求解集值偽單調(diào)變分不等式的算法研究.pdf

1、變分不等式理論及其應(yīng)用是非線性分析中的重要組成部分.它在金融、經(jīng)濟(jì)、交通、最優(yōu)化、算子研究以及工程科學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.其中,求解變分不等式問題是變分不等式理論研究的一個(gè)重要方向.最近幾十年,許多學(xué)者利用各種算法對變分不等式的求解問題進(jìn)行了廣泛且深入的研究.Tikhonov正則化方法和鄰近點(diǎn)算法是兩種很重要的求解變分不等式的算法.本論文主要研究利用Tikhonov正則化方法和鄰近點(diǎn)算法求解偽單調(diào)集值廣義變分不等式和偽單調(diào)集值混合變分

2、不等式,分析了變分不等式的可解性及其在可解條件下兩種算法的收斂性.本文內(nèi)容具體安排如下：第一章,我們主要對該領(lǐng)域的研究工作做簡要的回顧.此外還介紹了本文主要用到的一些基本概念和引理.第二章,設(shè)H為一實(shí)的Hilbert空間,K(？)H是一非空閉凸集,F：H→2H是偽單調(diào)映射.我們考慮如下廣義變分不等式問題,記為GVI(K,F)：找到x∈K和x*∈F(x),使得我們將此問題轉(zhuǎn)化為求解偽單調(diào)算子的零點(diǎn)問題.即求解集值方程0∈T(x),其中T：

3、H→2H是偽單調(diào)映射,表示成T(x)= F(x)+NK(x).本章中,我們利用了兩種廣義鄰近點(diǎn)算法對偽單調(diào)算子T的零點(diǎn)問題加以研究,從而得到GVI(K,F)的解集.目前尚未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)利用這兩種算法對偽單調(diào)算子的零點(diǎn)問題加以研究過.本章利用的算法和所得的主要結(jié)論如下：算法2.1.1步一.取z0∈H為初始值；步二.對于給定的zx,(1-γk)∈[γ,∞)(γ>；0)和ck∈[c,+∞)(c>；0),求zk+1,ek滿足其中ek表示誤

4、差,滿足其中定理2.2.1序列{zk}由算法2.1.1迭代生成.p∈S其中S為T的所有零點(diǎn)所組成的集合,并且△=suPk≥0(1-γk)≤2.則{zk}弱收斂到T的一個(gè)零點(diǎn).算法2.1.2步一.取z0∈H為初始值；步二.對于給定的zk,γk∈(0,1)和ck∈[c,+∞)(c>；0),求zk+1,ek滿足其中ek表示誤差,滿足定理2.3.1序列{zk}由算法2.1.2迭代生成,假設(shè)其中S為T的所有零點(diǎn)所組成的集合.則{zk}弱收斂到

5、S中的一點(diǎn).第三章,我們在一實(shí)的Hilbert空間中,利用Tikhonov正則化方法(TRM)和鄰近點(diǎn)算法(PPA)去研究集值偽單調(diào)混合變分不等式(簡記為MVI(K,F,(？)))：設(shè)H為一實(shí)的Hilbert空間,K(？)H是一非空閉凸集,找向量使得其中φ為凸函數(shù),F相對φ偽單調(diào),在文[33]中利用TRM和PPA研究了偽單調(diào)廣義變分不等式,建立了可解條件并且分析了算法的收斂性,最后對用鄰近點(diǎn)算法求解偽單調(diào)混合變分不等式做出一些評論但沒有

6、給出收斂性定理.我們參考了該文的結(jié)論,利用TRM和PPA對偽單調(diào)混合變分不等式進(jìn)行了研究,建立了可解條件并得到算法的收斂性定理.本章的算法和主要結(jié)論如下：算法3.1.1步一.給定正實(shí)數(shù)列滿足εk→0,k→∞,解變分不等式步二.若(？)x(εk+1)-x(εk)(？)≤θ(θ為一常數(shù)),停止；步三.令k=k+1轉(zhuǎn)入步一.定理3.3.1假設(shè)F：K→2H相對于φ偽單調(diào)且在K上上半連續(xù).若解集s(K,F,φ)非空且x為解集中范數(shù)最小的元素,則有

7、下面的結(jié)論：(i)對(？)ε>；0,若Fε相對于φ在K上偽單調(diào),那么S(K,Fε,φ)非空；(ii)對(？)ε>；0,集合S(K,Fε,φ)一致有界,并且有(iii)若F在K上上半連續(xù),序列{x(ε)}中任何弱收斂子列弱收斂到x.定理3.3.2假設(shè)K(？)Rn為非空閉凸集,F：K→+2Rn相對于φ偽單調(diào)且在K上上半連續(xù),若MVI(K,F,φ)有解,則(i)(？)ε>；0,若Fε相對于φ偽單調(diào),有S(K,Fε,(？))非空且緊

8、；(ii)序列{x(εk)}收斂到S(K,F,φ)中范數(shù)最小的那個(gè)元素,其中x(ε)為S(K,Fε,φ)中的任一向量；(iii)limε→0+diam S(K,Fε,(？))=0,diamΩ：=sup{(？)x-y(？)：x∈Ω,y∈Ω}表示集合Ω∈Rn的直徑.定理3.3.3假設(shè)F：K→2H是單調(diào)且相對于φ偽單調(diào),并且在K上上半連續(xù),若S(K,Fφ)非空助是其中范數(shù)最小的元素,則當(dāng)Fε相對于φ偽單調(diào)時(shí),{x(ε)}收斂于x,ε→0+,其

9、中x(ε)表示解集S(K,Fε,φ)中唯一的元素.算法3.1.2步一.取x0∈H為初始值；步二.對于給定的xk-1和{βk}k∈N,βk≥β>；0其中β為常數(shù),找出向量xk∈K和xk*∈Fk(x),Fk(x)=βkF(x)+x-xk-1,x∈K滿足步三.若‖xk-xk-1‖≤θ(θ為一常數(shù)),停止；步四.令k=k+1轉(zhuǎn)入步二.算法3.1.3步一.取z0=x0∈H為初始值；步二.對于給定的向量zk-1和序列{βk)k∈N,βk≥β&g

10、t；0其中β為常數(shù).序列{εk}k∈N}滿足εk≥0且找到向量zk∈K滿足其中(？)(k)(x)=βkF(x)+x-zk-1,S(K,(？)(k),βk(？))表示變分不等式<；βkx*+x-zk-1,y-x>；+ (？)(y)-(？)(x)≥0,(？)y∈H的解集.dist(zk,S(K,(？)(k),βk(？)))表示zk與解集S(K,(？)(k),βk(？))之間的距離；步三.若(？)zk-zk-1(？)≤θ(θ為一常數(shù))