Dyson，Morris，Aomoto，F(xiàn)orrester常數(shù)項恒等式.pdf

1、基于粒子物理學(xué)中的問題,F.J.Dyson于1962年猜測出一個常數(shù)項恒等式,此等式稱為Dyson猜想。在Dyson的文章發(fā)表之前,其猜想分別被Gunson與諾貝爾獎獲得者Wilson給予了證明。之后不久,Good應(yīng)用Lagrange插值給出了此猜想一個優(yōu)美的遞歸式的證明。此外,運用Vandermonde行列式恒等式與多重競賽圖,Zeilberger還給出了此猜想的一個組合證明。 自Dyson猜想被提出以來的數(shù)十年間,其產(chǎn)生了許

2、多推廣與變化(例如,q-Dyson猜想、Morris與Aomoto恒等式、Forrester猜想),這些推廣與變化都較原始Dyson猜想復(fù)雜的多。 Andrews于1975年給出了Dyson猜想的q模擬,并注意到n=3時q-Dyson猜想等價于眾所周知的恒等式-q模擬Dixon定理。但是q-Dyson猜想在此后的十年間一直沒有得到證明,直到1985年Zeilberger與Bressoud給出了此猜想的組合證明。又經(jīng)過二十多年,基

3、于Laurent級數(shù)與多項式的觀點,Gessel與辛國策給出了此猜想的第二種證明。 Morris常數(shù)項恒等式首先出現(xiàn)在Morris的博士論文中。通過擴(kuò)展其等價形式(Selberg積分),Aomoto給出了Morris等式的一個推廣-Aomoto常數(shù)項恒等式。Morris等式的另一個推廣是Forrester猜想。Forrester證明了此猜想的兩種特殊情況:a=b=0(k,n0,n1任意)與k=1(a,b,n0,n1任意)。Kan

4、eko證明了n1=2,3與n1=n-1三種情況。此外,Forrester與Baker還給出了此猜想的q模擬。 另一方面,一些數(shù)學(xué)家推廣了Good證明Dyson猜想的方法。令大家感興趣的是計算Dyson乘積的關(guān)于單項式M:=∏ni=0xibi的系數(shù),其中∑ni=0bi=0。運用Good的思想,Kadell刻畫出了如何計算M=x1/xn,M=x1x2/xn1xn與M=x1x2/xn2時的Dyson系數(shù)。順著這一思路,Zeilberg

5、er與Sills描述了一個如何自動猜測并證明Dyson系數(shù)的算法。此算法的可靠性并未給予嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。應(yīng)用此算法,Sills猜測并證明了M=xa/xr,M=xaxt/xr2與M=xtxu/xrxs時的Dyson系數(shù)。最近,呂侖、辛國策和周岳通過推廣Gessel-xin證明q-Dyson猜想的方法,得到了分母中不含平方項的Dyson系數(shù)。 在本篇論文中,我們討論了一系列著名的常數(shù)項恒等式:Dyson,Morris,Aomoto與

6、Forrester常數(shù)項恒等式。本篇論文的主要貢獻(xiàn)如下：首先,我們給出了Dyson,Morris,Aomoto常數(shù)項恒等式一個統(tǒng)一的初等的證明。由于這些常數(shù)項恒等式從某種意義上來說可以看作多項式,因而可以通過驗證足夠多個值的方法來證明它們(通常我們選擇驗證使其歸零的負(fù)整數(shù)值)。進(jìn)一步地,我們的方法可以證明Forrester猜想的一些特殊情況。 在證明上述常數(shù)項恒等式的過程中,我們的想法是：首先固定除一個參數(shù)外的所有參數(shù),這樣這些

7、常數(shù)項恒等式就可以看作是關(guān)于此參數(shù)(例如a)的最高次數(shù)為d的多項式。其次,我們?nèi)菀昨炞Ca=0時,這些常數(shù)項恒等式左右兩邊相等。最后,驗證取其余d個值時,等式成立,此步驟根據(jù)不同的等式證明過程有所不同。在證明Morris,Aomoto與Forrester常數(shù)項恒等式過程中,我們需要處理重根問題。應(yīng)用多項式的觀點我們證明了沒有重根的情況?；贒yson型常數(shù)項的有理性(即Morris,Aomoto與Forrester常數(shù)項可以看作關(guān)于其所有

8、參數(shù)的有理函數(shù)),我們將其無重根的情況推廣到一般情形。 其次,通過推廣Good證明Dyson猜想的方法,本文首次給出了關(guān)于xr2/xs2與xr2/xsxt的Dyson系數(shù)的閉形式。進(jìn)一步地,我們還構(gòu)造了一種直接計算上述Dyson系數(shù)的方法。此結(jié)果自然地延續(xù)了Zeilberger與Sills所求的分母中不含有平方項的Dyson系數(shù)的工作。利用上述結(jié)果,我們還構(gòu)造出了幾個有趣的Dyson型常數(shù)項恒等式。 最后,我們證明了一個

9、有理性的結(jié)論。一方面,此有理性結(jié)論在證明Morris,Aomoto與Forrester常數(shù)項時被用來處理重根問題。另一方面,此結(jié)論在求解Dyson系數(shù)時具有基礎(chǔ)性作用。需要指出的是,一些研究者(例如,Sills,Zeilberger,呂侖,辛國策和周岳)已經(jīng)給出了某些Dyson系數(shù)(例如,M=xs/xr,M=xsxt/xr2,M=xtxu/xrxs,M=x2/xs2與M=xr2/xsxt),他們的結(jié)果均暗示了Dyson型常數(shù)項的有理性。