兩類傳染病模型的數(shù)值解及全局穩(wěn)定性.pdf

1、接種是用來(lái)控制和預(yù)防某些傳染病的重要措施。登革熱已成為許多國(guó)家的地方病，嚴(yán)重危害人類的身體健康，被列入2005年修訂的國(guó)際健康條例的附錄中。因此，人們構(gòu)造并研究了多種形式的具有接種免疫的傳染病模型和登革熱傳染病模型。本文研究了其中兩類具有代表性模型的數(shù)值解及多種群形式的全局動(dòng)力學(xué)行為。
　　離散化模型不僅可以得到原連續(xù)系統(tǒng)解析解的有效逼近，而且能夠更加有效地應(yīng)用傳染病統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。但是，離散化后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是非常復(fù)雜的，選擇怎樣的

2、數(shù)值方法使得離散化后的系統(tǒng)仍能保持原連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是一個(gè)非常重要的課題。然而，當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定時(shí)，對(duì)于相應(yīng)的數(shù)值離散系統(tǒng)，大部分只能證明系統(tǒng)是一致持久的，極少能證明地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，甚至是局部穩(wěn)定的結(jié)果也很少。
　　本文首先應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)差分方法構(gòu)造了一個(gè)離散的接種傳染病模型，得到了離散模型地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。但是，該系統(tǒng)對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的保持受步長(zhǎng)的限制。當(dāng)步長(zhǎng)大于臨界值時(shí)，數(shù)

3、值實(shí)驗(yàn)表明，系統(tǒng)數(shù)值解的正性可能被破壞，甚至?xí)霈F(xiàn)周期二解，而且當(dāng)步長(zhǎng)增大到一定程度時(shí)，系統(tǒng)可能完全喪失穩(wěn)定性。為了克服以上不足，本文通過(guò)變換非標(biāo)準(zhǔn)差分的形式構(gòu)造了一個(gè)具有無(wú)條件正的離散化系統(tǒng)，并應(yīng)用Lyapunov方法，證明了對(duì)任意的步長(zhǎng)，當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。
　　其次，本文通過(guò)Lyapunov方法得到了五維登革熱模型的全局穩(wěn)定性。隨后，應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)差分方法構(gòu)造了一個(gè)具有無(wú)條件正的離散化系統(tǒng)，

4、得到當(dāng)基本再生數(shù)小于等于1時(shí)，系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)是無(wú)條件全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，系統(tǒng)是一致持久的。本文又運(yùn)用有限差分的方法構(gòu)造了一個(gè)二階離散系統(tǒng)，并得到當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是無(wú)條件局部漸近穩(wěn)定的，克服了由傳統(tǒng)二階方法構(gòu)造的離散系統(tǒng)隨著步長(zhǎng)的增大會(huì)失去穩(wěn)定性的不足。但是數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明該二階離散化系統(tǒng)不是無(wú)條件正的。所以，本文又將非標(biāo)準(zhǔn)差分和有限差分方法相結(jié)合構(gòu)造了一個(gè)二階非標(biāo)準(zhǔn)差分離散系統(tǒng)，該離散系統(tǒng)除具有前述方法的

5、優(yōu)勢(shì)外，數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，通過(guò)適當(dāng)?shù)卣{(diào)整有關(guān)參數(shù)能夠保證離散系統(tǒng)的解是無(wú)條件正的。
　　另一方面，從傳染病的傳播機(jī)理來(lái)看，對(duì)多種群傳染病模型的研究是十分有必要的。然而，由于多種群傳染病模型的規(guī)模比較大，形式比較復(fù)雜，所以對(duì)它們的研究工作進(jìn)展比較緩慢，尤其是當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)的存在唯一性與穩(wěn)定性問(wèn)題。本文研究了上述兩類傳染病的多種群形式，通過(guò)應(yīng)用Lyapunov方法結(jié)合LaSalle不變集原理，得到當(dāng)閾值小于1(或0)時(shí)