非相似邊界層方程的同倫級數(shù)解.pdf

1、1.研究內(nèi)容、目的和意義
　　 邊界層理論自1904年由普朗特提出以來,已成為流體力學(xué)的經(jīng)典研究領(lǐng)域,在過去的一個多世紀(jì)里獲得了長足的進展。這主要是由于這種流動廣泛存在于許多與流體相關(guān)的科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域里。邊界層是物體表面一層薄薄的流體,其中有很大的速度梯度,以至于即使對于粘性系數(shù)很小的流體,粘性力也不能忽略。邊界層在許多流動場合中存在,比如自來水管中的流動、明渠流動、地面附近的大氣流動、建筑物壁面上的流動、汽車或機翼繞流等。

2、在船舶工程中,船舶的粘性阻力的計算、邊界層控制與減阻等應(yīng)用均與邊界層有關(guān)。邊界層理論解決了高雷諾數(shù)流動中如果忽略粘性采用勢流理論來計算物體在流體中的受力情況時,會得到物體所遭受的阻力為零這一與事實相矛盾的結(jié)論。引入邊界層近似之后,對于像水和空氣這種粘性很小的流體,粘性對流動的影響只限于物面附近的邊界層中。邊界層以外的流動可以按理想流體流動處理。對于邊界層內(nèi)這部分粘性流動,由于它在幾何上的特點為一薄層流體流動,可以把Navier-Stok

3、es方程簡化為邊界層微分方程,從而使許多重要的實際問題可以得到比較滿意的解答。
　　 普朗特提出邊界層概念之后,在1908年Blasiusi應(yīng)用它來求解順流放置的半無限長平板上的層流邊界層獲得了成功。這也是成功應(yīng)用邊界層理論的第一個重要實例。在平板邊界層流動中,由于假設(shè)平板為半無限長,整個流動問題中找不到一個x方向的特征長度,因此可以設(shè)想在任一x值處的流速分布圖形都是互相相似的。相似性解是邊界層研究中的一個非常重要的概念。當(dāng)邊界

4、層方程具有相似性解時,其流速u(x,y)的分布具有如下性質(zhì):如果把任意x斷面的流速分布圖形u～y的坐標(biāo)用有關(guān)尺度因素均化為無量綱坐標(biāo),則任意x斷面處無量綱的流速分布圖形均相同。當(dāng)邊界層微分方程式存在相似性解時,可以把偏微分方程化為常微分方程,從而帶來數(shù)學(xué)上很大的簡化。從數(shù)學(xué)上來看,相似解即是利用微分方程的對稱性所做的相似約化。
　　 然而,相似解的存在是有條件的。比如邊界條件的引入應(yīng)該不能破壞相似性,這等于給邊界條件設(shè)定了一些限

5、制,即只有在某些特殊的邊界條件下才存在相似解。比如平板邊界層流動,只有當(dāng)外部勢流流速U與xm成比例時,邊界層方程才具有相似解。實際的許多流動很難滿足這樣的條件,因此,客觀上說,相似邊界層流動是很有限的,絕大多數(shù)的邊界層流動是非相似的。即相似是特殊情況,非相似是一般情況。在非相似情況下,流動的控制方程仍然為偏微分方程,在數(shù)學(xué)處理上面臨極大的困難。正是由于這個因為,許多邊界層研究都只是限于一些特殊情況下的相似流動。但是,正因為非相似流動是普

6、遍情形,我們更應(yīng)該關(guān)注非相似現(xiàn)象的研究。這也是本論文的研究動機之一。
　　 承上所述,邊界層近似是N-S方程在大雷諾數(shù)情況下的一種近似解。通過邊界層近似,N-S方程中的一些項被忽略,方程得到簡化,從而使許多實際的工程問題(除平板繞流外,還有繞楔角流動、駐點流動、射流等)能得到比較滿意的解答。但是,邊界層近似并未改變上述方程的非線性性質(zhì)。邊界層方程的求解在數(shù)學(xué)上仍然存在很大的困難。正是由于這一因為,數(shù)值方法成為邊界層方程求解的主要

