2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、本文主要討論如下帶擾動、Hardy項和加權(quán)Hardy-Sobolev臨界指數(shù)的半線性橢圓的方程,{-div(|x|-2a▽u)-μu/|x|2(1+a)=|u|p-2/|x|bpu+f(x,u),x∈Ω\{0}(P)x∈(e)Ω其中Ω是RN(N≥3)中有光滑邊界的有界區(qū)域,且有0∈Ω.此外,有0≤a<√(μ),0≤μ<(√(μ)-a)2且有√(μ)△=(N-2)2/4和a≤b<a+1.p=p(a,b)△=2N/N-2(1+a-b)是Ha

2、rdy-Sobolev臨界指數(shù),且當a=b時,p(a,a)=2N/N-2=2*是Sobolev臨界指數(shù).另設(shè)F(x,t)=fs0f(x,s)ds.
  首先,考慮一般項函數(shù)f∈C((Ω)×R,R)不滿足(AR)條件而滿足非二次超臨界條件的情況.設(shè)函數(shù)f滿足下列條件:
  (f1)f∈C((Ω)×R+,R),lim sup t→0+F(x,t)/t2<1/2λ,且存在一個正常數(shù)B,使得lim sup|t|→∞ F(x,t)/t

3、q≤B<∞,對x∈(Ω)一致成立,且其中p≤q<2*=2N/N-2;
  (f2)存在正常數(shù)D和σ>N(q-2)/2,使得lim inf|t|→∞ f(x,t)t-2F(x,t)/|t|σ≥D對幾乎處處z∈(Ω)一致成立;
  (f3)存在正常數(shù)C和ρ>2,使得F(x,t)≥Ctρ對任何(x,t)∈Ω×R+成立.另設(shè)ρ> max{2,N/γ,N-2β/√(μ)-a},其中β△=√(√(μ)-a)2-μ且γ△=√(μ)-a+β

4、且N≥3(1+a),0<λ<λ1,λ1是算子-div(|x|-2a▽.)-μ|x|-2(1+a).的第一個特征值,則方程(P)至少有一個正解.
  其次,考慮函數(shù)f同時滿足1983年Brezis和Nirenberg給出的條件和次臨界條件的情況.對函數(shù)f做如下假設(shè):
  (f4)f∈C((Ω)×R+,R),lim supt→0+ F(x,t)/t2<1/2λ,且lim t→+∞F(x,t)/tp=0,對所有x∈(Ω)一致成立.

5、
  (a)當N>2a+2+2√μ+(1+a)2時,存在正常數(shù)σ,一個非空子集ω滿足0∈ω(C)Ω和一個開區(qū)域I(C)(0,+∞),使得對幾乎處處的x∈ω和所有的t≥0有f(x,t)≥0成立,且對幾乎處處的x∈ω和所有的t∈I有f(z,t)≥σ>0成立;
  (b)當N=2a+2+2√μ+(1+a)2時,存在正常數(shù)σ,D3和非空子集ω滿足0∈ω(C)Ω,使得對幾乎處處的x∈ω和所有的t≥0有f(x,t)≥0成立;且對幾乎處處

6、的x∈ω和所有的t∈[0,D3]有f(x,t)≥σt成立,或者說有對幾乎處處的x∈ω和所有的t∈[D3,+∞]有f(x,t)≥σt成立;
  (c)當3(1+a)≤N<2a+2+2√μ+(1+a)2時,存在非空子集ω滿足0∈ω(C)Ω,使得對幾乎處處的x∈ω和所有的t≥0有f(x,t)≥0成立,且當x∈ω時,limt→+∞f(x,t)/tN-γ'-3β/γ'+β=+∞一致成立.
  則當函數(shù)f滿足條件(f4)和(a),(b)

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