幾類微分（積分）方程解的動力學性質.pdf

1、隨著科學技術的進步與發(fā)展，微分方程作為描述自然現(xiàn)象變化規(guī)律的一種有力工具，廣泛出現(xiàn)在許多重要的應用領域，包括物理學、天文學、生物學、醫(yī)學、種群動力學、經(jīng)濟學、工程和自動控制等。然而對大多數(shù)微分方程來說，尋求其通解是十分困難的，有時甚至是不可能的。19世紀30年代，C.F.Sturm把對多項式根的分布問題的研究這種定性思想應用到微分方程，獲得了重要的結果一解的零點分布的著名的Stllrm比較定理和分離定理。19世紀末，J.H.Poinca

2、re和A.M.Lyapunov把這種定性思想應用于對天體力學一般問題的研究，該研究不是著眼于先求出方程的解再研究解的性質，而是在不求出解的情況下，通過直接考察微分方程的結構、系數(shù)等從而對解的性質做出判斷，也就是著力從微分方程本身去分析和推斷它的解可能具有的種種特性，比較系統(tǒng)地發(fā)展了一套研究非線性微分方程的定性方法。龐加萊的《論微分方程所定義的積分曲線》和李雅普諾夫的《運動穩(wěn)定性的一般問題》是定性理論中的經(jīng)典著作。從此開啟了從理論上來探討

3、微分方程解的動力學性質的時代。
　　該篇博士論文分為六章，其內(nèi)容及結構是如下組織的。
　　第一章為緒論，簡要回顧了微分方程定性理論(如振動性理論)，穩(wěn)定性理論的發(fā)展與現(xiàn)狀，同時介紹了本文的主要工作。
　　第二章利用廣義Riccati技巧、積分平均技巧以及微分不等式理論，討論了一類線性哈密頓系統(tǒng)及一類偏泛函微分方程的振動性，得到了若干新的振動準則，所得結果推廣和改進了相應文獻中的已有結論，并通過一些實例，說明了相應準則可

4、應用于以前所不能處理的若干情形。
　　眾所周知，積分不等式在研究微分方程和積分方程解的各種性質中起著十分重要的作用，而一般的，以往人們大多利用積分不等式來研究一些積分方程解的有界性質及解的漸近性行為，Lipovan在[62]中利用積分不等式研究了兩類微分系統(tǒng)解的全局存在性。
　　第三章我們推廣了幾類Gronwall-Bellman-Ou-Iang型積分不等式，并研究了兩類微分系統(tǒng)解的全局存在性，所得結果推廣了Lipovan[

5、62]中的結果。
　　第四章我們給出了幾類二次積分不等式和幾類二重積分不等式，創(chuàng)新之處是利用這些積分不等式研究了一類非線性時滯微分方程(系統(tǒng))和幾類非線性Volterra型時滯積分-微分方程(系統(tǒng))解的穩(wěn)定性問題。
　　Akinyele在文[78]中引入了k度ψ-穩(wěn)定的定義;Morchalo在文[89]中引入了非線性微分系統(tǒng)χ'=f(t，χ)的零解ψ-穩(wěn)定、ψ-一致穩(wěn)定和皿-漸近穩(wěn)定的定義。
　　第五章第一節(jié)我們研究了

6、非線性微分系統(tǒng)χ'=f(t，χ)，χ'=f(t，χ)+g(t，χ)及非線性Volterra.型積分—微分系統(tǒng)χ'=f(t，χ)+∫t0F(t，s，χ(s))ds，給出了它們的零解ψ-(一致)穩(wěn)定的條件。其創(chuàng)新點和難點是線性微分系統(tǒng)χ'=A(t)χ的基本解矩陣Y(t)的形式，而非線性微分系統(tǒng)χ'=f(t，χ)的基本解矩陣為Φ(￡，t_0，χ_0)的形式?；谝活惙e分不等式，我們在第二節(jié)研究了一類非線性時滯Volterra型積分-微分系統(tǒng)的