7、方法。但是數(shù)值方法也有其局限性,例如,難于處理無窮域問題、不容易發(fā)現(xiàn)多解、難以分析各種參數(shù)的物理影響等等,因此,仍有必要發(fā)展邊界層方程的解析方法。
　　 匹配漸近展開法是應(yīng)用得較多的解析方法之一。但該方法的具有依賴于某個小參數(shù)、且高階近似的收斂性無法保障、低階近似精度不高等缺點。因此,發(fā)展新的邊界層解析方法就成為必要。
　　 為了克服這些困難和不足,廖世俊教授于1992年發(fā)展了一種新的非線性分析方法-同倫分析方法(Hom

8、otopy Analysis Method,HAM)。該方法不依賴于某個小參數(shù),并且所獲得的近似級數(shù)解的收斂性可以通過引入的輔助參數(shù)h來控制和調(diào)節(jié)。同倫分析方法在解的基函數(shù)表達(dá)、線性算子和初始解的選取上具有很大的靈活性。合理地選取這些要素,能夠進一步增強解級數(shù)的收斂性,從而能夠以較低的階數(shù)獲得高精度近似。同倫分析方法已經(jīng)在許多非線性邊界層問題上獲得了成功,如邊界層傳熱傳質(zhì)、非定常邊界層問題、邊界層多解問題等。在非線性振動問題、非線性波動

9、問題、波流相互作用問題、金融數(shù)學(xué)中的美式看跌期權(quán)等問題上也獲得了成功的應(yīng)用。這些都表明了同倫分析方法處理非線性問題的有效性和巨大潛力。
　　 本論文將應(yīng)用同倫分析方法求解非相似邊界層流動。非相似邊界層方程一般都是偏微分方程。因此本論文以非相似邊界層的偏微分方程為例,給出同倫分析方法求解偏微分方程的一些思路,對完善同倫分析方法具有很強的理論意義,也為流體力學(xué)中的許多其他的偏微分方程的求解提供借鑒。
　　 綜上所述,本論文的

10、研究目的是兩方面的。首先在物理上,由于許多邊界層流動本質(zhì)上是非相似的,因此本論文對非相似現(xiàn)象的研究,將會極大地開拓邊界層理論的應(yīng)用范圍。論文首次提供的非相似邊界層流動在整個時間域、空間域內(nèi)一致有效的解析近似解能夠幫助我們更好地理解非相似現(xiàn)象的物理本質(zhì)。其次在數(shù)學(xué)上,我們以非相似邊界層問題為對象,研究非線性、非定常偏微分方程的解析近似解法,這既是對同倫分析方法的完善,也為非線性偏微分方程的求解提供了新的思路和應(yīng)用。論文的研究既具有很強的理

11、論意義,又具有較高的應(yīng)用價值。
　　 2.論文的主要工作
　　 論文的第1章對邊界層理論和同倫分析方法作了簡單介紹。論文的主要工作在第2、3、4章中展開。其中第2章求解了繞楔形體的定常非相似邊界層流動。第3章求解了突然拉伸平板上的非定常非相似邊界層流動。第4章求解了垂直板上的定常非相似對流傳熱耦合問題。
　　 2.1繞楔形體的非相似邊界層流動
　　 第2章研究繞楔角的定常非相似邊界層流動。楔角壁面上允許流

12、體的進出。自由來流和壁面上的流速假定為冪率分布。我們應(yīng)用同倫分析方法求得了該問題的解析近似解,并討論了各種物理參數(shù)對表面摩擦系數(shù)和邊界層位移厚度的影響。
　　 繞楔角邊界層流動最早由Falkner和Skan在上世紀(jì)30年代提出。通過相似變換,他們得到現(xiàn)在稱為Falkner-Skan的常微分方程。這里我們考慮定常的非相似的Falkner-Skan方程。其非相似性是由壁面流體的進出引起的。
　　 這里u和υ分別為沿流向及其垂

13、直方向上的流速,ν為流體的運動粘性系數(shù)。Vw(x)=bxn為流體抽出(b＞0)或注入(b＜0)速度,U∞(x)=axm表示外部流速,a＞0為任意常數(shù),m與楔角πθ的關(guān)系為m=θ/(2-θ)。
　　 引進流函數(shù)和如下的G(o)rtler變換:
　　 其中γ=-√2a-к-1/2b[ν(m+1)]к-1/2,к=(m+1)-1[n-(m-1)/2]均為常數(shù)。注意到當(dāng)U∞(x)=axm時,β變成常數(shù)2m/(m+1)。這里,γ為

