一類強局部狄氏過程的GlrsanoV變換.pdf

1、狄氏型源于數(shù)學物理中的經(jīng)典位勢論。九十年代初,馬志明等入建立了擬正則狄氏型與右連續(xù)馬氏過程一一對應的關系,這種對應關系在經(jīng)典位勢論與隨機分析間架設了一座橋粱,通過這個橋粱我們可以將一些分析問題與隨機分析問題相互轉兒,從而狄氏型在位勢理論、馬氏過程、隨機微分力程、算法、量子力學、量子場論等許多相關領域都有應用,為許多數(shù)學物理問題提供了強有力的理論基礎,因此對狄氏型的研究有重要現(xiàn)實意義。對于過程的變換,它一直都是數(shù)學家和物理學家共同感興趣的

2、研究課題。通過變換得到新的過程及其聯(lián)系的狄氏型,而對新的過程及其聯(lián)系的狄氏型的性質的研究與討論,很大程度上豐富了狄氏型與過程的內容。由于Girsanov變換與過程的絕對連續(xù)性問題的研究有著密切的聯(lián)系,許多學者都對它講行研究并取得了許多重要研究成果。設(E,D(E))為狄氏型,u∈D(E),Nut是關于u(Xt)的Fukushima分解的零能量可加泛函。陳傳鐘等入在[4,6]中主要討論了形如：
　　pf(x)=Ex[e-nf(Xt)

3、]t≥o∨∫∈L2(m)的關于Fukushima分解零能量可加泛函的廣義Feynman-Kac半群。研究廣義Feynman-Kac半群P ut的主要困難在于Nut可能是無界變差的。作者通過Girsanov變換、狄氏型擾動和h-變換三個步驟,成功地將無界變差的問題轉兒為有界變差的問題。這里的Girsanov變換允許u是無界的,并巳經(jīng)過Girsanov變換后得到新的過程過程X的手死測度繼續(xù)存在,從而補亢和推廣了張上生等在文章[5,25]中的

4、相應結果。但是對于變換后所得到的新過程及其聯(lián)系狄氏型的相關性質如暫留性、常返性、不可約性等很少討論。
　　本文主要對一類強局部狄氏型所聯(lián)系的隨機過程的Girsanov變換講行研究,討論過程變換后得到的新過程X以及它聯(lián)系的狄氏型(E,D(E))的相關性質。首先我們給出當u∈D(E)有界時,Girsanov變換后型的具體表達式,并證明此時的I沒有E-polar集,講而得到函數(shù)的擬連續(xù)和一般的連續(xù)性等價。我們還得到對于更一般的u∈D(E

5、),Girsanov變換后狄氏型的表達式。其次通過討論I的邊界點r1,r2,得出當r1, r2均正則時,u是有界的,由前面結論自然有型的表達式,并巳證明(E, D(E))是L2([r1, r2];1I.m)上的一個正則、強局部、常返、不可約狄氏型;當r1, r2為可達非正則時,得到此時u仍有界,巳(E,D(E))是L2(I,m)上的一個正則、強局部、暫留、不可約狄氏型。我們還討論了當u有界時X的軌道性質。對于滿足隨機微分方程：
　

6、　dX(t)=μ(X(x))dt+σ(X(t))dB(t)的擴散過程X(t),其算子定義為
　　Lf(x)=σ2(x)fn(x)+u(x)f1(x)
　　這里的L就是本文所研究的一維擴散過程X所聯(lián)系的狄氏型(E,D(E))對應的生成元。算子在研究隨機微分力程中有著非常重要的作用,因此也是很多研究者感興趣的研究對象。文章最后我們通過觀察過程經(jīng)過Girsanov變換前后所聯(lián)系的狄氏型的變兒,給出并嚴格證明了變換后的過程所聯(lián)系狄氏