變分不等式與無(wú)約束優(yōu)化問題的算法研究.pdf

1、變分不等式問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)十分重要的研究方向,被廣泛用于研究經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程科學(xué)和交通運(yùn)輸中的各種平衡模型。許多優(yōu)化問題都可以轉(zhuǎn)化為變分不等式來(lái)求解。因此,變分不等式問題的算法研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。
　　 無(wú)約束優(yōu)化問題是最優(yōu)化問題的一個(gè)主要分支,而約束優(yōu)化問題的子問題可以轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問題。特別地,變分不等式問題在一定條件下也可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問題來(lái)求解。近幾年來(lái),無(wú)約束優(yōu)化問題的理論發(fā)展比較成熟,解決此問題的方

2、法眾多。其中,共軛梯度法是一種非常有效的方法,在二十世紀(jì)六七十年代成為人們研究的熱點(diǎn)。隨著實(shí)際問題中大規(guī)模問題的涌現(xiàn),共軛梯度法的研究再次成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)課題。
　　 本文主要研究變分不等式與無(wú)約束優(yōu)化問題的算法,主要工作如下:
　　 1.給出了求解變分不等式的特例一互補(bǔ)問題的光滑牛頓算法。由于光滑函數(shù)在求解互補(bǔ)問題的光滑算法中起著非常重要的作用,所以給出了一個(gè)新的光滑函數(shù),并研究了該光滑函數(shù)的一些性質(zhì)。基于此光滑函數(shù)

3、,將非線性互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)光滑方程組進(jìn)行求解,并給出了一種求解非線性互補(bǔ)問題的光滑牛頓型算法。所給出的算法對(duì)初始點(diǎn)沒有嚴(yán)格的限制,每步迭代只需求解一個(gè)線性方程組,執(zhí)行一次線搜索。在一定的假設(shè)下,證明了算法所產(chǎn)生的序列是全局收斂的,并且在不需要嚴(yán)格互補(bǔ)條件的情況下,該算法二次收斂于互補(bǔ)問題的最優(yōu)解。
　　 2.給出了求解變分不等式問題的非精確光滑牛頓法。針對(duì)光滑算法求解線性子問題的精確解的困難,提出了求其非精確解的方法,從而減少

4、計(jì)算量。基于光滑牛頓法的思想和半光滑的理論,利用光滑函數(shù)將變分不等式問題轉(zhuǎn)化為光滑非線性方程組進(jìn)行近似求解,提出了求解變分不等式問題的非精確光滑牛頓法。數(shù)值結(jié)果表明算法是可行、有效的。
　　 3.提出了一種求解變分不等式的投影法。由于投影法每步迭代的計(jì)算量很小,很適合用于求解大規(guī)模問題。在每一步,投影法只需要做一些到可行集的投影及一些函數(shù)的計(jì)算。通過改進(jìn)步長(zhǎng)和搜索方向,給出了一種新的投影型算法,而且該算法可以保證每步迭代的步長(zhǎng)大