14、注入/抽出參數(shù),b∈R,a＞0,κ定義壁面流速指數(shù)n和楔角參數(shù)m之間的關(guān)系。需要指出的是γ=0為相似解存在的必要條件。
　　 我們應(yīng)用同倫分析方法求解該問題。同倫方法基于這樣的思路,即將所考慮的非線性問題的解與一個參數(shù)q聯(lián)系起來,即構(gòu)造這樣的函數(shù)φ(ξ,η；q),使得當(dāng)q從0漸變至1時,φ(ζ,η；g)從一個初始解f0(ξ,η)漸變至所考慮非線性問題的解.f(ξ,η)。為達(dá)到這一目的,可構(gòu)造如下的同倫:
　　 這里()為

15、輔助線性算子,N[φ(ξ,η；q)]與原方程具有相同的形式,只是所有f(ξ,η)均以φ(ξ,η；q)代替。從上述構(gòu)造的同倫方程,我們可以看到,當(dāng)q=0時,同倫方程的解為
　　 這樣從初始解至最終解的漸變就通過同倫方程聯(lián)系起來了。
　　 假定這種隨q的漸變過程足夠光滑,可以將φ(ξ,η；q)展開成關(guān)于q的Maclaurin級數(shù):
　　 這樣,如果我們能夠求得Maclaurin級數(shù)的各階系數(shù),利用上式,就能得到f(ξ

16、,η)的以級數(shù)表達(dá)的解析近似解。
　　 各階系數(shù)的控制方程可通過將所構(gòu)造的同倫對參數(shù)q在q=0處求導(dǎo)數(shù)的方式獲得。這樣我們就得到如下的各階系數(shù)的控制方程
　　 注意到上述所得的方程為線性方程,因此同倫分析方法就將一個非線性問題轉(zhuǎn)化為了一系列的線性問題。
　　 從上述過程可以看到,同倫分析方法中有輔助線性算子和初始解的選取等問題。一般來講,同倫分析方法根據(jù)物理問題的特點,將方程的解以一個合適的基函數(shù)來表達(dá),輔助線性

17、算子和初始解等都依據(jù)基函數(shù)來確定。同倫分析方法提供了一定的自由度來進行線件算子、基本解和初始解等的選取。本問題中f(ξ,η)可由如下的基函數(shù)
　　 注意到這個線性算子僅含關(guān)于η的導(dǎo)數(shù),這樣我們就將原始的非線性PDE轉(zhuǎn)換為一系列的線性的ODE。顯然求解ODE比解PDE要容易得多。而且,可以看到,該輔助線性算子與原始方程中的線性算子并沒有直接的聯(lián)系。
　　 記線性方程的特解為
　　 這里常數(shù)C1,C2由邊界條件確定,

18、常數(shù)C3根據(jù)無窮遠(yuǎn)處條件應(yīng)為零。上述過程借助于Mathematica等符號計算工具很容易實施。
　　 同倫分析方法給出的是級數(shù)形式的近似解,它的收斂性是個關(guān)鍵問題。注意到,我們所得的級數(shù)解中含有參數(shù)(h)和(h)b,在解表達(dá)中有參數(shù)λ,它們對解的收斂性有影響。為簡單起見,我們?nèi)?h)b=(h)。合理選取(h)和λ,可以控制和調(diào)節(jié)級數(shù)的收斂性。我們以γ=0,β=1情況為例,來討論這兩個參數(shù)的選取。γ=0即為Falkner-Skan

19、研究過的壁面無流體進出的相似邊界層問題。我們可以先固定其中的一個參數(shù),讓另外一個參數(shù)變化,考查可變參數(shù)對級數(shù)解的收斂性的影響。首先,將(h)設(shè)定為-1,考察λ對解的影響。通過繪制f"(ξ,0)隨λ的變化曲線來達(dá)到這一目的。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)λ≥5,級數(shù)f"(ξ,0)收斂到同一值。其次,固定λ=5,考察(h)的影響。通過方程的平方余量誤差來分析。我們發(fā)現(xiàn)取(h)=-1時余量最小。我們同時還應(yīng)用了同倫-培德技術(shù)來對解級數(shù)的收斂性進行了改進,發(fā)現(xiàn)當(dāng)(

