分段連續(xù)型微分方程數(shù)值方法的若干性質(zhì)及解析近似技術(shù).pdf

1、本文討論了幾類分段連續(xù)型微分方程，包括分段連續(xù)型常微分方程、分段連續(xù)型偏微分方程和分段連續(xù)型隨機(jī)微分方程的數(shù)值方法的收斂性、穩(wěn)定性、振動(dòng)性以及解析近似技術(shù)。這種類型的方程在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，從而對(duì)其數(shù)值求解和解析近似技術(shù)的研究具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。
　　本文介紹了分段連續(xù)型微分方程的研究歷史，回顧了這類方程本身及其數(shù)值解的一些重要性質(zhì)及其發(fā)展?fàn)顩r。
　　對(duì)于混合型分段連續(xù)微分方程，研究了Runge-Kutta方

2、法的數(shù)值穩(wěn)定性?；喠私馕鼋鉂u近穩(wěn)定的條件，證明了 Runge-Kutta方法保持了收斂階。利用Pad′e逼近和Order Star理論給出了數(shù)值解的穩(wěn)定區(qū)域包含解析解的穩(wěn)定區(qū)域的充分必要條件，進(jìn)一步討論了θ-方法的穩(wěn)定性，相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)也被給出。
　　考慮了交替向前與滯后型分段連續(xù)微分方程θ-方法的穩(wěn)定性和振動(dòng)性以及兩者之間的關(guān)系。得到了數(shù)值解漸近穩(wěn)定和振動(dòng)的條件，證明了在一定條件下，解析解的穩(wěn)定區(qū)域能夠被數(shù)值解的穩(wěn)定區(qū)域包含，

3、θ-方法能夠保持解析解的振動(dòng)性，對(duì)于解析解和數(shù)值解，分別給出了穩(wěn)定性與振動(dòng)性之間的關(guān)系，進(jìn)一步用數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。
　　研究了向前型分段連續(xù)微分方程Runge-Kutta方法的數(shù)值振動(dòng)性以及穩(wěn)定性與振動(dòng)性之間的關(guān)系。給出了數(shù)值解漸近穩(wěn)定的充分必要條件，證明了Runge-Kutta方法可以保持解析解的振動(dòng)性，獲得了穩(wěn)定性與振動(dòng)性之間的關(guān)系，并給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。
　　對(duì)于帶有乘性噪聲的分段連續(xù)型線性隨機(jī)延遲微分方程，研究了Eul

4、er-Maruyama方法的均方穩(wěn)定性和T-穩(wěn)定性。利用It?o公式給出了解析解均方穩(wěn)定的充分條件，再運(yùn)用一些重要不等式證明了數(shù)值解在一定條件下是均方穩(wěn)定和T-穩(wěn)定的。
　　利用分離變量等方法得到了拋物型分段連續(xù)偏微分方程解析解漸近穩(wěn)定的充分條件，對(duì)于用θ-方法得到的差分格式，利用譜半徑條件得到了數(shù)值解漸近穩(wěn)定的充分條件。
　　對(duì)于幾個(gè)線性和非線性分段連續(xù)型微分方程，運(yùn)用變分迭代方法求出了解析近似解，并與精確解和數(shù)值解進(jìn)行比