異維環(huán)、異宿環(huán)分支問題及時(shí)間尺度上動(dòng)力方程的邊值問題.pdf

1、本文主要研究異維環(huán)分支問題，連接非雙曲奇點(diǎn)的異宿環(huán)分支問題及時(shí)間尺度上p-Laplacian動(dòng)力方程的三點(diǎn)邊值問題．全文內(nèi)容分為四章． 第一章主要介紹了本論文的研究背景、意義及主要工作． 由文獻(xiàn)[34]可知，具有異維環(huán)的系統(tǒng)是很常見的，而且異維環(huán)的存在性往往隱含著動(dòng)力學(xué)行為的極端復(fù)雜性．因此，研究異維環(huán)的分支問題不僅有著廣泛的應(yīng)用背景，而且有著重要的理論價(jià)值．本文第二章采用文獻(xiàn)[69，71]首先引入并經(jīng)文獻(xiàn)[28—31]

2、等改進(jìn)的方法(即在異宿軌道附近建立局部活動(dòng)坐標(biāo)系，構(gòu)造新坐標(biāo)系下的Poincaré映射，并導(dǎo)出分支方程的方法)，分別研究了三維空間和四維空間中的異維環(huán)在滿足通有條件下的分支問題，給出了異維環(huán)保存及同宿環(huán)、周期軌存在的條件與分支曲面．值得提出的是，本文還得到了關(guān)于保存的異維環(huán)與分支出的周期軌共存的結(jié)果，從而揭示了與非異維的異宿環(huán)在分支性態(tài)方面的差別．眾所周知，在研究非異維的異宿環(huán)分支問題時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)未擾動(dòng)的異宿環(huán)滿足一些非通有條件(如軌道

3、翻轉(zhuǎn)，傾斜翻轉(zhuǎn)等條件)時(shí)，保存的異宿環(huán)與分支出的周期軌才可能共存． 事實(shí)上，在已有的文獻(xiàn)中，大部分同宿、異宿軌道分支問題都是考慮連接一個(gè)或兩個(gè)雙藍(lán)奇點(diǎn)的．我們知道，非雙曲奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致奇點(diǎn)分支(如鞍結(jié)點(diǎn)分支，超臨界分支，草叉分支等)的產(chǎn)生，從而使連接非雙曲奇點(diǎn)的軌道分支問題的難度大大增加．因此，對(duì)于此類問題的討論還相對(duì)較少．文獻(xiàn)[37]和[38]分別研究了連接一個(gè)非雙曲奇點(diǎn)的通有和非通有同宿軌道的保存問題及分支出周期軌

4、的情況．在此基礎(chǔ)上，本文第三章研究了連接一個(gè)雙曲鞍點(diǎn)和一個(gè)非雙曲奇點(diǎn)的異宿環(huán)分支問題，并假設(shè)非雙曲奇點(diǎn)具有超臨界分支特征．利用在異宿軌道附近建立局部活動(dòng)坐標(biāo)系，構(gòu)造P0incaré映射，從而導(dǎo)出分支方程的方法對(duì)伴隨超臨界分支的通有、非通有異宿環(huán)的保存問題，同宿環(huán)、周期軌的存在性及分支出異宿軌道的情況進(jìn)行了討論，并且揭示了伴隨超臨界分支的通有異宿環(huán)和非通有異宿環(huán)在分支樣式上的差異． 與已有文獻(xiàn)相比，本文所采用的研究分支問題的方法適

5、用范圍更廣，而且所得的分支方程有較強(qiáng)的可計(jì)算性． 時(shí)間尺度上的動(dòng)力方程是近年來興起的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，隨著其理論的發(fā)展及p-Laplacian微分(差分)方程的備受關(guān)注，時(shí)間尺度上p-Laplacian動(dòng)力方程的邊值問題引起了越來越多的學(xué)者的興趣．本文第四章借助于非線性泛函分析的有關(guān)理論，利用Avery和Peterson[80]引入的一個(gè)新不動(dòng)點(diǎn)定理和文獻(xiàn)[92]中的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理討論了時(shí)間尺度上一類p-Laplacian動(dòng)力方