浪和機械設備產生等多種載荷作用將產生結構振動。</p><p>　　與此同時，隨著船舶的廣泛投入使用也出現了一系列的問題，比如振動問題。文獻[3]早在十九世紀后期，船體振動問題就開始引起人們的注意。近年來，隨著航運事業(yè)的發(fā)展，主機功率和轉速的提高，以及船舶噸位加大，

24、肥大船型的出現，致使船體振動問題日益突出。由于造船技術的進步，船體結構減輕，相應地結構剛度也跟著減小，這就更容易激起較大的船體振動。近一、二十年來，在我國亦又不少海洋和江河船舶發(fā)生過較嚴重的振動問題。</p><p>　　文獻[3]船舶振動的基本要素為激勵、響應和衡準。船舶通常受到周期力和瞬時力的激勵，多數情況下，周期力由螺旋槳和主機產生，瞬時力由波浪所引起。船體受外力干擾，在該力除去后所發(fā)生的振動叫自由振動。這

25、種振動又可分為無阻尼自由振動與阻尼自由振動兩種。這種振動是以船體自由振動頻率（也叫固有頻率）振動的。</p><p>　　而過大的船體振動可導致結構產生疲勞破壞，影響船員和旅客的居住舒適性，影響船員的工作效率，甚至身體健康，還會影響船上的設備和儀表的正常工作，降低使用精度，縮短使用壽命。嚴重的船體振動的產生，處建造質量及營運因素外，主要是設計問題，即要求在船舶設計階段就進行必要的結構動力計算。</p>

26、<p>　　通過對艙口蓋振動的研究，以確定艙口蓋結構的振動頻率。將對船舶的設計和營運有著重要的指導意義。</p><p>　　1.2 船舶振動研究現狀[4]</p><p>　　船舶振動預報計算技術、螺旋槳激振、主機激勵、波浪激振和船舶振動標準是當代有關船舶減振技術與控制研究的主要問題。</p><p>　　1.21 螺旋槳激振</p>

27、<p>　　螺旋槳可通過下列不同途徑激起船體結構振動：</p><p>　　·　螺旋槳槳葉上的水動力通過槳軸軸承傳遞給船體（軸承力）</p><p>　　·　通過分布在船尾浸水表面上的脈動水壓力總合力傳給船體（表面力）</p><p>　　·　通過舵和軸支架將脈動水壓力傳給船體</p><p>　　&#

28、183;　通過螺旋槳與軸系之間的水彈性產生耦合作用</p><p>　　其中表面力和軸承力是螺旋槳的主要激振力。由螺旋槳激起的船舶振動問題主要發(fā)生在螺旋槳有空泡的情況下，在船尾不均勻流場中運轉時，螺旋槳葉片上空泡的產生使表面力急增，但對軸承力的影響不大。</p><p>　　1.22 柴油機主機的激振</p><p>　　船舶推進動力常采用柴油機。據統計，70% 的

29、船體振動是由主機激振引起的。人們?yōu)榱私档椭鳈C的燃料消耗量，多采用長沖程、缸數少的主機，主機的形狀變得高而短，容易發(fā)生機架的縱向振動。而缸數少的柴油機l 階和2 階不平衡力矩以及曲軸轉動力都很大，前者就成為機艙雙層底振動、船體垂向與水平振動的激振力，后者則是機艙縱向、橫向振動以及推力脈動的原因。</p><p><b>　　1.23 波浪激振</b></p><p>　

30、　人們早就發(fā)現，船舶航行于海洋中時，在隨機波浪作用下，可引起船體的波激振動。船舶在波濤洶涌的海面上航行時，船首底部出水，再入水時與波浪發(fā)生沖擊，即所謂砰擊，引起船舶的局部結構和整個船體的振動。俄羅斯對204 艘船因砰擊造成船底損傷的統計資料表明，在個別情況下發(fā)現面積達100m2、撓度為10～50mm 的底板皺折；在許多船上發(fā)現底部縱骨有殘余撓度；底部桁材和肋板損傷的情況也時有所見。船舶在大風浪中航行時，甲板上浪產生沖擊性的突加載荷，不但

31、引起全船性的沖擊振動，也會造成沖擊力作用區(qū)的甲板、支柱的凹陷或失穩(wěn)。這種沖擊力很大，有時可使小型船舶傾覆。另外，波浪對船體首部外飄區(qū)的沖擊，可導致船體產生瞬態(tài)的高應力，引起結構損傷。隨著船舶航速和主尺度的增加，波浪激發(fā)的船舶振動屢有發(fā)生并導致船上結構產生過大的應力和損壞。</p><p>　　1.24 船舶振動預報</p><p>　　隨著計算機技術的發(fā)展，有限元法也是船舶振動預報的有效運

32、算工具。有限元法近來進展的重點在于提高現有方法處理大型復雜結構的能力、改進特征值求法及新的計算硬件。</p><p>　　計算特征值及特征向量（固有頻率及模態(tài)形狀）最常用的方法是子空間迭代法、Lanczos 法和里茨（Ritz）向量法。這三種方法都有局限性，近來有不少人致力于提高這三種方法功能的研究。多年來，子空間迭代法已成為對大型有限元模型最普遍采用的方法，若只要求計算前幾個振動模態(tài)時，可利用子空間迭代法，精度

