最小二乘問(wèn)題最佳向后誤差的線性化估計(jì).pdf

1、向后誤差是數(shù)值代數(shù)中的一個(gè)基本概念。向后誤差分析的結(jié)果有多方面的應(yīng)用,如:檢測(cè)新算法的向后穩(wěn)定性。最小二乘問(wèn)題近似解的最佳向后誤差估計(jì)是很多學(xué)者關(guān)注的課題。Walden,Karlson和Sun對(duì)普通最小二乘問(wèn)題(OLS)近似解的范數(shù)型最佳向后誤差給出了表達(dá)式。這項(xiàng)工作引出了大量的后繼研究。Higham給出了便于穩(wěn)定計(jì)算的表達(dá)形式。注意到最佳向后誤差表達(dá)式求值花費(fèi)太大,很多學(xué)者轉(zhuǎn)向?qū)ζ溥M(jìn)行估計(jì)。其中包括Walden和Karlson給出的上

2、界和下界估計(jì)。對(duì)大型稀疏問(wèn)題,Malyshev和Sakane建議使用L,anczos雙對(duì)角化技術(shù)對(duì)最佳向后誤差進(jìn)行估計(jì)。Cox和Higham研究了具線性等式約束最小二乘問(wèn)題(LSE)及球約束最小二乘問(wèn)題(LSS),給出了最佳向后誤差的上界及下界。Mayshev研究了LSS,證明了最佳向后誤差要么為Cox和Higham給出的下界,要么為Cox和Higham給出的上界。Chang,Golub和Paige對(duì)數(shù)據(jù)最小二乘問(wèn)題(DLS)給出了最佳

3、向后誤差的下界,并證明了該下界在漸近情形與最佳向后誤差等價(jià)。Chang和Peloquin對(duì)尺度化整體最小二乘問(wèn)題(STLS)給出了最佳向后誤差的下界。
　　 這篇學(xué)位論文采用線性化方法對(duì)若干類型的最小二乘問(wèn)題近似解的最佳向后誤差進(jìn)行估計(jì),包括普通最小二乘問(wèn)題、約束最小二乘問(wèn)題及尺度化整體最小二乘問(wèn)題。對(duì)于普通最小二乘問(wèn)題及尺度化整體最小二乘問(wèn)題,本文針對(duì)Higham和Higham,Chang和Titley—Peloquin給出的

4、線性化估計(jì),證明了若干新的結(jié)果。對(duì)于球上最小二乘問(wèn)題和等式約束最小二乘問(wèn)題,本文給出了向后誤差的線性化估計(jì),并且與前人給出的向后誤差界做了數(shù)值比較。文中實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)最小二乘問(wèn)題的近似解靠近精確解時(shí),最小二乘問(wèn)題最佳向后誤差的線性化估計(jì)是最佳向后誤差的好的近似。
　　 論文由五部分組成:
　　 第一部分是引言。介紹了最小二乘問(wèn)題近似解的最佳向后誤差估計(jì)的產(chǎn)生背景,研究現(xiàn)狀以及研究此課題的理論意義,給出本文的主要研究問(wèn)題

5、。
　　 第二部分是關(guān)于普通最小二乘問(wèn)題近似解的最佳向后誤差的線性化估計(jì)。首先給出了最佳向后誤差的線性化估計(jì)式；然后討論了線性化估計(jì)與最佳向后誤差之間的關(guān)系；最后討論了線性化估計(jì)與Karlson—Walden估計(jì)間的關(guān)系,并且給出了數(shù)值比較的有關(guān)結(jié)果。
　　 第三部分是關(guān)于等式約束最小二乘問(wèn)題近似解的最佳向后誤差估計(jì)。首先給出了最佳向后誤差的線性化估計(jì)式；其次,考慮到最佳向后誤差的線性化估計(jì)計(jì)算比較困難,對(duì)給出的線性化估

6、計(jì)作了進(jìn)一步的近似；再次,討論了線性化估計(jì)與最佳向后誤差之間的關(guān)系,并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢測(cè)所給出的估計(jì)；最后,對(duì)Higham和Cox給出的最佳向后擾動(dòng)界,給出相應(yīng)的線性化估計(jì)。
　　 第四部分是關(guān)于球上最小二乘問(wèn)題的向后誤差。首先,給出了最佳向后誤差的線性化估計(jì)；接著討論了線性化估計(jì)與最佳向后誤差的關(guān)系,證明了在漸近情形下,線性化估計(jì)是最佳向后誤差的良好近似；數(shù)值試驗(yàn)也證明了這一點(diǎn)。
　　 第五部分是針對(duì)尺度化整體最小二乘問(wèn)