某些集值微分方程的可解性及穩(wěn)定性.pdf

1、微分方程最方便的推廣形式之一即是集值微分方程。集值微分方程已經(jīng)成為一門獨立的學科，近年來已吸引數(shù)學界的高度關注，國內(nèi)外有許多學者對其進行了深入的研究，取得了一些突破性的進展[]112-。這一理論研究的意義在于它是常微分方程的推廣，當集值微分方程中的Hukuhara導數(shù)和積分簡化為一般的向量導數(shù)和積分(即集值映射轉(zhuǎn)換為單值映射)時，一般的微分方程就是集值微分方程的特殊情形，而且集值微分方程可以用來處理右端項不連續(xù)的常微分方程問題。其次，當

2、集值微分包含中的集值函數(shù)不具有凸值時，我們可以將集值微分包含轉(zhuǎn)化為集值微分方程來考慮，這樣，集值微分方程就可以作為研究集值微分包含的一種工具。此外，我們還可以借助集值微分方程來研究模糊微分方程等問題。因此，這一理論作為一個新興的數(shù)學領域，具有廣闊的應用前景。近年來，這一領域已有許多研究成果，特別是在解的穩(wěn)定性方面取得了很大的進展[13-28]，但是集值微分方程的脈沖問題、時滯問題等方面的研究成果相對較少，尤其是用不動點定理研究這類問題的

3、成果就更少了。因此，還有大量的研究工作無論是從理論上還是從應用上來看都十分有意義，值得深入研究。
　　本文主要是研究一些集值微分方程解的存在性問題及穩(wěn)定性問題，如集值泛函微分方程和脈沖集值微分方程等相關問題。從研究方法看，雖然有如對比方法、單調(diào)方法等，但Liapunov直接法至今仍是最主要也是最普遍的方法之一。然而，人們利用此方法時也遇到一些困難，正如美國數(shù)學家Burton在文獻[29]（這是第一本系統(tǒng)介紹穩(wěn)定性理論的不動點方法的

4、著作）中指出，用Liapunov直接方法至少存在以下不足： Liapunov方法往往要求某些點態(tài)條件，而現(xiàn)實世界的許多問題是考慮平均值的；Liapunov泛函往往難以構(gòu)造，即使Liapunov泛函找到了，如果它是一個無界的或者導數(shù)沒有明確定義的情形，那么確定極限又成了困難；應用Liapunov方法，首先必須分別證明方程的解的存在性及惟一性，然后再確定穩(wěn)定性。Burton憑他多年研究穩(wěn)定性的經(jīng)驗認為，采用不動點理論法可以避免上述困難。事實

5、上，Burton及其合作者近年來利用不動點理論的確獲得了一些頗有影響的結(jié)果。因此，本文主要采用不動點方法。
　　全文分為五章：
　　第一章，主要分析了集值微分方程的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，指出本文的研究目的和意義，最后提出本文將要解決的問題。
　　第二章，主要闡述集值分析理論，并給出了集值函數(shù)的Hukuhara導數(shù)和積分的定義以及一些性質(zhì)，為我們后續(xù)的研究工作奠定了基礎。
　　第三章，第一節(jié)主要研究一階時滯集值泛函微分方

6、程初值問題解的存在性和惟一性，利用錐上的不動點定理和壓縮不動點定理考慮以下初值問題：
　　DHU=F(t,Ut),U0=Ut,t∈J
　　第二節(jié)主要利用壓縮不動點定理，討論了如下集值泛函微分積分方程初值問題解的存在性和惟一性：(公式略)
　　并在此基礎上，研究了如下脈沖集值泛函微分積分方程初值問題解的存在性：(公式略)
　　第四章，第一節(jié)主要利用壓縮不動點定理證明如下集值微分方程解的存在性和穩(wěn)定性：(公式略)