33、比其它方法好。但是，需計算大量模態(tài)，采用里茨向量法，所需計算時間少，但精度不及子空間迭代法。所以，近期開發(fā)的一種計算方法是匯集了里茨向量法和子空間迭代法的優(yōu)點，有可能將子空間迭代法改造成新的計算方法。</p><p>　　文獻[5]對艦艇結構局部振動性能預報進行了研究,制定了局部振動預報方法，探討了確定計算模型的幾個關鍵性問題，編制了適用于艦艇結構局部振動預報的計算程序，并結合新一代艦艇的設計和建造實踐，對多種艦

34、艇結構的局部振動進行了預報，解決了設計和建造過程中提出的振動分析任務。</p><p>　　20 世紀90 年代，人們還十分關注離散邊界積分法。該法只需要浸沒或部分浸沒船體濕表面的有限元網絡，邊界條件的滿足，許多情況下都可得到更精確的計算結果。至今，也有高階邊界元應用的研究。但采用高階邊界元的主要障礙是存在數值積分中的奇異性。</p><p>　　1.25 船舶振動的評價</p>

35、;<p>　　為了避免振動的危害，制定船舶振動標準的重要性日益為各國造船界所共識。振動標準是提供船舶振動程度的評價。國經過多年的艱苦協調與研究，對船舶振動的評價逐漸趨向兩個統一：統一采用位移、速度和加速度三個振動量作為雙對數坐標的頻率函數；統一采用國際標準化組織ISO 6954（1984）標準，或采用與ISO 6954（1984）相接近的評價界線。另外還規(guī)定了航海商船、內河船主機和螺旋槳激勵的船體梁及上層建筑振動數據的測量

36、與報告的規(guī)程（ISO 4867）， 航海商船、內河船上的船舶結構或設備局部振動的數據測量與報告規(guī)程（ISO 4868）等。</p><p>　　1.3 船舶自由振動研究方法</p><p>　?。?）能量法。能量法的基本原理是能量守恒定律。瑞利法是將船體結構振動簡化為單自由度系統的振動，它是計算彈性系統振動的基礎，具體做法是假設一個振形函數，要滿足幾何的（即端點的位移和轉角）邊界條件，將

37、船體結構振動系統中最大動能與最大位能相等表述出來。</p><p>　?。?）遷移矩陣法。是將整個船體考慮為一根變剖面梁，分成若干段具有均勻剛性、質量分布的等直梁，再微段的微分方程出發(fā)，列出剖面的狀態(tài)參數（包括該處的變形和內力）構成狀態(tài)矢量，考察各微段結合處的狀態(tài)矢量在經過一個微段以及結合點處的傳遞和變化關系，并與船體兩端的邊界條件相結合，從而得到振動系統的數值解。</p><p>　　（

38、3）有限元法。它就是一種通用的數值計算方法。船體結構的有限元計算已經擴展到三維艙段立體結構計算或整艘船舶全部結構的有限元計算，船體各細部可以真實的反映在計算中，使結構計算達到相當的精確和詳細程度。對于一些技術密集型船舶、高性能船舶、特種新型船舶，有限元方法在船舶結構設計中是必不可少的工具。</p><p>　?。?）型船近似估算法。在船舶設計的早期估算船體振動的固有頻率，以便為方案設計提供資料，把可能發(fā)生的振動隱

39、患消除。但是在船舶設計的早期，詳細計算所需要的一些原始數據（如剖面慣性矩、質量與浮力的分布曲線等）尚未得到，要進行較為深入的計算是不可能的，因此，需要用型船的資料，來近似估算船體振動的固有頻率。</p><p>　　1.4 有限元法的基本簡述</p><p>　　文獻[6]有限元分析的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單

40、元假定一個合適的近似解，然后求解這個域的滿足條件，從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精確度高，而且適應各種復雜形狀。</p><p>　　有限元是那些集合在一起表示實際連續(xù)域的離散單元。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應用于航空器的結構強度計算，并由于其方便性，實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。經過

41、短短數十年的努力，隨著計算機技術的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴展到幾乎所有的科學技術領域，稱為一種豐富多彩、應用廣泛并且實用高效的數值分析方法。</p><p>　　有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉克（Clough）教授形象地將其描述為：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函

42、數”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上，且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。</p><p>　　1.5 本文的主要研究內容</p><p>　?。?）掌握船舶

43、振動的原因，以及產生自由振動的原因和特點。</p><p>　　（2）薄板的自由振動振動公式推導。從薄板結構橫向振動微分方程推導了薄板結構固有頻率和振型求解的解析方法，板結構四邊簡支、兩對邊簡支的矩形薄板的自由振動。</p><p>　?。?）船體板梁振動計算有限元理論與方法，學習了有限元方法在板結構動力學分析中的理論和方法應用，主要有有限元基本理論、振動方程、板結構的剛度矩陣和質量矩陣計

