小波在Helmholtz方程和采樣問題中的應(yīng)用.pdf

1、Helmholtz方程是研究時(shí)間調(diào)和聲波散射問題的一個(gè)重要方程，它在雷達(dá)、聲納、地理探測、醫(yī)療成像和非破壞性試驗(yàn)等方面有著極其廣泛的應(yīng)用.將微分方程的數(shù)值計(jì)算問題化為積分方程的計(jì)算問題是微分方程數(shù)值計(jì)算最重要的途徑之一.特別對于無界域問題，由于解在無窮遠(yuǎn)處都要滿足散射條件，而將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程進(jìn)行計(jì)算，不僅可以將問題的維數(shù)降低一維，而且能夠?qū)o界域上的問題轉(zhuǎn)化為有界域上的問題，這便是邊界積分方程方法比有限元法和有限差分法優(yōu)越的原因

2、.本論文主要考慮Helmholtz方程在一些比較典型的無界域問題的數(shù)值解，即在一般外區(qū)域的Dirichlet問題、波導(dǎo)區(qū)域中的Dirichlet問題、上半平面的第三邊值問題的數(shù)值解.為了解決上述問題，我們首先應(yīng)用位勢理論把它們分別轉(zhuǎn)化為第二類積分方程，然后利用Galerkin方法、配置法和sinc數(shù)值方法來分別求解所對應(yīng)的積分方程.此外，我們還考慮了Paley-Wiener空間中的非均勻采樣問題.具體來說： 1.為達(dá)到矩陣壓縮的

3、目的，我們需要引進(jìn)兩類小波：插值型三角小波和正交型三角小波，這兩類小波的尺度函數(shù)空間Vj和小波空間Wj都是分別由一個(gè)函數(shù)的平移所張成，并且尺度函數(shù)和小波函數(shù)都有顯式表達(dá)式.此外，插值型三角小波滿足一些插值性質(zhì)，而正交型三角小波是彼此正交的，這為用配置法和Galerkin法解積分方程提供了兩類比較好的基底. 2.對于Helmholtz方程在一般外區(qū)域Dirichlet問題.我們首先利用位勢理論把該問題歸結(jié)為解一個(gè)第二類Fredho

4、lm積分方程，然后用Galerkin方法和正交型三角小波的多尺度基底對這一問題進(jìn)行求解.不要求在Nystr(o)m方法中的比較強(qiáng)的條件下，即邊界曲線和邊值條件都是解析的，而只要求在邊界曲線屬于C3而邊值條件的已知函數(shù)只要求屬于C1條件下，我們就得到了一種矩陣壓縮策略，從而得到了一個(gè)很稀疏的系數(shù)矩陣，其中系數(shù)矩陣的元素大部分不需要計(jì)算且為零，實(shí)現(xiàn)了快速算法.并且給出了壓縮矩陣的復(fù)雜性和條件數(shù)分析以及該算法的收斂率性和穩(wěn)定性分析.所得到截?cái)?/p>

5、后的一個(gè)2j+1×2j+1矩陣的復(fù)雜度，即非零元素的個(gè)數(shù)只有(.j+1).2j+2個(gè)，壓縮后的系數(shù)矩陣的條件數(shù)是一致有界的，即條件數(shù)與j無關(guān).而通過矩陣壓縮后的快速算法的收斂速度為O(j2/21/2)(j→∞).此外，我們截?cái)嗟姆椒ê唵味唧w. 3.關(guān)于波導(dǎo)區(qū)域中的Helmholtz方程Dirichlet問題.我們同樣用位勢理論先把該問題轉(zhuǎn)化為解一個(gè)第二類Fredho1m積分方程，然后用配置法和插值型三角小波求解該積分方程.我們

6、所得到的剛度矩陣有一半可以截?cái)?，而截?cái)嗪蟮脑氐闹氮?dú)立于核函數(shù)KN(θ，η)的截?cái)囗?xiàng)數(shù)N和Helmholtz方程中的波動(dòng)數(shù)k.這樣，我們得到了另外一種意義下的快速算法，即該問題中的波動(dòng)數(shù)k和核函數(shù)KN(θ，η)的截?cái)囗?xiàng)數(shù)N變化時(shí)，剛度矩陣有一半元素不需要重新計(jì)算，這樣我們得到了若因k和N變化的快速算法. 4.我們利用sinc數(shù)值方法來求解上半平面的Helmholtz方程第三邊值問題的數(shù)值解.首先我們給出了該問題的解的存在性和唯一

7、性的證明，然后用Huygens積分公式和位勢理論把問題歸化為主要求解一個(gè)第二類積分方程的數(shù)值解.通過利用多值解析函數(shù)圍道積分方法來把Shannon-Whittaker定理推廣到多值解析函數(shù)的情況，利用此結(jié)論我們得到了該積分方程的數(shù)值解，并且該方法十分簡單——不需要解線性方程組，從而避免了復(fù)雜的矩陣運(yùn)算所帶來的麻煩. 5.在本論文的最后，我們主要考慮改進(jìn)經(jīng)典Paley-Wiener空間中的非均勻采樣問題的一種方法，即Voronoi

8、方法.Voronoi方法是一種收斂速度比較快的方法，因而改進(jìn)這種方法具有重要的意義.我們主要有兩方面的工作：一是解決Voronoi方法中重構(gòu)函數(shù)不光滑的問題，即找到一C∞函數(shù)類{bn：n∈Z}代替Voronoi方法中特征函數(shù)類{xn：n∈Z}；二是研究當(dāng)采樣密度加密m倍時(shí)，得到了一個(gè)更快重構(gòu)算法，該重構(gòu)算法的收斂速度增長了m倍，即當(dāng)采樣密度滿足δ=supn∈Z(xn+1-xn)＜1/m，其中m是一大于或等于2的正整數(shù)，那么重構(gòu)算法的收斂