20、h)=-1,λ=5時,我們的結(jié)果與Hartree的數(shù)值結(jié)果吻合良好,見表2.1。
　　 對γ=1(即流體有抽出的非相似情形)可作同樣的收斂性分析。圖2.2表明當(dāng)λ＞5時,即使對大的ξ也能得到收斂的結(jié)果。圖2.3表明了(h)對余量誤差的影響。圖2.4中,取λ=5,(h)=-1就能得到在整個0≤ξ＜∞,0≤η＜∞(相應(yīng)于0≤x＜∞,0≤y＜∞)內(nèi)都收斂的解。而且可以看到,20階和25階的結(jié)果與8階、12階的同倫-培德近似吻合很好。表

21、2.2表明,余量誤差隨著近似階數(shù)的增加而減小。這說明我們的結(jié)果是收斂的。
　　 在物理上我們感興趣的是局部壁面摩擦系數(shù)和邊界層位移厚度。它們與壁面流體進出速度的關(guān)系尤為重要。圖2.5和2.6給出了壁面流速分布к=1/2(κ與壁面流速分布中的指數(shù)n有關(guān))、β=1時壁面摩擦系數(shù)和位移厚度隨注入/抽出參數(shù)γ的變化關(guān)系,其中。fηη(ξ,0)是與摩擦系數(shù)有關(guān)的量?？梢钥吹?流體注入會增加邊界層厚度,減小壁面摩擦。流體抽出會減小邊界層厚度

22、,增加壁面摩擦。圖中還表明了非相似解在к＞0,ξ→0時趨近于相似解。
　　 圖2.7和2.8給出了另外一種壁面流速分布к=-1/4、β=1情況下的壁面摩擦系數(shù)和位移厚度隨注入/抽出參數(shù)γ的變化關(guān)系?？梢钥闯鐾瑯拥囊蕾囮P(guān)系。但是,在к＜0的情況下,非相似解卻是在ξ→∞時趨近于相似解。
　　 參數(shù)β對局部壁面摩擦系數(shù)和邊界層厚度的影響示于圖2.9和圖2.10中?？梢钥吹?γ＞0時,當(dāng)β從0至2變化時,壁面摩擦系數(shù)增加,位移厚

23、度減小。γ＜0時,流體注入的效果是使得邊界層厚度增加,壁面摩擦減小。
　　 2.2突然拉伸平板上的非定常非相似邊界層流動
　　 邊界層流動的非定常行為也是人們極為感興趣的。攝動方法是研究非定常邊界層流動的主要方法,但是攝動方法所得的解只在小時間段或長時間之后有效,而沒有在整個時間域內(nèi)都一致有效的解析解。因此,第3章應(yīng)用同倫分析方法研究非定常邊界層流動,目的是獲得在整個時間和空間域內(nèi)都有效的解析近似解,并分析邊界層流動的非

24、定常行為。
　　 拉伸平板上的邊界層流動在各種生產(chǎn)過程中存在。如玻璃纖維的制造,高分子材料的成型等過程中。Sakiadis最早研究了靜止流體中的拉伸平板上的流動,以后許多學(xué)者又研究了不同情形下拉伸平板上的邊界層流動。廖世俊教授應(yīng)用同倫分析方法研究了拉伸平板上的定常非相似邊界層流動。這里,我們進一步研究其非定常行為。
　　 上式表明當(dāng)t＜0時,板和流體都處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時刻,平板突然以速度u=Uw(x)拉伸。

25、　　 引進如下的流函數(shù)和變換:
　　 相似解只對某些特殊的Uw(x)存在。當(dāng)相似解存在時,系統(tǒng)的控制方程就由耦合的偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?。根?jù)G(o)rteler的研究,相似解是否存在由下述函數(shù)判定
　　 如果∧A(x)為常數(shù),則存在相似解。但實際上我們可以給出任意多的速度Uw(x)不滿足這個條件,這樣一般我們就只能得到非相似解。
　　 本文考慮如下的平板拉伸速度Uw=x/(1+x),即拉伸速度從0單調(diào)地增至

26、1。該速度分布下,只能得到非相似解。注意到當(dāng)x趨近于0時,Uw～x,而當(dāng)x→+∞時,Uw→1。因此物理上,在x=0附近,流動漸近于Uw=x時的相似解,而在x→+∞處,流動漸近于Uw=1時的相似解。對Uw=x和Uw=1的相似流動,相似變量分別為y/√νζ和y√νζx。因此根據(jù)變量η的定義,我們?nèi)ˇ?x)=√1+x,這樣當(dāng)x→0時,我們就有η→y√νζ,當(dāng)x→+∞時有η→y√νζx。為簡明起見,我們定義
　　 同倫分析方法的具體實施