44、算、固有頻率和振型的計算等。</p><p>　　（4）對于艙口蓋結構的振動分析。應用大型有限元計算軟件MSC.Patran/Nastran完成了艙口蓋板梁結構振動分析，包括Patran軟件模態(tài)分析功能學習、艙口蓋板梁結構的有限元建模與計算、艙口蓋板梁結構振動計算結果分析等。</p><p><b>　　2 船舶振動</b></p><p>&

45、lt;b>　　2.1 概述</b></p><p>　　在工程技術領域中，振動是極為普通的現象。在振動過程中，系統將圍繞平衡位置作往復運動。人們常用簡單的實驗表演振動的特性，就是在彈簧上懸掛一個質量塊，在靜止時，給質量塊以輕輕一擊，質量塊便在原來靜止位置的附近上下運動，這一運動過程即為振動。在研究振動中，往復一次所需的時間稱為振動周期。每經過一個周期后，運動再次重復前一個周期中的全部過程，即為周

46、期性振動。如果后一個運動周期與前一運動的周期不同，便稱為非周期性振動。若振動的運動是時間的確定函數，它是可以預測的，便稱為確定性振動。另一類振動的運動如果不是時間的確定函數，但其運動具有一定的統計規(guī)律性，則這類振動稱為隨機振動。</p><p>　　2.2 船舶振動產生的原因[7]</p><p>　　船體作為一個自由漂浮在水上的空心彈性梁，在營運過程中必然要受到各種干擾力的作用，使船體發(fā)

47、生總振動和局部振動。但是由于船體振動的復雜性，故要分析船的振動，只有抓住主要矛盾，從主要因素入手：</p><p><b>　　1、確定振動源</b></p><p>　　船體振動的主要振源是螺旋槳、軸系和主機，他們在運轉時產生周期干擾力，使船體產生振動。</p><p>　　2、分析主要振源產生的干擾力</p><p>

48、;　　（1）螺旋槳激振力可分為表面力和軸承力，頻率都為葉頻，即。其中，表面力經水作用于槳上方的船殼板，其合力方向為垂向；軸承力通過槳軸和軸承作用于船體，其分力表現為推力、垂向彎矩和垂直力、水平彎矩和水平力、轉矩。激振力往往是振動的主要干擾力，需予以重視。</p><p>　?。?）軸系的振動也產生干擾力，但該船軸系設計中臨界轉速不在主機工作轉速范圍內，工作轉速避開了“轉速禁區(qū)”，只要軸系校中良好，軸系振動的影響可

49、以忽略。</p><p>　　（3）主機產生的干擾力是三階不平衡橫搖力矩，頻率是，通過機座作用于機艙板架。由于是高階分量，估計影響不大。</p><p>　　3、分析干擾力引起的船體結構振動</p><p>　?。?）表面力在局部上引起該處船底板格的橫振動和艉艙立體分段的垂向振動，在總體上引起船體梁的垂向總振動。</p><p>　?。?）軸

50、承力的分力引起上層建筑和船體的縱向運動，因船體縱向振動的等效剛度極大，振幅極微，故可忽略；垂向彎矩和垂直力引起機艙船底板架以至全船的垂向振動；水平彎矩和水平力引起機艙板架以至全船的水平方向振動。</p><p>　　（3）轉矩引起軸系和主機的扭轉振動。</p><p>　　從上面分析可知，軸系和主機的扭振較小，主機與軸系這一系統也沒產生扭振共振，故對全船的扭轉振動影響較小，這一部分只考慮主

51、機三階不平衡橫搖力矩引起的機艙船底板格的垂向振動。</p><p>　　4、局部振動與船體總振動的耦合</p><p>　?。?）船底板格與船體分段及全船相比，質量微小，振動頻率高，故板格振動可以從船體分段及全船的總振動中分離出來，單獨計算。而艉分段作為立體結構，質量較大，且與船體前部耦合，故艉部的振動不能與船體梁總振動分離，應視為總振動中的一部分。</p><p>

52、;　　（2）機艙船底板架質量較大，且與貨艙區(qū)雙層底骨架相互交錯，連接剛度大耦合緊，其振動不能與船體總振動相分離。</p><p>　　船體產生振動過大的原因可歸結為下述三個方面：一是設計時考慮不周或計算的錯誤，如主機選擇，船舶主尺度，螺旋槳與船體、附屬體間隙以及與尾部線型的配合，船體結構尺寸、布置和結構的連續(xù)性等；二是建造質量問題，如螺旋槳制造質量差，軸線不對中，結構連續(xù)性被破壞，焊接殘余應力與初撓度等；三是營運

53、時航行條件及操作管理水平的影響，如淺水或狹窄航道，裝（壓）載不當，軸系變形，螺旋槳受損，主機各缸燃燒不均勻，更換機、槳不當和個別結構機件磨損、松動等。</p><p>　　2.3 船舶振動分類[8]</p><p>　　2.31 按振動分布的范圍分類：</p><p><b>　?。?）總體振動</b></p><p>

