極限理論在數(shù)學(xué)分析中地位與作用

1、1極限理論在數(shù)學(xué)分析中地位與作用摘要極限理論是數(shù)學(xué)分析的基本理論，極限概念是極限理論的核心。作為微積分的基礎(chǔ)，極限理論包括函數(shù)極限和數(shù)列極限。本文從連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、以及級(jí)數(shù)的收斂性等方面求解極限，深入探索了極限問題所涉及的各個(gè)方面。首先從定義入手，找出函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系，進(jìn)而運(yùn)用極限的性質(zhì)、判定準(zhǔn)則、柯西極限理論、迫斂性等方法求解不同類型的函數(shù)、數(shù)列極限。在極限定義的基礎(chǔ)上,提供了又一種求解極限的方法，即無窮小量替換法求解極限

2、。同時(shí)例舉了幾類特殊極限，對(duì)其求解計(jì)算，總結(jié)出一些重要規(guī)律及相關(guān)結(jié)論。這些結(jié)論奠定了極限理論在數(shù)學(xué)分析中的地位與作用，為后繼的學(xué)習(xí)與研究極限提供更好的判別方法和更完整的理論體系，對(duì)數(shù)學(xué)分析具有重大意義。關(guān)鍵詞： 關(guān)鍵詞： 極限；數(shù)列；函數(shù)；定積分；判定準(zhǔn)則 3目錄 目錄1 引言................................................................................

3、................................................................42 極限的思想淵源與發(fā)展史............................................................................................................52.1 極限的思想及歷史.....................

4、.......................................................................................52.1.1 最早的無限分割思想..............................................................................................62.1.2. 西方的窮竭法與中國的割圓術(shù)..

5、...........................................................................62.1.3. 斯杰文對(duì)窮竭法的簡(jiǎn)化和瓦里斯的算術(shù)化.........................................................93 極限的相關(guān)理論....................................................

6、......................................................................103.1 極限概念的逐步形成.......................................................................................................103.2 極限概念的完善...................

7、............................................................................................103.2.1 函數(shù)極限.................................................................................................................123

8、.2.2 數(shù)列極限.........................................................................................................................153.3 極限理論的確立.............................................................................

9、..................................163.3.1 波爾查諾的工作.....................................................................................................163.3.2 柯西的極限理論.......................................................

10、.............................................173.3.3 維爾斯特拉斯的靜態(tài)理論....................................................................................174 數(shù)學(xué)分析中極限的作用..........................................................

11、....................................................174.1 函數(shù)的連續(xù).......................................................................................................................194.2 數(shù)列的收斂性..........................

12、.........................................................................................214.2.1 唯一性....................................................................................................................214.

13、2.2 有界性..................................................................................................................224.3 導(dǎo)數(shù)是特殊的極限....................................................................................

14、.......................225 極限的計(jì)算..................................................................................................................................245.1 利用導(dǎo)數(shù)的定義.............................................

15、..................................................................245.2 利用初等函數(shù)的連續(xù)性...................................................................................................245.3 數(shù)列極限.............................

16、..............................................................................................255.3.1 利用函數(shù)極限求數(shù)列極限....................................................................................255.3.2 利用定積分求數(shù)列極限.....

17、...................................................................................255.4 函數(shù)極限...........................................................................................................................265.

18、4.1 利用迫斂性求函數(shù)極限........................................................................................265.4.2 利用羅比達(dá)法則求函數(shù)極限.................................................................................265.4.3 利用泰勒級(jí)數(shù)展開式

19、求函數(shù)極限........................................................................275.4.4 利用中值定理求函數(shù)極限....................................................................................275.4.5 利用定積分的定義求函數(shù)極限...................

20、.........................................................285.4.6 利用等價(jià)無窮小替換求函數(shù)極限........................................................................285.4.7 利用收斂級(jí)數(shù)的必要條件求函數(shù)極限.............................................

21、...................285.5 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限....................................................................................285.6.將數(shù)列的極限化為定積分................................................................................

22、................296 結(jié)論..............................................................................................................................................307 參考文獻(xiàn)................................................

23、......................................................................................30致謝..................................................................................................................................