曲率有下界的黎曼流形.pdf

1、Hausdorff逼近是研究整體黎曼幾何，特別是研究曲率有下界的黎曼流形時(shí)的一項(xiàng)重要工具.在Gromov的[28]之后，許多數(shù)學(xué)家致力于Hausdorff收斂的研究并取得了許多優(yōu)秀的成果.
　　 本文主要研究的便是曲率有下界的黎曼流形.
　　 在第二章中我們利用調(diào)和1-形式研究了第一貝蒂數(shù)等于n且Ricci曲率幾乎非負(fù)的n維黎曼流形和n維平坦環(huán)面之間的關(guān)系.令φ是從Mn到n維平坦環(huán)面Tn的Albanese映射(見定義2.

2、1.1)，則我們可獲得如下結(jié)果.
　　 定理A.對(duì)于任給的n≥3，ν0>0以及充分小的ε>0，若M是一個(gè)n-維閉流形，且滿足diana(M)=1，Ric(M)≥-ε，b1(M)=n及Vol(M)>ν0，則φ：M→Tn是一個(gè)ψ(ε｜εn，ν0)-Hausdorff逼近.
　　 在第三章中我們把貝蒂數(shù)等于n的情況推廣到基本群的冪零指標(biāo)(見定義3.1.1)等于n的情況.利用分裂定理和Hausdorff收斂，我們可以得到下面的結(jié)

3、果。
　　 定理B.Mn是一個(gè)n維黎曼流形，{gi}∞i=1是M上的一族黎曼度量，并滿足diana(M，gi)≤1且Ric(M，gi)>-εi(εi→0).令Mi為M的萬有覆蓋且賦予其gi的提升度量.假設(shè)M的基本群π1(M)有一個(gè)有限指標(biāo)的冪零子群，且其冪零指標(biāo)為n.則在點(diǎn)則Hausdorff收斂的意義下，我們有l(wèi)imi→∞(～Mi，～Pi)=(Rn，0)，其中～Pi是～Mi中的任意固定點(diǎn).
　　 在第四章和第五章中我們

4、重點(diǎn)考慮正截面曲率的球面。令B：={P∈M｜ヨq∈M，d(q，p)>π/2}，我們可以得到如下定理。
　　 定理C.M是一個(gè)完備的連通n維黎曼流形，且滿足sec(M)≥1，diam(M)>π/2.假設(shè)N是其連通的k維全測(cè)地閉子流形，且N∩B≠φ.則對(duì)于任給的x∈N∩B，我們有radN(x)≥radM(x).進(jìn)一步，N同胚于k維歐氏球面Sk.
　　 這個(gè)定理部分地解決了夏在[49]中提出的問題，并推廣了他在同一篇文章中的一

5、個(gè)定理.同時(shí)王在[43]中得到的一個(gè)定理亦可看作是定理C的一個(gè)直接的推論.
　　 此外，我們還對(duì)王在該篇文章中提出的如下問題給出了一個(gè)反例。
　　 問題D.M是一個(gè)完備的連通n維黎曼流形，且滿足sec(M)≥1，rad(M)>吾。則M上的對(duì)徑映射限制在其全測(cè)地子流形上是否就是M上的對(duì)徑映射本身?
　　 最后，我們研究了正截面曲率黎曼流形上梯度推的性質(zhì)，并證明了如下結(jié)論.
　　 定理E.M是一個(gè)連通的n維緊