54、;　　凡在船舶絕大部分均能感受到的振動叫總體振動。船舶類似于一根懸浮在水面的全自由梁的振動。</p><p><b>　?。?）局部振動</b></p><p>　　凡只在某一局部范圍內能感受到較大的振動叫局部振動。船舶總體振動與局部振動是同時存在且相互影響，同時船舶的局部振動多是由總體振動所引起的，將此兩種振動分開是人為的，因為兩者振動頻率有一定的差異，可將兩者分開

55、來研究，此時可以將局部結構從船體中分離出來進行分析，而周圍結構的作用以適當的邊界條件來處理。但是，當兩者的固有頻率相差不大時，必須考慮相互的影響。</p><p>　　2.32 按船體受力情況分類</p><p>　　船體振動時受到的力有彈性恢復力、振動慣性力、阻止振動的阻尼力及引起振動的干擾力。實際振動總是有阻尼的，但是為了分析方便，在有的問題中忽略了阻尼對振動的影響。因此，按船體受力情

56、況,可作以下分類：</p><p><b>　?。?）自由振動</b></p><p>　　船體受外力干擾，在該力除去后所發(fā)生的振動叫自由振動。這種振動又可分為無阻尼自由振動與阻尼自由振動兩種。這種振動是以船體自由振動頻率（也叫固有頻率）振動的。</p><p><b>　?。?）強迫振動</b></p>&

57、lt;p>　　受經常性或持續(xù)干擾力作用的船體振動叫強迫振動。這種振動又可分為無阻尼強迫振動與阻尼強迫振動兩種。這種振動是以干擾力的頻率振動的。</p><p>　　2.33 按船體振動形態(tài)分類</p><p>　　通常將船體視作是變剖面的空心彈性組合梁，主要的振動形態(tài)有：</p><p>　?。?）垂向振動：船體在縱中剖面上所產生的垂向彎曲振動；（2）水平振動

58、：船體在水平面上所產生的水平彎曲振動；（3）扭轉振動：船體橫剖面繞其縱軸扭轉的振動；（4）縱向振動：船體橫剖面沿其縱軸前后往復的振動。</p><p><b>　　2.4 振動的危害</b></p><p>　?。?）振動對船體的危害：振動會對船體造成嚴重的危害，如引起鉚釘松動，鋼板疲勞、結構破壞等。</p><p>　?。?）振動對指揮系統的

59、危害：振動產生的噪聲會影響指揮，聲吶導流罩內噪聲過高會嚴重影響聲吶設備的正常工作并干擾聲吶對水下目標（暗礁、沉船、潛艇等）的探測，產生誤判。</p><p>　?。?）振動對精密儀器、設備的危害：振動會影響精密儀器儀表的正常運行，影響對儀器儀表的刻度閱讀的準確性和閱讀速度，甚至跟本無法讀數。如振動過大，會直接影響儀器儀表的使用壽命，甚至受到破壞；對某些靈敏的電器，如靈敏繼電器，振動甚至會引起其誤動作，從而可能造成

60、一些重大事故；振動和噪聲還會降低聲吶、雷達的作用距離，大大削弱其戰(zhàn)斗力。</p><p>　?。?）振動對船員的危害：影響船員的舒適性，易造成船員疲勞；由于振動使他們的視覺受到干擾，手的動作受妨礙和精力難以集中等原因，造成操作速度下降或誤操作，可能出現安全事故；如果振動強度足夠大，或者長期在相當強度下的振動環(huán)境里工作，則可能會在神經系統、消化系統、心血管系統、內分泌系統、呼吸系統等方面造成危害或影響。</p

61、><p>　　2.5 減少振動的措施</p><p>　　2.51 船舶設計方面[8]</p><p>　?。?）選擇螺旋槳、主機、輔機減速齒輪箱時，應考慮船體的固有頻率，避免共振。</p><p>　　（2）尾部線型與螺旋槳的設計。除共振外，船體振動更多的是強迫振動。設計時，除了考慮快速性外，必須考慮振動這一因素。在設計尾部線型時，應使螺旋槳來

62、流和去流順暢,盡量避免渦旋的形成，使伴流盡可能均勻。除線型設計外，尚有安裝導流管、導流鰭、導流帽等措施。螺旋槳葉數的多少不但影響激勵的大小，而且影響激勵頻率，因此，選擇葉數時應盡量避免其激勵頻率與船體或局部結構頻率相近。螺旋槳與船體的間隙直接影響激勵的大小，對此《鋼質內河船舶入級與建造規(guī)范》（2002）中明確規(guī)定了螺旋槳槳葉與外板間隙。</p><p>　　2.52 主機及其減振</p><p

63、>　　主機是引起船體振動的主要激勵源之一，可以采取以下措施進行減振。</p><p>　?。?）在主機機座下裝設減振器，以減少主機振動向船體傳遞。</p><p>　?。?）調整結構，減少船體結構的響應。</p><p>　?。?）采用阻尼材料和消振器。</p><p>　　2.53 螺旋槳及其減振</p><p&g