27、過程詳見第3章,這里不再贅述。
　　 如前所述,同倫級數(shù)解的收斂性強烈地依賴于參數(shù)(h)的選取。該參數(shù)的選取可以通過所謂(h)曲線或者令平方余量最小的方式獲得。定義如下的平方余量誤差我們就能得到最優(yōu)的(h)取值。該值將給出原方程的最小余量誤差。
　　 圖3.1表明,參數(shù)(h)取值在[-3/2,0]之間可以得到收斂的級數(shù)解。因此我們可以在該區(qū)間內(nèi)給(h)取值,以得到在整個0≤ζ＜1,0≤ξ＜1,0≤η＜∞(對應(yīng)于0≤τ＜∞

28、,0≤x＜∞,0≤y＜∞)內(nèi)都收斂的級數(shù)解。表3.1表明,(h)=-1/2時,隨著近似階數(shù)的增加,方程的余量誤差逐漸減小,這說明級數(shù)解是收斂的。我們還應(yīng)用同倫-培德技術(shù)來加速級數(shù)解的收斂性。圖3.2將ζ=0(即τ=0),并取(h)=-1/2時的15階同倫級數(shù)解和[2,2]同倫-培德近似解與精確解作了比較,發(fā)現(xiàn)它們在整個0≤ζ＜1,0≤η＜∞的空間域內(nèi)都吻合很好。還可以考察與局部表面摩擦系數(shù)Cf有關(guān)的f"(ξ,0,0)的值。我們還發(fā)現(xiàn),在

29、ξ=1時,我們的解給出.f"(ξ,0,0)=-ξ/√π,它恰與ξ=1時的非定常相似流動的精確解吻合。因此,應(yīng)用同倫分析方法,我們可以得到突然拉伸平板上的非定常非相似邊界層方程在整個時間域和空間域內(nèi)都一致有效的完全解析的近似解。
　　 我們發(fā)現(xiàn),對定常的相似流動,局部表面摩擦系數(shù)在x→0時為-2√ν/x,在x→∞時為-0.8875√ν/x。定常相似流動的邊界層厚度在Uw(x)=x時為√ν,在Uw(x)=1為1.61613√νx。從

30、圖3.3和圖3.4中可以看到本文給出的同倫級數(shù)解在τ=10和(h)=-1/2時與Uw(x)=x及Uw(x)=1時的定常相似解吻合良好。圖3.3和圖3.4中還給出了最終穩(wěn)態(tài)(ζ=1)時的表面摩擦系數(shù)和邊界層厚度的計算結(jié)果?？梢钥吹轿覀兊耐耆嵌ǔ７窍嗨七吔鐚臃匠痰慕庠讦?10時與ζ=1時的定常解吻合良好。這些均證明了我們的方法的有效性。
　　 圖3.5給出了表面摩擦系數(shù)隨τ的非定常變化。可以看到,隨著時間的增加,表面摩擦系數(shù)降低。

31、由于突然拉伸的因為,表面摩擦在拉伸的初始階段ζ=0(τ→0)有很大的值。但隨著時間的推移,它逐漸減小,最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)ζ=1(τ→∞)。邊界層厚度隨時間的演變行為則恰恰相反,示于圖3.6中。
　　 2.3等熱環(huán)境下可透垂直平板上的非相似自然對流傳熱
　　 非相似熱邊界層可有多種因為導(dǎo)致。最常見的因為是速度邊界層的非相似性。另外,即使速度邊界層是相似的,熱邊界層也可能是非相似的。這可由平板表面溫度分布、表面熱通量和流場內(nèi)熱

32、源等的非相似性引起。
　　 第4章研究了可透等熱垂直平板上的非相似自然對流傳熱問題。問題的控制方程為其中γ=-√2a/(Gr)1/4Pr,撇號表示對η的微分。n為壁面流體進出速度冪率分布的冪次指標(biāo),γ通過常數(shù)α與壁面流速Vw(x)關(guān)聯(lián)。當(dāng)α為負(fù)(即流體抽出)時,γ＞0,而當(dāng)α為正(即流體注入)時,γ＜0。
　　 詳細(xì)的同倫分析方法求解過程見第4章,在此不贅述。這里我們只討論計算結(jié)果所揭示的物理現(xiàn)象。圖4.4給出了普朗特數(shù)

