隨機(jī)游動的更新理論和尾漸近理論及其應(yīng)用.pdf

1、眾所周知，隨機(jī)游動理論，包括隨機(jī)游動的更新理論，隨機(jī)游動及相關(guān)對象的尾漸近性理論等等，歷來是概率論研究的重要組成部分.它不但自身具有重要的理論研究價(jià)值，而且在排隊(duì)論、風(fēng)險(xiǎn)理論、大偏差理論和分支過程等許多領(lǐng)域也都有重要的應(yīng)用.如在風(fēng)險(xiǎn)理論中，保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率就可以通過隨機(jī)游動的上確界大于初始資本的概率來刻畫，因而隨機(jī)游動理論對金融保險(xiǎn)中的實(shí)際工作也具有一定的指導(dǎo)意義.
　　 本文將從如下三個方面研究隨機(jī)游動理論.
　　

2、更新計(jì)數(shù)過程的基本更新定理，更一般地，隨機(jī)游動生成的計(jì)數(shù)過程的基本更新定理，是更新理論的重要組成部分.對于增量是獨(dú)立同分布的情形，經(jīng)典的更新理論已日趨成熟.但是在實(shí)踐中，相關(guān)的增量往往不是相互獨(dú)立的.那么，對于帶某種相依增量的隨機(jī)游動生成的計(jì)數(shù)過程，是否也可以建立相應(yīng)的基本更新定理？在很長一段時(shí)間內(nèi)，這一問題沒有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展.本文的第二章將系統(tǒng)地討論這些問題.我們將給出帶寬相依增量的隨機(jī)游動所生成的計(jì)數(shù)過程的基本更新定理.為了證明基本更

3、新定理，我們還將建立一個帶寬相依增量的隨機(jī)游動的弱大數(shù)律.在進(jìn)一步的條件下，我們還給出了帶寬相依增量的隨機(jī)游動的強(qiáng)大數(shù)律.此外，我們還將使用所得的基本更新定理的結(jié)果，給出一個隨機(jī)游動的隨機(jī)和的精致大偏差的漸近估計(jì)，其中隨機(jī)和中的隨機(jī)指標(biāo)是一個帶寬相依增量的非標(biāo)準(zhǔn)更新計(jì)數(shù)過程.在這一章的最后部分，我們還將討論帶正飄移的隨機(jī)游動生成的首超時(shí)過程的強(qiáng)大數(shù)律，所得結(jié)果較大程度地推廣和改進(jìn)了一些已有的結(jié)果.
　　 另一方面，隨機(jī)游動的尾漸

4、近理論與其增量的分布理論有著密切的關(guān)系.分布理論，特別是重尾分布理論中的一個重要事實(shí)是，當(dāng)隨機(jī)游動的增量相互獨(dú)立且服從相同的次指數(shù)分布時(shí)，這些增量是最大-和等價(jià)的.即若干隨機(jī)變量和的尾分布等價(jià)于它們中最大一個隨機(jī)變量的尾分布.如在風(fēng)險(xiǎn)理論中，這一性質(zhì)可解釋為保險(xiǎn)公司破產(chǎn)往往是由一個大額索賠導(dǎo)致的.因此，這一性質(zhì)受到了廣泛的關(guān)注.在這一問題的研究中，人們通常要求隨機(jī)游動的增量的分布屬于某個特定的分布族.然而這個條件顯得比較苛刻.Li和Ta

5、ng(2010)[1]注意到了這個問題，他們將相應(yīng)的條件加到了隨機(jī)變量的最大值的分布上，從而擴(kuò)大了應(yīng)用的范圍.但他們的研究仍如前人那樣，要求最大值的分布屬于次指數(shù)分布族.由于存在大量的分布屬于長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集，但不屬于次指數(shù)分布族，所以在第三章中，我們的工作是將上述問題的研究范圍進(jìn)一步擴(kuò)大到長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集.值得指出的是，當(dāng)隨機(jī)游動增量的最大值的分布屬于次指數(shù)分布族時(shí)，它們的和產(chǎn)生的振蕩是最小的;或者

6、說，當(dāng)增量的最大值的分布屬于長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集，但不屬于次指數(shù)分布族時(shí)，就可能產(chǎn)生大的振蕩或風(fēng)險(xiǎn).因此很有必要研究增量的最大值的分布屬于長尾分布族和O-次指數(shù)分布族的交集的隨機(jī)游動的相關(guān)理論.
　　 最后，在第四章中，我們將給出隨機(jī)游動理論在一類同時(shí)帶有金融風(fēng)險(xiǎn)和保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的非標(biāo)準(zhǔn)離散時(shí)風(fēng)險(xiǎn)模型中的應(yīng)用.我們將給出該類風(fēng)險(xiǎn)模型中有限時(shí)破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)，其中保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)或其與金融風(fēng)險(xiǎn)的乘積的分布可以不屬于卷積等價(jià)分布族

7、.為此，我們將先研究一個比卷積等價(jià)分布族更大的分布族，即指數(shù)分布族的性質(zhì).我們將給出指數(shù)分布族中分布的卷積封閉性和卷積的尾漸近等價(jià)的幾個充要條件和一些便于驗(yàn)證的充分條件.由于以往的研究只給出了充分性的結(jié)果，所以我們的工作推廣和改進(jìn)了以往的工作.另外，以往人們得到的一些漸近等價(jià)關(guān)系，都需要相關(guān)分布屬于卷積等價(jià)分布族的條件.而我們的這部分工作，從理論上并通過實(shí)例，說明上述條件不是必要的，從而較大幅度地?cái)U(kuò)大了所得結(jié)果的應(yīng)用面，豐富了相應(yīng)的分布