64、t;　　文獻[7]螺旋槳是引起船體振動的又一主要激勵源。其減振措施：（1）螺旋槳的激振頻率與船體局部固有頻率相近，形成共振時，可加強船體局部結構，改變局部的固有頻率，如在局部區(qū)域加支柱、加設縱桁等；（2）螺旋槳來流不均勻，造成螺旋槳振動較大?？稍诖膊吭鲈O導流鰭，改善螺旋槳的來流情況，使螺旋槳盤面內的伴流趨于均勻，減少振動。舵上也可增設水滴形導流帽，改善螺旋槳去流的不均勻性。還有其它一些激振源激勵船舶振動，如軸系、輔機等。對于這些振源，

65、減振方法上雖有些差異，但基本原理是一樣的。即改變結構的固有頻率或激振頻率以避免共振；減少激勵的幅值與減小激勵的傳遞以降低強迫振動的程度；增加結構剛度和阻尼以降低響應等。</p><p>　　3 板殼振動理論[9]</p><p><b>　　3.1 概述</b></p><p>　　板殼動力問題是近代許多工程部件設計與研究的關鍵。諸如，各種動力

66、機械，運輸機械，飛機、導彈、火箭的機身、機翼、發(fā)動機葉片，衛(wèi)星與航天器的外殼、天線、集能器等等。</p><p>　　結構振動理論一般可分為有限自由度體與彈性體振動兩大部分。所有結構都具有一定質量和剛度分布。作為簡化，可將結構看成是由具有點質量的剛性體和無質量的變形體組成，并可用有限個位移坐標來表示結構的運動狀態(tài)，這就是有限自由度振動理論。而彈性體振動理論則分析質量和剛度都是連續(xù)分布的結構，本質上認為結構由無窮多

67、質量點組成，并用空間連續(xù)函數來反映結構的運動狀態(tài)，所以又稱為無限多自由度體系，這是一種較前者更為嚴密的振動理論。彈性體振動研究對象包括桿、軸、索、梁、框、拱、環(huán)、膜、板、殼以及三位彈性體等。</p><p>　　薄板理論是通過對薄板的簡化假定使三維問題降為二維問題。彈性薄板橫向振動理論假定是：</p><p>　?。?）認為變形前準直于中面的直線在變形后仍為一直線，并保持與中面垂直。<

68、;/p><p>　　（2）忽略沿中面垂直方向的法向應力。</p><p>　　（3）只計入質量的移動慣性力，面略去其轉動慣性力矩。</p><p>　?。?）無沿中面內方向的變形。</p><p>　　假定（1）即是“直法線”假定，是薄板振動理論的基礎。這一假定的實質是使板件內整個變形狀態(tài)只取決于中面撓曲面形狀。將求解三維變形體的問題變?yōu)榇_定二維

69、撓度曲面的問題。假定（2）則認為垂直方向的法應力也比彎曲應力小的多。</p><p>　　3.2 彈性體動力學基本方程</p><p>　　彈性體在運動過程中各點將發(fā)生位移。在直角坐標系中彈性體內一點的位移可以用在它在三軸上的投影稱為彈性體的位移分量。對于動力問題而言，三個位移分量同時是空間坐標及時間坐標的函數。</p><p><b>　　幾何方程式&l

70、t;/b></p><p><b>　　（3.1）</b></p><p>　　對于完全彈性的各向同性體，形變分量與應力分量之間關系有六個物理方程，即為胡克定律，從而得到</p><p><b>　　（3.2）</b></p><p><b>　?。?.3）</b><

71、;/p><p>　　式中，E是彈性模量，G是剪切模量，V是泊松比，則三者間的關系是</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　通過式（3.1）可解得用應變分量表示的應力分量表達式：</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p><

72、b>　?。?.6）</b></p><p><b>　　其中體積應變</b></p><p><b>　　（3.7）</b></p><p>　　對于直角坐標系，在彈性體內一點附近取出一個微小的正六面體，使其各面與坐標系垂直。根據此微體上力的動態(tài)平衡，計入體積力沿坐標軸分量及慣性力，可得運動方程</

73、p><p><b>　　（3.8）</b></p><p>　　式中為彈性體的質量密度，對于勻質體來說，它是一個常量。</p><p>　　在位移邊界問題中，位移分量在邊界上應滿足位移邊界條件</p><p><b>　?。?.9）</b></p><p><b>　　

74、應力分量的邊界條件</b></p><p><b>　?。?.10）</b></p><p>　　通過幾何方程、物理方程、運動方程之間的轉化，可得到彈性體動力學基本方程</p><p><b>　?。?.11）</b></p><p><b>　　式中</b><

75、;/p><p><b>　?。?.12）</b></p><p>　　3.3 矩形板的振動</p><p>　　3.31 四邊簡支板</p><p>　　矩形板是一個二維問題。矩形板振動中最簡單的一種是四邊簡支板，也是最常見的一種。</p><p>　　對矩形板振動的研究，最方便是采用直角坐標系（圖1

76、）的薄板自由振動基本方程為</p><p>　　圖1 矩形板采用的坐標系</p><p><b>　?。?.13）</b></p><p><b>　　矩形板振型方程為</b></p><p><b>　　（3.14）</b></p><p>　　對于

77、四邊簡支板，四個簡支板的振型邊界條件有</p><p><b>　　（3.15）</b></p><p>　　滿足方程（3.2）及邊界條件（3.3）、（3.4）的振型解可直接用雙三角函數來表示</p><p><b>　?。?.16）</b></p><p>　　其中A為常數。代入方程（3.2）得&

