一些反問題的數(shù)值解法研究.pdf

1、自20 世紀(jì)60年代以來, 在地球物理, 生命科學(xué), 材料科學(xué),模式識別, 遙感技術(shù), 信號圖像處理, 工業(yè)控制, 乃至經(jīng)濟決策等眾多的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中, 都提出了由效果, 表現(xiàn)（輸出)反求原因, 原像（輸入)"的反問題, 我們把它們通稱為"數(shù)學(xué)物理反問題". 由于絕大多數(shù)的反問題無法解析求解, 數(shù)值方法對反問題的研究起著根本性的作用. 由于此類問題的理論和算法具有極大的挑戰(zhàn)性, 又有著廣泛而重要的應(yīng)用背景，因此吸引了許多學(xué)者從事該項研究

2、. 近三十年來, 數(shù)學(xué)物理反問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)中發(fā)展和成長最快的領(lǐng)域之一.
　　 反問題的研究內(nèi)容非常廣泛, 本文將著重研究三種反問題的數(shù)值解法. 1)拉普拉斯變換的數(shù)值反演. 對于這種情況, 我們關(guān)心的是光滑的解. 2)第一類Fredholm 積分方程的分段常數(shù)解的數(shù)值解法, 這是一個線性的不適定問題.
　　 3)Robin 反問題的數(shù)值解法, 我們考慮Robin 系數(shù)為分段常數(shù)的情形, 這是一個非線性的不適定問題.

3、>　　 本文分為四章, 主要內(nèi)容如下:
　　 第一章將介紹反問題的一些基礎(chǔ)知識, 包括問題的適定與不適定等基本概念, 并對第一類算子方程（特別是第一類積分方程)的求解方法作簡要的敘述.
　　 介紹了正則化方法的原理, 正則算子的構(gòu)造, 正則解的誤差估計和正則化參數(shù)的確定方法. 本章最后將介紹一些關(guān)于Robin 反問題的背景知識和基本理論.
　　 在第二章, 我們提出了拉普拉斯變換反演的一種基于高階數(shù)值積分的算法

4、. 通過選擇適當(dāng)?shù)那蠓e方法和樣本點, 得到誤差足夠小的離散方程組. 再對該線性方程組引進正則化算子以控制解的光滑性, 并對正則化后的問題選定適當(dāng)?shù)臄?shù)值解法, 我們得到一個高精度的數(shù)值方法. 數(shù)值結(jié)果表明, 利用該章提出的算法來對拉普拉斯變換反演進行近似, 可以得到非常精確的數(shù)值結(jié)果.
　　 在第三章, 我們考慮第一類Freldholm 積分方程的分段常數(shù)解的數(shù)值方法. 我們假定解取k 不同的值, 并分別就解的取值給定和待定兩種情

5、況建立了修正的Tikhonov{TV 正則化方法. 我們對Tikhonov{TV 泛函用二次泛函進行逼近, 從而得到修正牛頓法. 數(shù)值結(jié)果表明: 在分段值的數(shù)目和分段的數(shù)量比較小時, 通過本章提出的數(shù)值方法可以取得比較好的結(jié)果, 可以比較準(zhǔn)確的找出斷點位置和各段的取值.
　　 在第四章, 我們將討論Robin 系數(shù)為分段常數(shù)的Robin 反問題的數(shù)值解法, 這是一個非線性的反問題. 我們的方法建立在[ F. Lin and W.

6、 Fang,Inverse Problems, 21（2005), pp. 1757{1772]的基礎(chǔ)上: 先把該問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程問題, 再引進一個新的函數(shù)把問題線性化.與第三章相似, 我們考慮兩種情況. 第一種情況是已知解有k個不同的取值f c1; c2; : : : ; ck g且ci（I=1; 2; : : : ; k)已給定. 對于這種情況, 我們把這個信息加入到Tikhonov 泛函中,建立變形-Modica{Morto