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文檔簡介
1、1關于復變函數(shù)在解決實函數(shù)問題中的若干應用 關于復變函數(shù)在解決實函數(shù)問題中的若干應用摘要:實函數(shù)和復函數(shù)的貫穿于我們高中和大學的數(shù)學之中,我們通過學習了解了部分實函數(shù)和復函數(shù)的知識點,我們發(fā)現(xiàn)這些知識點有著深刻的聯(lián)系。我們知道復函數(shù)分為實部和虛部,那么我們研究能不能把要求的實函數(shù)當做一個復函數(shù)的實部或虛部,進而利用復函數(shù)的知識來處理有關實函數(shù)的問題。關鍵詞:實函數(shù) 復函數(shù) 構造 求解復變函數(shù)論中的 柯西-黎曼方程、柯西積分,解析函
2、數(shù)的冪級數(shù)表達式,牛頓萊布尼茨公式等,那么它與我們經(jīng)常使用的實函數(shù)有什么關系,其相關知識點能否運用在實函數(shù)的解題上面,下面我們將從幾個方面來探究其在實函數(shù)上 的應用。1 預備知識[1]定理 1 若(1)函數(shù) 在單連通區(qū)域 D 內連續(xù);(2) 沿區(qū)域 D 內 ( ) f z ( ) f z dz ?任一圓周的積分值為零(從而積分與路徑無關) ,則函數(shù)( 為 D 內一定點)0 ( ) ( )zz F Z f d ? ? ? ? 0 z在 D
3、 內解析,且 . '( ) ( ) F Z f z =定義 2 在區(qū)域 D 內,如果函數(shù) 連續(xù),則稱符合條件 ( ) f z( ) '( ) ( ) z f z F = z D ?的函數(shù) 為 的一個不定積分或原函數(shù)(顯然 必在 D 內解析) 。 ( ) F z ( ) f z ( ) z F定理 3 在定理(1)或定義(2)的條件下,如果 為 的單連通區(qū)域 D ( ) z F ( ) f z內的任意一個函數(shù),則0 0 (
4、 )zz z z f d F F ? ? ? ? ?定理 4 設 為 的 階極點, ,其中 在 點解析, a ( ) f z n ( ) ( ) ( )nz f z z a? ? ? ( ) z ? a則 ( ) 0 a ? ?( 1)( ) Re ( ) ( 1)!nz aa s f z n? ?? ? ?這里 , 。 0( ) ( ) a a ? ? ? ( 1) ( 1) ( ) ( ) n nz a a Lim z ? ? ?
5、 ?? ?引理 1 (若當引理) 設函數(shù) 沿版圓周 ( 充分 ( ) f z : ReiR S z ? ? 0 , R ? ? ? ?3= ( ) f x cosax e bxdx ?= ( ) g x sinax e bxdx ?= ( ) F x ( ) ( ) ( ) F x f x ig x = += + ( ) F x cosax e bxdx ? i sinax e bxdx ?=ax ibx e dx? ?=ax ibx
6、ea ib++1 2 c ic + += 2 2( )(cos sin ) ax e a ib bx i bxa b- ++= 2 2[ cos sin ( sin sin )] ax a bx b bx i a bx b bx e a b+ + -+此時= ( ) f x 2 2( cos sin ) Re ( ) ax a bx b bx F x e a b+ = +1 c +2 2 2( sin sin ) ( ) Im ( )a
7、x e a bx b bx g x F x c a b- = = + +由此可以看出復函數(shù)積分可以快速解決形如cosax e bxdx ? sinax e bxdx ?2 2 ( 0) a b ? ?的問題,但是其解決的問題只是我們常見問題中的很小一部分,我們常見的積 分不只是這種情況,更多的是型如:, ( ) cos ax c dx e bxdx ? ? ( ) sin ax c dx e bxdx ? ?2 2 ( 0) a b
8、? ? ( , , , , ) a b c d R x R Î Î我們是否也可以借助復變的相關知識解決問題。例 2.2 2.2 計算積分( ) sin ax c dx e bxdx ? ?解法 解法 1 我們利用實函數(shù)的分部積分方法來解決問題。解法 解法 2 令( ) ( ) cos ax f x A Bx e bxdx ? ? ? ( ) ( ) sin ax g x A Bx e bxdx ? ? ?( )
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