78、lt;/p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　若要對板上任一點上式都成立，并有振型非零解（）之條件為</p><p><b>　?。?.18）</b></p><p>　　則四邊矩形簡支板之第（）階固有頻率公式</p><p><b>　?。?/p>

79、3.19）</b></p><p>　　此頻率相應的四邊簡支矩形板之第（）階振型為</p><p><b>　?。?.20）</b></p><p>　　由式（3.8）知，時頻率最低，即為板的基頻，這時相應的板的振型為在x,y方向各形成一個半波。當時相應的板振型為x方向兩個半波，y方向一個半波。這時由式（3.9）知，在直線處振型處為

80、零，形成一節(jié)線。以此類推，當時形成振型在x方向有個半波，（）個節(jié)線；在y方向有個半波，（）個節(jié)線，這時節(jié)線均平行板的邊界。對于非基頻情況，頻率大小排列次序不但和值大小有關，還和比值有關具體要按式（3.8）計算結果的數值確定。</p><p>　　一般來說，（）數值越高，頻率越大；若x向長（a值較大）則x向半波數較多是頻率不高，而在y向有相同半波數時頻率較高，也就是依頻率大小次序，x向（長向）先出現多節(jié)線；對于同樣

81、階次，隨長寬比增加，頻率系數增加；對于同樣（）數，也隨長寬比增加而頻率系數增加。</p><p>　　在方板（）情況下，其振型節(jié)線就比較特殊。因為按式（3.8）方板有，因此相應的振型為</p><p><b>　?。?.21）</b></p><p>　　其中及為任意常數，由不同與值間組合的均為其相應振型。例如及時其不同間組合形成各種振型節(jié)線。

82、</p><p>　　3.32 對邊簡支板</p><p>　　由于正弦函數是能滿足對邊為簡支的板的邊界條件。因此，雙正弦函數將滿足四邊簡支板邊界條件，代入基本方程，將偏微分方程降為代數方程求解，對于簡支、另對邊其它邊界條件矩形板（圖2）</p><p>　　圖2 不同邊界條件下的矩形板</p><p>　　采用單正弦函數滿足對邊簡支邊界條

83、件，代入基本方程，將偏微分方程降為常數微分方程，求取一般解，用另對邊界條件確定其中待定系數從而求解。</p><p>　　若及為簡支邊，同時根據對邊簡支矩形板的基本振型方程，其振型邊界條件有</p><p><b>　?。?.22）</b></p><p>　　可設滿足上述邊界條件的振型解為</p><p><b&

84、gt;　?。?.23）</b></p><p>　　其中為的未知函數。代入方程（3.2），考慮到板面處處成立，的應滿足的方程</p><p><b>　　（3.24）</b></p><p>　　式（3.12）為一系數常數微分方程，其解</p><p><b>　?。?.25）</b>&

85、lt;/p><p><b>　　其中應滿足特征方程</b></p><p><b>　?。?.26）</b></p><p><b>　　從而解出四個根</b></p><p><b>　?。?.27）</b></p><p><

86、b>　　其中</b></p><p><b>　?。?.28）</b></p><p><b>　　所以其振型</b></p><p><b>　?。?.29）</b></p><p>　　式中四個待定系數將由另兩對邊的振型邊界條件確定。</p>

87、<p>　　和單向板一樣，另兩對邊的簡支邊界條件有六種，四邊簡支板情況外，另五種邊界條件板的結果分別是</p><p>　?。?）對邊簡支對邊固定板</p><p>　　其振型邊界條件除式（3.11）外還有</p><p><b>　?。?.30）</b></p><p><b>　　則最后其振型為

88、</b></p><p><b>　?。?.31）</b></p><p>　　（2）三邊簡支一邊固定板</p><p><b>　　其振型邊界條件是</b></p><p><b>　?。?.32）</b></p><p><b>

89、;　　則其振型為</b></p><p><b>　?。?.33）</b></p><p>　　（3）對邊簡支一邊固定一邊自由板</p><p><b>　　邊界條件是</b></p><p><b>　?。?.34）</b></p><p>

90、;<b>　?。?.35）</b></p><p><b>　　振型為</b></p><p><b>　　（3.36）</b></p><p>　?。?）三邊簡支一邊自由板</p><p><b>　　邊界條件是</b></p><p

91、><b>　?。?.37）</b></p><p><b>　?。?.38）</b></p><p><b>　　振型為</b></p><p><b>　?。?.39）</b></p><p>　?。?）對邊簡支對邊自由板</p>&

92、lt;p><b>　　邊界條件是</b></p><p><b>　?。?.40）</b></p><p><b>　　振型是</b></p><p><b>　　－ （3.41）</b></p><p>　　表1 不同邊界條件對邊簡支方板的頻率

93、系數（有自由邊板）</p><p>　　從上表可以看出，對于同樣的（）順序的不同邊界條件板，其頻率系數大小排列將發(fā)生變化。</p><p><b>　　4 有限元法</b></p><p><b>　　4.1 概述</b></p><p>　　船舶振動是在50年代后半期才開始蓬勃發(fā)展起來的一門學科，

