二項(xiàng)式定理的十大應(yīng)用

1、school.chinaedu.com二項(xiàng)式定理的十方面應(yīng)用 二項(xiàng)式定理的十方面應(yīng)用一、利用二項(xiàng)式定理求展開式的某一項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù) 一、利用二項(xiàng)式定理求展開式的某一項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)1.(2012 (2012 年高考安徽卷理科 年高考安徽卷理科 7) 7) 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（ ） 2 52 1 ( 2)( 1) x x ? ?21 世紀(jì)教 ( ) A 3 ? ( ) B 2 ? ( ) C ? ( ) D ?【答案】 D【解

2、析】第一個(gè)因式取 ，第二個(gè)因式取 得： 2 x 2 1x1 45 1 ( 1) 5 C ? ? ?第一個(gè)因式取 ，第二個(gè)因式取 得：展開式的常數(shù)項(xiàng)是 2 5 ( 1) ? 5 2 ( 1) 2 ? ? ? ? 5 ( 2) 3 ? ? ?.2.(2012 (2012 年高考天津卷理科 年高考天津卷理科 5) 5)在 2 5 1 (2 ) x x ? 的二項(xiàng)展開式中， x 的系數(shù)為（ ）（A）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）

3、40 （Ｄ）-40點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理求展開式的某一項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)，實(shí)際上就是對(duì)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的考查，此類問題是高考考查的重點(diǎn)．3．在二項(xiàng)式 的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是 11 ) 1 ( ? x解： r r rr x T C ) 1 ( 1111 1 ? ? ?? ?要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則 必為奇數(shù)，且使 為最大，由此得 ，從而可知最小項(xiàng)的 ? r Cr11 5 ? r系數(shù)為 462 ) 1 ( 5 51

4、1 ? ? ? C二、利用二項(xiàng)式定理求展開式的系數(shù)和 二、利用二項(xiàng)式定理求展開式的系數(shù)和1、若 ， 2013201322 1 02013 ... ) 2 1 ( x a x a x a a x ? ? ? ? ? ? ) ( R x ?則 。(用數(shù)字作答) _______ ) ( ) ( ) ( ) ( 2013 0 3 0 2 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a a a a ?解析：在 中，令 ，則 ，

5、 2013201322 1 02013 ... ) 2 1 ( x a x a x a a x ? ? ? ? ? ? 0 ? x 1 0 ? a令 ，則 1 ? x 1 ) 1 ( 20132004 3 2 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a ?school.chinaedu.com點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理證明整除（或求余數(shù)）問題，通常把底數(shù)拆成與除數(shù)的倍數(shù)有關(guān)的和式．六、利用二項(xiàng)式定理求近似值 六、利用二項(xiàng)式定理

6、求近似值例 求 的近似值，使誤差小于 0．001． 6 0.998策略：因?yàn)?，所以可以用二項(xiàng)式定理來計(jì)算． 6 6 0.998 (1 0.002) ? ?解： ， 6 6 2 6 0.998 (1 0.002) 1 6 ( 0.002) 15 ( 0.002) ( 0.002) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∵ ． 23 15 ( 0.002) 0.00006 0.001 T ? ? ? ? ?即第 3 項(xiàng)以后的

7、項(xiàng)的絕對(duì)值都小于 0.001，∴從第 3 項(xiàng)起，以后的項(xiàng)可以忽略不計(jì)，即 ． 6 6 0.998 (1 0.002) 1 6 ( 0.002) 0.988 ? ? ? ? ? ? ?點(diǎn)評(píng)：由 知，當(dāng) x 的絕對(duì)值與 1 相比很小且 n 1 2 2 3 3 (1 ) 1 n n nn n n n x C x C x C x C x ? ? ? ? ? ? ? ?足夠大時(shí)， ， ，…， 等項(xiàng)的絕對(duì)值就會(huì)更小，因此在精確度允許的范圍之內(nèi)可以

8、2 x 3 x n x忽略不計(jì)．因此可以使用近似計(jì)算公式 ．在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題 (1 ) 1 n x nx ? ? ?對(duì)精確度的要求，來確定對(duì)展開式中各項(xiàng)的取舍．七、利用二項(xiàng)式定理證明組合數(shù)問題 七、利用二項(xiàng)式定理證明組合數(shù)問題例 6 求證： ． 0 2 1 2 2 2 2 (2 !) ( ) ( ) ( ) ( ) ! !nn n n nn C C C C n n ? ? ? ? ? ?策略：觀察等式 的特點(diǎn)，想到構(gòu)造等

9、式 ，利用同一 2(2 )!! !n nn C n n ? 2 (1 ) (1 ) (1 ) n n n x x x ? ? ? ? ·項(xiàng)的系數(shù)相等進(jìn)行證明．證明：已知， 2 0 1 2 2 0 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) ( )( ) n n n n n n nn n n n n n n n x x x C C x C x C x C C x C x C x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

10、? ? ·由于 的系數(shù)為第一個(gè)因式中 的系數(shù)與第二個(gè)因式中 的系數(shù)的乘積的和， n x r x n r x ?即 （這是因?yàn)?的系數(shù) 與 的系數(shù) 相等） 0 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) nn n n n C C C C ? ? ? ? ? r x r n C n r x ? n r n C ?而在 的展開式中 的系數(shù)為 ，因此原等式恒成立． 2 (1 ) n x ? n x 2 n n C點(diǎn)評(píng)：對(duì)于