非線性偏微分方程多解計算大范圍收斂算法及其應用研究.pdf

1、本文主要研究非線性偏微分方程多解計算的大范圍收斂性算法及其相關應用。非線性偏微分方程解的多重性和不穩(wěn)定性，給計算方法的設計和相關理論的研究帶來了諸多本質的困難，尤其是直接針對非線性偏微分方程本身的具有大范圍收斂性的數(shù)值算法的研究尚處于起步階段。如何設計穩(wěn)定的數(shù)值算法去逼近不穩(wěn)定的解，同時減少非線性偏微分方程多解計算對初值的依賴性，從而實現(xiàn)大范圍收斂性，又保證每次所計算出來的解一定為新解，從而使得每次計算都有效。上述內(nèi)容都是非常重要且富有

2、挑戰(zhàn)性的科學問題。
　　文章主要包含兩部分內(nèi)容。首先第一部分內(nèi)容針對具有山路型變分結構的一類非線性偏微分方程，首先介紹基于標準化非精確搜索準則的局部極小極大方法(LMM)的基本概念和思想，并回答“最優(yōu)化理論中Goldstein線性搜索策略是否能夠推廣應用到無限維Hilbert空間非線性偏微分方程多解的計算中”這一問題。文中借助能量泛函J的梯度與局部峰選擇p(v)的有界變差的關系給出標準化Goldstein搜索準則，該準則克服了標準

3、化Armijo搜索準則在算法中需要人為設置一個最小迭代步長的缺陷。值得注意的是，在原來的LMM算法的可行性證明中，局部峰選擇p(v)滿足局部Lipschitz連續(xù)是一個非常重要的條件。本文將借助X.D.Yao在文獻[114]中定義的局部峰選擇p(v)所謂的“超線性”性質將基于標準化Goldstein搜索準則和Armijo搜索準則的LMM算法的可行性證明中，p(v)的局部Lipschitz連續(xù)性條件降低為連續(xù)即可，并給出了在這種較弱的假定

4、之下，上述兩個算法的全局收斂性。
　　第二部分的內(nèi)容討論旨在計算新解的增廣部分牛頓法(APNM)。通過已找的解的信息構造合適的增廣奇異變換(AST)，再利用APN-M方法求解相應的增廣奇異方程。該方法將迭代限制在一類廣義的Nehari流形M(G)內(nèi)進行，打破了經(jīng)典Newton法的奇異線-局部場結構和對稱不變性，這是區(qū)別于其他Newton型算法的最大亮點。值得指出的是，該算法不受變分結構的限制，并保證了每次計算出來的解必定為新解，但

5、其核心是構造合適的增廣奇異變換。在我們已有工作的基礎上[115]，本文將提出一類新的巧妙地增廣奇異變換(G)，其在形式上雖然只與文[115]中的增廣奇異變換G發(fā)生了看似細微的改變，但其數(shù)學結構卻發(fā)生了巨大變化。事實上，利用該新的增廣奇異變換(G)在計算新解時所需條件將大為減弱，且條件易于驗證。此外上述利用新的增廣奇異變換(G)求新解的思想對于非齊次問題同樣適用，從而擴大了APNM方法的應用范圍。本部分內(nèi)容將給出基于這類新的增廣奇異變換(