94、是研究船體結構振動以及與船體結構振動有關的動力裝置、船型等問題。20世紀60年代后，隨著電子計算機和有限元理論的發(fā)展，目前已廣泛采用有限元技術分析復雜的彈性體結構的振動。</p><p>　　有限元法也叫有限單元法（finite element method，FEM），有限元法最初的思想是把一個大的結構劃分為有限個稱為單元的小區(qū)域，在每一個小區(qū)域里，假定結構的變形和應力都是簡單的，小區(qū)域內的變形和應力都容易通過計

95、算機求解出來，進而可以獲得整個結構的變形和應力。</p><p>　　有限元法在工程中最主要的應用形式是結構的優(yōu)化，如結構形狀的最優(yōu)化，結構強度的分析，振動的分析等等。有限元法在超過五十年的發(fā)展歷史中，解決了大量的工程實際問題，創(chuàng)造了巨大的經濟效益。有限元法的出現，使得傳統的基于經驗的結構設計趨于理性，設計出的產品越來越精細，尤為突出的一點是，產品設計過程的樣機試制次數大為減少，產品的可靠性大為提高。</p

96、><p>　　通俗地說，有限元法就是一種計算機模擬技術，使人們能夠在計算機上用軟件模擬一個工程問題的發(fā)生過程而無需把東西真的做出來。這項技術帶來的好處就是，在圖紙設計階段就能夠讓人們在計算機上觀察到設計出的產品將來在使用中可能會出現什么問題，不用把樣機做出來在實驗中檢驗會出現什么問題，可以有效降低產品開發(fā)的成本，縮短產品設計的周期。</p><p>　　4.2 有限元解題思路[10]</

97、p><p>　?。?）建立積分方程，根據變分原理或方程余量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。</p><p>　　（2）區(qū)域單元剖分，根據求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節(jié)點的

98、位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。</p><p>　?。?）確定單元基函數，根據單元中節(jié)點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。</p><p>　?。?）單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼

99、近；再將近似函數代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數（即單元中各節(jié)點的參數值）的代數方程組，稱為單元有限元方程。</p><p>　?。?）總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。</p><p>　?。?）邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件（狄里克雷邊界條件）、自然邊界條件（黎曼邊界條件

100、）、混合邊界條件（柯西邊界條件）。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。</p><p>　　（7）解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數值。 </p><p>　　4.3 有限元法基礎理論</p>

101、<p>　　4.31 彈性力學的基本變量[11]</p><p>　　彈性力學是研究彈性體在約束和外載荷作用下應力和變形分布規(guī)律的一門學科。</p><p><b>　　1、基本假設</b></p><p>　　在建立彈性力學基本方程的過程中，如果考慮的因素過多，會導致所建立的方程過于復</p><p>　　雜

102、，無法求解。因此，為了突出處理問題的實質，使問題簡化、抽象化、彈性力學中采用了如下五點基本假設。</p><p>　　假設物體是連續(xù)的 即認為在整個物體內部，都被組成該物體的介質所充滿，沒有任何空隙。</p><p>　　假設物體是均勻的 即認為整個物體在各點都具有相同的物理性質。</p><p>　　假設物體是各向同性的 即認為整個物體在所有各個方向都有相同的

103、物理性質。</p><p>　　假設物體是完全彈性的 即在物體產生形變的外力及其他因素去除以后，能完全恢復原形而沒有任何剩余變形</p><p>　　假設物體的位移和應變是微小的 即物體在外力和其他因素作用下，所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸。</p><p>　　滿足前四個假設的物體，稱為理想彈性體。如全部滿足這些假設，則稱為理想彈性體的線性問題，簡稱為

104、線彈性問題。</p><p><b>　　2、基本變量</b></p><p>　　在彈性力學中經常涉及四個基本物理量：外力、應力、應變和位移。</p><p><b>　　1）外力</b></p><p>　　作用在物體上的外力可分為體積力和表面力兩大類，簡稱為體力和面力。其中體積力分布在物體體積

105、內的力，與物體質量有關，如自重、慣性力、磁性力等。它在x，y，z坐標軸上的投影記為X,Y,Z，可用矢量表示為。</p><p><b>　　2）應力</b></p><p>　　當彈性體在外力作用下，或由于溫度有所改變，其內部將產生內力。剪應力分量，用矢量表示為</p><p><b>　?。?.1）</b></p&

106、gt;<p><b>　　3）應變</b></p><p>　　物體的形狀總可以用它各部分的長度和角度來表示，物體形狀的改變就可歸納為長度的改變和角度的改變。在外力作用下彈性體就將產生變形，其變形的大小，可用微元體棱邊的長度和它們之間夾角的變化來描述。</p><p><b>　　與應力相對應</b></p><

107、p><b>　?。?.2）</b></p><p><b>　　4）位移</b></p><p>　　彈性體變形實際上時彈性體內質點位置的變化，這種位置的改變稱為位移。物體內任意一點的位移可以分解為x，y，z三個坐標軸上的投影，稱為位移分量。記為</p><p><b>　?。?.3）</b>&