33、Pr對平板熱傳導(dǎo)的影響。可以看到局部Nusselt數(shù)隨Pr的增加而增加。這是由于Pr數(shù)較高的流體,有相對較低的熱導(dǎo)系數(shù),因此熱邊界層的厚度較薄,導(dǎo)致表面熱傳導(dǎo)率增加。另一方面,圖4.5顯示局部表面摩擦系數(shù)卻隨Pr數(shù)的增加而減小。實際上,高Pr數(shù)的流體意味著流體的粘性更大,因此增加了邊界層厚度,減小了剪切應(yīng)力。從圖4.4和圖4.5上還可看到,相似解在ξ→0和ξ→∞時存在。當(dāng)0.5≤ξ≤10時流動是非相似的。因此,對所有Pr數(shù),非相似流動在

34、ξ→0和ξ→∞區(qū)域都趨向于相似解。
　　 圖4.6和4.7給出了壁面流體出入對局部Nusselt數(shù)的影響?？梢钥吹?流體抽出時的板面?zhèn)鳠崧瘦^流體注入時的高。這是由于流體抽出使得表面剪切應(yīng)力增加,使得局部Nusselt數(shù)增加。圖4.8和圖4.9給出了對于水(Pr=7)和空氣(Pr=0.72)兩種流體,壁面流體的出入對壁面摩擦系數(shù)的影響?？梢钥吹?低Pr時,流體的抽出使壁面摩擦增加,而高Pr數(shù)時,流體抽出則使壁面摩擦減小。流體注入的

35、效果則相反。這同樣是由于高Pr數(shù)下,流體更粘,邊界層更厚的因為所致。
　　 3.論文的創(chuàng)新點
　　 本論文首次研究了非相似變換在邊界層流體力學(xué)中的應(yīng)用。首先求解了多孔楔形體周圍的粘性非相似邊界層繞流。給出了對所有參數(shù),在整個域內(nèi)都有效的級數(shù)解。我們發(fā)現(xiàn)壁面流體抽出減小了邊界層厚度,增加了剪應(yīng)力。壁面流體注入增加了邊界層厚度,減小了剪應(yīng)力。當(dāng)β從0至2變化時,摩擦系數(shù)增加,邊界層位移厚度減小。還發(fā)現(xiàn),非相似流動在ξ→0,к

36、＞0或ξ→∞,к＜0的情況下,趨近于相似流動。
　　 首次給出了突然拉伸平板上的非定常、非相似邊界層流動的解析近似解。我們應(yīng)用不同于Williams和Rhyne的時間尺度變換,這種變換能夠避免奇異性的對數(shù)函數(shù)ln(1-ξ)出現(xiàn)。所得的級數(shù)解對所有時間和在整個流場內(nèi)均有效。我們發(fā)現(xiàn),定常相似流動的局部表面摩擦系數(shù)當(dāng)x→0時為-2√ν/x,當(dāng)x→∞時為-0.8875√ν/x。定常相似流動的邊界層厚度當(dāng)Uw(x)=x時為√ν,當(dāng)Uw(

37、x)=1時為1.61613√νx。同倫級數(shù)解在τ=10和(h)=-1/2時與Uw(x)=x和Uw(x)=1時的定常相似解吻合良好。而且所得的完全非定常、非相似的邊界層解在τ=10時與ζ=1時的定常解吻合良好。
　　 應(yīng)用同倫分析方法解析求解了等熱環(huán)境下可穿透豎直板上的層流自然對流非相似邊界層流動和熱傳導(dǎo)問題。分析了流體注入(或抽出)參數(shù)γ、普朗特數(shù)Pr等對流動和傳熱的影響。觀察到對Pr=0.72(空氣)和Pr=7(水)的兩種流體

38、來說,流體的抽出能增加局部Nusselt數(shù)。而流體注入的影響則相反。普朗特數(shù)Pr的增加,將導(dǎo)致表面摩擦系數(shù)的降低,但局部Nusselt數(shù)則會增加。相似解在ξ≤0.5或ξ≥10時存在。在0.5≤ξ≤10范圍內(nèi),對所有普朗特數(shù)Pr和注入(或抽出)參數(shù)γ來說,解是不相似的。
　　 數(shù)學(xué)上來講,非相似邊界層流動的控制方程是非線性的偏微分方程。然而,通過HAM方法,這種非線性偏微分方程可以轉(zhuǎn)化成一系列的容易求解的線性常微分方程。從物理上解