兩類帶擾動、Hardy項和加權(quán)HardY-Sobolev臨界指數(shù)的半線性橢圓方程的正解.pdf

1、本文主要討論如下帶擾動、Hardy項和加權(quán)Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的半線性橢圓的方程，{-div(|x|-2a▽u)-μu/|x|2(1+a)=|u|p-2/|x|bpu+f(x,u）,x∈Ω\{0}(P)x∈(e)Ω其中Ω是RN(N≥3)中有光滑邊界的有界區(qū)域，且有0∈Ω.此外，有0≤a＜√(μ)，0≤μ＜（√(μ)-a）2且有√(μ)△=(N-2)2/4和a≤b＜a+1.p=p(a，b)△=2N/N-2(1+a-b)是Ha

2、rdy-Sobolev臨界指數(shù)，且當a=b時，p(a，a)=2N/N-2=2*是Sobolev臨界指數(shù).另設(shè)F(x，t)=fs0f(x，s)ds.
　　首先，考慮一般項函數(shù)f∈C((Ω)×R，R)不滿足(AR)條件而滿足非二次超臨界條件的情況.設(shè)函數(shù)f滿足下列條件:
　　(f1)f∈C（(Ω)×R+,R），lim sup t→0+F(x,t)/t2＜1/2λ，且存在一個正常數(shù)B，使得lim sup|t|→∞ F(x,t)/t

3、q≤B＜∞，對x∈(Ω)一致成立，且其中p≤q＜2*=2N/N-2;
　　(f2)存在正常數(shù)D和σ＞N(q-2)/2，使得lim inf|t|→∞ f(x,t)t-2F(x,t)/|t|σ≥D對幾乎處處z∈(Ω)一致成立;
　　(f3)存在正常數(shù)C和ρ＞2，使得F(x，t)≥Ctρ對任何(x，t)∈Ω×R+成立.另設(shè)ρ＞ max{2,N/γ,N-2β/√(μ)-a},其中β△=√(√(μ)-a）2-μ且γ△=√(μ)-a+β

4、且N≥3(1+a)，0＜λ＜λ1，λ1是算子-div（|x|-2a▽.）-μ|x|-2(1+a).的第一個特征值，則方程(P)至少有一個正解.
　　其次，考慮函數(shù)f同時滿足1983年Brezis和Nirenberg給出的條件和次臨界條件的情況.對函數(shù)f做如下假設(shè):
　　(f4)f∈C（(Ω)×R+，R），lim supt→0+ F(x,t)/t2＜1/2λ，且lim t→+∞F(x,t)/tp=0，對所有x∈(Ω)一致成立.

5、
　　(a)當N＞2a+2+2√μ+(1+a)2時，存在正常數(shù)σ，一個非空子集ω滿足0∈ω(C)Ω和一個開區(qū)域I(C)(0，+∞)，使得對幾乎處處的x∈ω和所有的t≥0有f(x，t)≥0成立，且對幾乎處處的x∈ω和所有的t∈I有f(z，t)≥σ＞0成立;
　　(b)當N=2a+2+2√μ+(1+a)2時，存在正常數(shù)σ，D3和非空子集ω滿足0∈ω(C)Ω，使得對幾乎處處的x∈ω和所有的t≥0有f(x，t)≥0成立;且對幾乎處處

6、的x∈ω和所有的t∈[0，D3]有f(x，t)≥σt成立，或者說有對幾乎處處的x∈ω和所有的t∈[D3，+∞]有f(x，t)≥σt成立;
　　(c)當3(1+a)≤N＜2a+2+2√μ+(1+a)2時，存在非空子集ω滿足0∈ω(C)Ω，使得對幾乎處處的x∈ω和所有的t≥0有f(x，t)≥0成立，且當x∈ω時，limt→+∞f(x,t)/tN-γ'-3β/γ'+β=+∞一致成立.
　　則當函數(shù)f滿足條件(f4)和(a)，(b)