108、lt;/p><p>　　4.32 彈性力學的基本方程</p><p>　　彈性力學基本方程描述了彈性體內任一點應力、應變、位移和外力之間的關系，它包括平衡方程、幾何方程和物理方程三類。</p><p><b>　?。?）平衡方程</b></p><p>　　假設微元體單位體積的體力為。根據微元體得靜力平衡方程條件，可以得到其

109、上的應力和體力在三個方向的平衡方程： </p><p><b>　?。?.4）</b></p><p><b>　?。?）幾何方程</b></p><p>　　描述彈性體位移分量和應變分量之間關系的方程稱為幾何方程。</p><p>　　平面問題的幾何方程，可用矩陣表示：</p>&l

110、t;p><b>　?。?.5）</b></p><p><b>　　（3）物理方程</b></p><p>　　物理方程描述應力分量與應變分量之間的關系，對于完全彈性體的各向同性體，它們稱為廣義胡克定律。</p><p>　　彈性力學中應力與應變之間的關系也稱物理關系。對于各向同性線彈性材料，其矩陣表達式為</

111、p><p><b>　?。?.6）</b></p><p>　　式中，E為材料的彈性模量，G為剪切彈性模量，為泊松比。這三個彈性常數之間的關系為</p><p><b>　　（4.7）</b></p><p>　　以上的物理方程式用應力分量表示應變分量。在有限元發(fā)的分析中，常常需要用應變分量表示應力分量

112、，即</p><p><b>　?。?.8）</b></p><p><b>　　簡記為</b></p><p>　　式中，D為彈性矩陣，有材料彈性模量E和泊松比確定，與坐標位置無關。</p><p><b>　?。?）邊界條件</b></p><p>

113、　　靜力學的定解條件只包含邊界條件，它通常分為位移邊界條件、應力邊界條件。</p><p>　　物體在邊界上的位移分量已知的條件稱為位移邊界條件，即在已知邊界上，有</p><p><b>　?。?.9）</b></p><p>　　其中 為在邊界上沿方向的已知位移。</p><p>　　物體在邊界上所受的面力分量已知

114、的條件稱為應力邊界，即在已知邊界上，有</p><p><b>　?。?.10）</b></p><p>　　式中， n分別表示邊界上外法線方向的方向余弦。</p><p>　　4.4 彈性力學基本原理[10]</p><p>　　4.41 虛位移原理</p><p>　　虛位移是一種假想加到結

115、構上的可能的、任意的、微小的位移。其中，所謂可能的是指結構所允許的，即滿足結構的約束條件和變形連續(xù)條件的位移；所謂任意的是指位移類型和方向不受限制，但必須是結構所允許的位移；所謂微小的就是在發(fā)生虛位移過程中，各力的作用線保持不變。它的發(fā)生于時間無關，與彈性體所受的外載無關，而在發(fā)生虛位移過程中外力在虛位移上所做的功稱為虛功。與此同時，在發(fā)生虛位移的過程中，彈性體內將產生虛應變。若把彈性體上外力在虛功位移發(fā)生過程中所做的虛功記做，彈性體內

116、的應力在虛應變上所做的虛功，即儲存在彈性體內的虛應變能，記做。</p><p>　　則虛位移原理可表示如下：</p><p><b>　　（4.11）</b></p><p>　　設彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時的實際位移分量為 ，彈性體內的應力分量為，并假設滿足約束條件所產生的虛位移為 ，相應的虛應變?yōu)?則式（4.11）可記為</p&

117、gt;<p><b>　?。?.12）</b></p><p>　　上式稱為彈性體的虛功方程。</p><p>　　4.42 最小勢能原理</p><p>　　變分原理就是求泛函的變分問題。所謂泛函，簡單地講，若把自變量的函數稱為自變函數，則泛函就是自變函數的函數。</p><p><b>　　泛

118、函是：</b></p><p><b>　?。?.13）</b></p><p>　　對于彈性問題，系統總勢能就是一種泛函。勢能變分原理是指，在所有滿足邊界條件的可能位移中，那些滿足平衡方程的真實位移使物體勢能泛函取駐值，即勢能的變分為零：</p><p><b>　?。?.14）</b></p>

119、<p>　　此式也稱為變分方程。對于線性彈性體，勢能取最小值，即</p><p><b>　?。?.15）</b></p><p>　　此時的勢能變分原理就是最小勢能原理。其物理意義就是在自然狀態(tài)下系統勢能總是趨于最小化，這是一個普遍的物理規(guī)律。</p><p>　　4.5 有限元法的應用</p><p>&

120、lt;b>　　4.51 概述</b></p><p>　　有限元法就是一種通用的數值計算方法，應用范圍極廣，不僅能分析復雜邊界條件、線性和非線性、非均質材料、動力學等結構問題，還可推廣到解答數學方程中其他邊值問題，包括建筑、機械、熱傳導、電磁場、流體力學、流體動力學、地質力學、原子工程和生物醫(yī)學等方面問題。理論上講，只要是用微分方程表示的物理問題，都可用有限元法進行求解。</p>