一些關(guān)于素數(shù)的組合問題.pdf

1、2004年，Green與Tao證明了素數(shù)中存在任意長的非平凡算術(shù)級數(shù)。這是近幾年來數(shù)論中的重大突破之一。早在1927年，vanderWaerden證明了，如果所有自然數(shù)被用κ種顏色著色，那么對任意整數(shù)l≥3，存在長度為l的同色算術(shù)級數(shù)。vanderWaerden定理是組合數(shù)論中的重要結(jié)果之一。受此結(jié)果的啟發(fā)，Erdos與Turán猜測，如果自然數(shù)集A滿足那么A中包含任意長的算術(shù)級數(shù)。Roth首先證明此猜想對三項算術(shù)級數(shù)成立。而這個猜想在

2、1975年由Szemerédi完全解決。Szemerédi定理是一個十分深刻的結(jié)果，它與數(shù)論、組合、遍歷理論、調(diào)和分析等數(shù)學(xué)分支都有著重要的聯(lián)系。Erdos與Turán又進一步猜想，如果自然數(shù)集A={a1，a2…}(這里a1＜a2＜…)滿足級數(shù)∑∞i=1/ai發(fā)散，那么A中包含任意長的算術(shù)級數(shù)。顯然Erdos-Turán猜想蘊含了素數(shù)中存在任意長的算術(shù)級數(shù)。 另一方面，1939年，vanderCorput利用Vinogradov

3、關(guān)于素變量三角和的估計，證明了素數(shù)中包含無窮多的非平凡三項算術(shù)級數(shù)。2003年，Green證明了一個Roth型的vanderCorput定理。用P表示全體素數(shù)的集合。對素數(shù)集A，定義Green證明了如果dp(A)＞0，那么A包含無窮多的三項算術(shù)級數(shù)。一年后，利用Goldston和Ylldrim的一個結(jié)果，Green與Tao完全解決了素數(shù)中的算術(shù)級數(shù)問題。他們證明中的一個主要思想是一種轉(zhuǎn)換原理，也就是將素數(shù)中的一個正密率子集轉(zhuǎn)換到ZN=Z

4、/NZ(這里N是一個大素數(shù))中的一個正密率子集，從而可以運用Szemerédi定理。 注意到vanderCorput定理的證明事實上是和著名的Vinogradov三素數(shù)定理(也就是充分大的奇數(shù)都可以表示成三個素數(shù)的和)是完全類似的。因此有理由相信，Green-Tao的轉(zhuǎn)換原理也可以運用到三素數(shù)定理的證明當(dāng)中。在這里我們將證明如下密率型的Vinogradov三素數(shù)定理：定理1.設(shè)P1，P2，P3為P的三個子集，滿足dp(P1)+d

5、p(P2)+dp(P3)＞2，這里那么對充分大的奇數(shù)n，存在P1∈P1，P2∈P2，P3∈P3，使得n=P1+P2+P3。 以上結(jié)果在一定意義下是最好的：令P1=P2={p∈P:p≡1(mod3)}，P3=P＼{3}。顯然dp(P1)+dp(P2)+dp(P3)=2。而所有6κ+5型奇數(shù)都不在和集P1+P2+P3中。 1978年，F(xiàn)urstenberg和Sárkozy分別獨立證明了如果自然數(shù)集A滿足d(A)＞0，那么存在

6、x，y∈A以及正整數(shù)z，使得x-y=z2。在同年的另一篇文章中，Sárkozy還證明了如果自然數(shù)集A滿足d(A)＞0，那么存在x，y∈A以及素數(shù)p，使得x-y=p-1。以下我們的結(jié)果統(tǒng)一了Sárkozy的兩個定理：定理2.設(shè)砂(x)為常數(shù)項為0的整系數(shù)多項式。A為滿足d(A)＞0的自然數(shù)集。那么存在x，y∈A以及素p，使得x-y=ψ(p-1)。 進一步，利用Green-Tao的轉(zhuǎn)換原理，我們有定理3.設(shè)ψ(z)為常數(shù)項為0的整系

7、數(shù)多項式。A為滿足dp(A)＞0的素數(shù)集。那么存在x，y∈A以及素數(shù)p，使得x-y=ψ(p-1)。 2003年，Khalfalah與Szemerédi證明：設(shè)ψ(z)為常數(shù)項為偶數(shù)的整系數(shù)多項式。如果所有正整數(shù)被用κ種顏色著色，那么存在同色相異的x，y以及整數(shù)z滿足x+y=ψ(z)。此結(jié)果解決了Erdos，Roth，Sárkozy與Sós的一個猜想。這里我們將利用轉(zhuǎn)換原理證明：定理4.設(shè)ψ(z)為常數(shù)項為偶數(shù)的整系數(shù)多項式。如果

8、所有正整數(shù)被用κ種顏色著色，那么存在同色相異的x，y以及素p滿足x+y=ψ(p-1)。 類似地，對于素數(shù)的著色，我們有：定理5.設(shè)ψ(z)為常數(shù)項為偶數(shù)的整系數(shù)多項式。假設(shè)對任意素數(shù)p，存在0≤cp＜p-1使得1/2ψ(Cp)不被p整除。那么如果所有素數(shù)被用κ種顏色著色，存在同色相異的素數(shù)x，y以及素數(shù)p滿足x+y=ψ(p-1)。 Schur定理是組合數(shù)論中的另一個重要結(jié)果。如果所有正整數(shù)被用κ種顏色著色，那么Schur